陕西省西安交大阳光中学高中数学教案 选修2-1 第二章 空间向量与立体几何

第二章空间向量与立体几何
教材解析
本章突出了用空间向量解决立体几何问题的基本思想．需注意：
（1）根据问题的特点，以适当的方式（例如构建向量、建立空间直角坐标系）用空间向量表示空间图形中的点、线、面等元素，建立起空间图形与空间向量的联系.
（2）通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系（平行、垂直、角和距离等）.
（3）对运算结果的几何意义作出解释，从而解决立体几何的问题．
（4）通过例题，引导学生对解决立体几何问题的二种方法（向量方法、坐标法）进行比较，分析各自的优势，因题而宜作出适当的选择，从而提高综合运用数学知识解决问题的能力．
课时安排
2．1 从平面向量到空间向量 1 课时
2．2 空间向量的运算 1课时
2．3 向量的坐标表示和空间向量基本定理 3课时
2.3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示
2.3.2 空间向量基本定理
2.3.3 空间向量运算的坐标表示
2．4 用向量讨论垂直与平行 1课时
2．5 夹角的计算 3课时
2.5.1 直线间的夹角
2.5.2 平面间的夹角
2.5.3 直线与平面的夹角
2．6 距离的计算 1课时
小结 1课时


§2.1从平面向量到空间向量
授课
时间
第 周 星期 第 节
课型
讲授新课
主备课人
李春侠
学习
目标
1.空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示法
2.掌握两个空间向量的夹角，方向向量和平面的法向量
重点难点
重点：理解向量的夹角，直线的方向向量和平面的法向量
难点：理解共面向量的概念
学
过程
与方
法
自主学习：
①空间向量
②空间向量的表示法 ，
③空间向量的夹角 ，记作 ，规定
当＜a,b＞=时，记作 . 当＜a,b＞=或0时，记作
④直线的方向向量
⑤平面的法向量



精讲互动
（1）阅读课本26页例题完成下列问题

单位向量
零向量
相等向量
相反向量
平行向量

（2）课本27页习题2-1第4












达标训练
（1）课本27页1









课本27页2












课本27页3








作业
布置
课本27页习题2-3第2，3
学习小结/教学
反思

§2.2空间向量的运算
授课
时间
第 周 星期 第 节
课型
讲授新课
主备课人
李春侠
学习
目标
1.掌握空间向量的加减、数乘、数量积运算及运算律
2.理解两个空间向量共线的定理
重点难点
重点：向量的加减、数乘、数量积运算及运算律
难点：空间共线向量的应用
学习
过程
与方
法
自主学习：
阅读课本第29页内容并完成下列问题
①加减法的运算遵循平面向量的 法则
②结合律 ，交换律
③数乘的运算法则：空间向量a与一个实数的乘积是一个向量，记作
满足 ，
运算律：（a+b）= ,()a=
④空间向量a和b的数量积的运算公式
⑤空间向量的基本定理
精讲互动
课本30页例1
(1):



(2):



(3):


课本31页例2
（1）：



（2） ：



达标训练
（1）课本31页练习2








（2）课本31页练习3











（3）课本31页习题1










作业
布置
课本习题2-2（A）组2，3,4
学习小结/教学
反思

§2.3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示
授课
时间
第 周 星期 第 节
课型
讲授新课
主备课人
李春侠
学习
目标
1.空间向量的正交分解和坐标表示
2.向量a在向量b上的投影
重点难点
重点：空间向量的坐标表示
难点：空间向量的坐标表示的唯一性
学习
过程
与方
法
自主学习：
阅读课本33页-34页完成下列问题
① 在空间坐标系中i,j,k分别为x轴，y轴，z轴__________的_____向量对于任意空间向量a=xi+yj+zk,把a=xi+yj+zk叫做a的_______________分解
② 把__________叫做空间向量a的坐标，记作____________________
b的单位向量________，称________________________________为向量a在向量b上的投影
精讲互动
（1） 课本34页例1
















（2） 课本34页例2








达标训练
（1） 课本34页练习1
















（2） 课本34页练习2














作业
布置
课本38页习题2-3第3，6题
学习小结/教学
反思

§2.3.2向量基本定理
授课
时间
第 周 星期 第 节
课型
讲授新课
主备课人
李春侠
学习
目标
1. 空间向量基本定理的证明
2. 空间向量基本定理的应用
重点难点
空间向量基本定理的应用
学习
过程
与方
法
自主学习：
① 空间向量基本定理

②空间中不共面的三个向量 叫做这个空间的一个
精讲互动
(1)空间向量基本定理的证明过程：（师生共同完成并书写）













(2)课本35页例3











达标训练
(1) 课本36页练习1















（2）如图，已知空间四边形，其对角线，分别是对边的中点，点在线段上，且，用基底向量表示向量
















作业
布置
课本38页习题2-3A组8，B组3
学习小结/教学
反思

§2.3.3空间向量运算的坐标表示
授课
时间
第 周 星期 第 节
课型
讲授新课
主备课人
李春侠
学习
目标
1. 空间向量加法减法，数乘，数量积的坐标表示
2. 空间向量的长度与夹角的坐标表示
重点难点
空间向量的坐标运算
学习
过程
与方
法
自主学习：
设a=(,b=,即a=i+j+k,b=i+j+k
① 向量加法坐标表示a+b=
② 向量减法坐标表示a-b=
③ 向量数乘坐标表示a=
④ 向量数量积坐标表示ab=
⑤ 向量长度坐标表示
向量夹角的坐标表示cos＜a,b＞
精讲互动
（1） 课本36页例4








