高中数学：4.1.1导数与函数的单调性二 教案 （北师大选修1-1）

4.1.1  导数与函数的单调性

教学过程：

一．创设情景

函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用。

二．新课讲授

 1．问题：图（1），它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像．

运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？

通过观察图像，我们可以发现：

（1）                          运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数．相应地，．

（2）                          从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间的增加而减少，即是减函数．相应地，．

2．函数的单调性与导数的关系

观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．

如图  3.3-3，导数表示函数在点处的切线的斜率．

                                  （ 图  3.3-3）

在处，，切线是“左下右上”式的，这时，函数在附近单调递增；

在处，，切线是“左上右下”式的，这时，函数在附近单调递减．

结论：函数的单调性与导数的关系

在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．

说明：（1）特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数．

3．求解函数单调区间的步骤：

（1）确定函数的定义域；

（2）求导数；

（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；

（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．

三．典例分析

例1．已知导函数的下列信息：

当时，；

当，或时，；

当，或时，

试画出函数图像的大致形状．

解：当时，，可知在此区间内单调递增；

当，或时，；可知在此区间内单调递减；

当，或时，，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．

综上，函数图像的大致形状如图3.3-4所示．

例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．

（1）；            （2）

（3）；  （4）

解：（1）因为，所以，

因此，在R上单调递增，如下图所示．

（2）因为，所以，

当，即时，函数单调递增；

当，即时，函数单调递减；

函数的图像如图3.3-5（2）所示．

（3）因为，所以，

因此，函数在单调递减，如上图所示．

（4）因为，所以              ．

当，即             时，函数            ；

当，即             时，函数            ；

函数的图像如下图所示．

注：（3）、（4）生练

例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像．

分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．

    解：

思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？

  一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．

如图3.3-7所示，函数在或内的图像“陡峭”，

在或内的图像“平缓”．

例4．求证：函数在区间内是减函数．

证明：因为

当即时，，所以函数在区间内是减函数．

说明：证明可导函数在内的单调性步骤：

（1）求导函数；

（2）判断在内的符号；

（3）做出结论：为增函数，为减函数．

例5．已知函数 在区间上是增函数，求实数的取值范围．

解：，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得：

所以实数的取值范围为．

说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．

例6．已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.

解：y′=(x+)′

=1－1·x－2= 

令＞0. 

解得x＞1或x＜－1.

∴y=x+的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).

令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.

∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1)

四．课堂练习

1．求下列函数的单调区间

1.f(x)=2x3－6x2+7   2.f(x)=+2x    3. f(x)=sinx , x   4. y=xlnx

2．课本练习

五．回顾总结

（1）函数的单调性与导数的关系

（2）求解函数单调区间

（3）证明可导函数在内的单调性