高二数学教案 第一章 概率与统计(第4课)《离散型随机变量的期望与方差》(2) 湘教版选修2

课    题： 1．2离散型随机变量的期望与方差（二）

教学目的：

1了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差．

2.了解方差公式“D(aξ+b)=a2Dξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差

教学重点：离散型随机变量的方差、标准差

教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题

授课类型：新授课

课时安排：2课时

教    具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

     数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.

回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据，，…，中，各数据与它们的平均值得差的平方分别是，，…，，那么＋＋…＋

叫做这组数据的方差

教学过程：

一、复习引入：

1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示

2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量

   3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量

   4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出

    5. 分布列:

6. 分布列的两个性质： ⑴Pi≥0，i＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1．

7.二项分布:ξ～B(n，p)，并记＝b(k；n，p)．

8.几何分布： g(k，p)= ，其中k＝0,1,2,…， ．

9.数学期望:  一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称 ……  为ξ的数学期望，简称期望．

　　10. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平

11 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值

12. 期望的一个性质:

13.若ξB（n,p），则Eξ=np  

二、讲解新课：

    1. 方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取这些值的概率分别是，，…，，…，那么,

＝＋＋…＋＋…

称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的是随机变量ξ的期望．

2. 标准差:的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．

3.方差的性质：（1）；（2）；

（3）若ξ～B(n，p)，则np(1-p)

4.其它：

⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；

⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；

⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛

三、讲解范例：

例1．设随机变量ξ的分布列为

求Dξ

 解：（略）

例2．已知离散型随机变量的概率分布为

离散型随机变量的概率分布为

求这两个随机变量期望、均方差与标准差

解：；

；

；

=0.04, .

点评：本题中的和都以相等的概率取各个不同的值，但的取值较为分散，的取值较为集中．，，，方差比较清楚地指出了比取值更集中．

＝2，=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差

例3. 甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平

解：

+（10-9）；

同理有

由上可知，，所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些．

点评：本题中，和所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同．=9，这时就通过=0.4和=0.8来比较和的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况

例4．A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：

    A机床         B机床

问哪一台机床加工质量较好

解： Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,

  Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.

它们的期望相同，再比较它们的方差

Dξ1=（0-0.44）2×0.7+（1-0.44）2×0.2+（2-0.44）2

×0.06+（3-0.44）2×0.04=0.6064,

Dξ2=（0-0.44）2×0.8+（1-0.44）2×0.06+（2-0.44）2

×0.04+（3-0.44）2×0.10=0.9264.

∴Dξ1< Dξ2   故A机床加工较稳定、质量较好.

四、课堂练习：

  1 .已知，则的值分别是（       ）

A．；　　B．；　　C．；　　D．

答案：1.D  

2. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．

分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件．

解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3

当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则

P（ξ=0）=

当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则

P（ξ=1）=

当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则

P（ξ=2）=

当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P（ξ=3）=

所以，Eξ=

3. 有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ

分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξB（200，1%），从而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算

解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξB（200，1%）因为Eξ=np，Dξ=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，所以，Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98

 4. 设事件A发生的概率为p，证明事件A在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4

    分析：这是一道纯数学问题．要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列．求出方差Dξ=P(1-P)后，我们知道Dξ是关于P(P≥0)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论

证明：因为ξ所有可能取的值为0，1且P（ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p,

所以，Eξ=0×(1-p)+1×p=p

则 Dξ=（0-p）2×(1-p)+(1-p) 2×p=p(1-p)

  5. 有A、B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：

其中ξA、ξB分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度．在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A、B两种钢筋哪一种质量较好

   分析： 两个随机变量ξA和ξB&都以相同的概率0．1，0．2，0．4，0．1，0．2取5个不同的数值．ξA取较为集中的数值110，120，125，130，135；ξB取较为分散的数值100，115，125，130，145．直观上看，猜想A种钢筋质量较好．但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性

解：先比较ξA与ξB的期望值，因为

    EξA=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,

     EξB=100×0.1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125.

所以，它们的期望相同．再比较它们的方差．因为

     DξA=(110-125)2×0.1+(120-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(135-125) 2×0.2=50，

     DξB=(100-125)2×0.1+(110-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(145-125) 2×0.2=165.

所以，DξA < DξB.因此，A种钢筋质量较好

6. 在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？

分析：这是同学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等．一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题．本题的“不考虑获利”的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用

解：设一张彩票中奖额为随机变量ξ，显然ξ所有可能取的值为0，5，25，100依题

意，可得ξ的分布列为

   答：一张彩票的合理价格是0．2元．

五、小结 ：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ；④根据方差、标准差的定义求出、.若ξ～B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．

⑵对于两个随机变量和，在和相等或很接近时，比较和

，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要

六、课后作业：

1.设～B(n、p)且E=12  D=4，求n、p

解：由二次分布的期望与方差性质可知E=np     D= np（1－p） 

∴      ∴

2.已知随机变量服从二项分布即~B(6、)求b (2；6，)

解：p(=2)=c62()2()4

3.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量和，已知和   的分布列如下：（注得分越大，水平越高）

试分析甲、乙技术状况

解：由0.1+0.6+a+1a=0.3

0.3+0.3+b=1a=0.4

∴E=2.3  ,   E=2.0

D=0.81  ,  D=0.6

七、板书设计（略）

八、课后记：