（2） 课本37页例5













达标训练
（1） 课本38页2







（2） 课本38页3











（3）课本38页4












作业
布置
课本38页习题2-3A组4,5
学习小结/教学
反思

§2.4用向量讨论垂直与平行
授课
时间
第 周 星期 第 节
课型
讲授新课
主备课人
李春侠
学习
目标
掌握用向量证明立体几何中的定理
重点难点
空间向量在立体几何中的作用
学习
过程
与方
法
自主学习：
①线面垂直判定定理
②面面平行的判定定理
③三垂线定理
④面面垂直的判定定理
精讲互动
（1）课本40页例1










（2）课本40页例2






课本41页例3







达标训练
（1）课本41页练习1











（2）课本41页练习2










（3）课本41页练习3










作业
布置
课本42页习题2-4第2，3，4
学习小结/教学
反思

§2.5.1直线间的夹角
授课
时间
第 周 星期 第 节
课型
讲授新课
主备课人
李春侠
学习
目标
用向量求直线间的夹角
重点难点
用向量求直线间的夹角
学习
过程
与方
法
自主学习：
①两直线共面时夹角概念
②两直线异面时夹角



③
精讲互动
（1）课本43页例1






（2）如图1，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
图1











达标训练
（1）课本45页练习1





（2）如图2，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝，则BE1与DF1所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
图2












（3）如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值。











作业
布置
课本47页习题2-5第1,5
学习小结/教学
反思

§2.5.2平面间的夹角
授课
时间
第 周 星期 第 节
课型
讲授新课
主备课人
李春侠
学习
目标
掌握用向量求直线与平面的夹角
重点难点
用向量求平面的夹角
学习
过程
与方
法
自主学习：
①两平面夹角的定义
②设 分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量 的夹角为，则有（图4）或 （图5）
S

图8
N
M
O
C
B
A









8










图4 图5




精讲互动
(1) 课本44页例2







8
（2）如图8所示，在三棱锥S－ABC中，ΔABC是边长为4三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=，M、N分别为AB、SB的中点
证明：①AC⊥SB ②求二面角N－CM－B的大小






达标训练
（1）课本45页练习1






（2）课本练习45页练习2





作业
布置
课本47页习题2-5第2,4
学习小结/教学
反思

§2.5.3直线和平面所成的角
授课
时间
第 周 星期 第 节
课型
讲授新课
主备课人
李春侠
学习
目标
掌握用向量求直线与平面所成的角
重点难点
向量在求直线与平面所成角的应用
学习
过程
与方
法
自主学习：
①直线与平面的夹角定义


②直线AB与平面α所成的角，可看成是向量所在直线与平面α的法向量所在直线夹角的余角，从而求线面角转化为求直线所在的向量与平面的法向量的所成的线线角，根据两个向量所成角的余弦公式，我们可以得到如下向量法的公式：
.














精讲互动
（1）课本45页例3






（2）课本46页例4









达标训练
（1）课本46页练习







（2）课本47页3







作业
布置
课本47页习题2-5第2，4
学习小结/教学
反思

§2.6距离的计算
授课
时间
第 周 星期 第 节
课型
讲授新课
主备课人
李春侠
学习
目标
1. 几何中点到直线的距离，点到平面的距离的概念
2. 掌握各种距离计算的方法
重点难点
重点：求点到直线，点到平面的距离
难点：直线的方向向量和平面法向量的确定
学习
过程
与方
法
A
P
θ
H
P
图7
自主学习：
①点到直线的距离概念
②点到平面的距离的概念
③利用法向量求点面距离的基本思路是：如图7，
点P为平面外一点，点A为平面内任一点，
平面的法向量为，过点P作平面的垂线PH，
记PA和所成的角为θ，则P到平面的距离
公式为：
④利用直线的方向向量求点到直线的距离的基本思路：阅读课本48页
精讲互动
（1） 课本48页例1









（2）课本49页例2








达标训练
（1） 课本50页练习1













（2） 课本50页练习2

















作业
布置
课本50页习题2-6第2,3
学习小结/教学
反思

§2.7小结与复习
授课
时间
第 周 星期 第 节
课型
复习课
主备课人
李春侠
学习
目标
1. 平面向量向空间向量堆广，空间向量的坐标表示及运算
2. 用向量去证明有关线，面位置关系的定理，用向量去求空间中的夹角及距离的问题
重点难点
重点：空间向量在立体几何中的应用
学习
过程
与方
法
自主学习：
（1）对空间任意两个向量的充要条件是(其中)（ ）
A． B． C． D．

（2）已知向量的夹角为 （ ）
A．0° B．45°
C．90° D．180°


精讲互动
（1）．已知A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），若的坐标为 .


（2）如图：ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M、N分别是PC、AB中点，
求证：MN⊥平面PCD.(12分)





达标训练
（1）已知（ ）








（2）在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是 （ ）








（3）已知A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），若的坐标为 .






作业
布置
1. 已知向量的夹角
2. 已知
学习小结/教学
反思