苏科版九年级下册5.1 二次函数精练

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二次函数--5.1--5.2小节巩固练习一、选择题二次函数 的图象如图，给出下列四个结论：① ，② ，③ ，④ ．其中结论正确的是  A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 已知二次函数 ，则函数图象随着 的逐渐增大而  A．先往右上方移动，再往右平移 B．先往左下方移动，再往左平移 C．先往右上方移动，再往右下方移动 D．先往左下方移动，再往左上方移动 二次函数   的图象如图，当 时，  的取值范围是     A． B． C． D． 或  如图，二次函数 的图象的对称轴是直线 ，则以下四个结论中：① ，② ，③ ，④ ．正确的个数是  A．  B．  C．  D．  已知二次函数 （其中 是自变量），当 时， 随 的增大而增大，且 时， 的最大值为 ，则 的值为  A．  B．  C．  D．  如果 ，，，那么二次函数 的图象大致是     A． B． C． D． 如图是抛物线 的部分图象，其顶质点坐标为 ，且与 轴的一个交点在点 和 之间，则下列结论：① ；② ；③ ；④一元二次方程 有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是  A．  B．  C．  D．  若抛物线 的顶点在第一象限，与 轴的两个交点分布在原点两侧，则点 在     A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 将二次函数 在 轴上方的图象沿 轴翻折到 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线 与这个新图象有 个公共点，则 的值为  A． 或  B． 或  C． 或  D． 或  二次函数 （，， 为常数，且 ）中的 与 的部分对应值如下表：  下列结论：（1）；（2）当 时， 的值随 值的增大而减小．（3） 是方程 的一个根；（4）当 时，．其中正确的个数为     A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 二、填空题二次函数 的开口方向    ． 抛物线 与 轴有两个交点，则 的取值范围为    ． 如图，已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，顶点 的纵坐标为 ，现将抛物线向右平移 个单位，得到抛物线 ，则下列结论正确的是    ．（写出所有正确结论的序号）① ；② ；③阴影部分的面积为 ；④若 ，则 ． 将抛物线 向右平移 个单位，再向上平移 个单位，所得的抛物线的解析式为    ． 如图，点 是双曲线 上的一点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，连接 ，．当点 在曲线 上运动，且点 在 的上方时， 面积的最大值是    ． 在平面直角坐标系中，已知 和 是抛物线 上的两点，将抛物线 向上平移 （ 是正整数）个单位，使平移后的图象与 轴没有交点，则 的最小值为    ． 如图，点 是抛物线 对称轴上的一点，连接 ，以 为旋转中心将 逆时针旋转 得到 ，当 恰好落在抛物线上时，点 的坐标为    ． 已知当 和 时，多项式 的值相等，且 ，则当 时，多项式 的值等于    ． 三、解答题回答以下问题．(1)  画出函数 的图象；(2)  试判断点 是否在上述函数图象上． 已知二次函数 的图象过点 ，当 时，函数的最小值为 ，求二次函数的表达式． 已知抛物线 经过点 ，求抛物线的解析式，并写出 关于对称轴的对称点 的坐标． 如图，已知抛物线 经过点 和点 ，与 轴交于点 ．(1)  求此抛物线的解析式；(2)  若点 是直线 下方的抛物线上一动点（不点 ， 重合），过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，设点 的横坐标为 ．①用含 的代数式表示线段 的长．②连接 ，，求 的面积最大时点 的坐标．(3)  设抛物线的对称轴与 交于点 ，点 是抛物线的对称轴上一点， 为 轴上一点，是否存在这样的点 和点 ，使得以点 ，，， 为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点 的坐标；如果不存在，请说明理由． 如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交 轴、 轴于点 ，．点 的坐标是 ，抛物线 经过 ， 两点且交 轴于点 ．点 为 轴上一点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，交抛物线于点 ，连接 ，设点 的横坐标为 ．(1)  求点 的坐标．(2)  求抛物线的表达式．(3)  当以 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形时，求 的值． 如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点．(1)  求该抛物线的解析式；(2)  求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；(3)  设抛物线上有一个动点 ，当点 在该抛物线上滑动到什么位置时，满足 ，并求出此时 点的坐标． 已知二次函数 ．(1)  求函数图象的顶点坐标，并在图中画出这个函数的图象；(2)  根据图象，直接写出：①当函数值 为正数时，自变量 的取值范围；②当 时，函数值 的取值范围． 定义：在平面直角坐标系 中，直线 称为抛物线 的关联直线．(1)  求抛物线 的关联直线；(2)  已知抛物线 与它的关联直线 都经过 轴上同一点，求这条抛物线的表达式；(3)  如图，顶点在第一象限的抛物线 与它的关联直线交于点 ，（点 在点 的左侧），与 轴负半轴交于点 ，连接 ，．当 为直角三角形时，求 的值． 如图 ，在平面直角坐标系 中，抛物线 ： 与 轴相交于 ， 两点，顶点为 ，，设点 是 轴的正半轴上一点，将抛物线 绕点 旋转 ，得到新的抛物线 ．(1)  求抛物线 的函数表达式；(2)  若抛物线 与抛物线 在 轴的右侧有两个不同的公共点，求 的取值范围；(3)  如图 ， 是第一象限内抛物线 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点 在抛物线 上的对应点为 ，设 是 上的动点， 是 上的动点，试探究四边形 能否成为正方形，若能，求出 的值；若不能，请说明理由． 定义：在平面直角坐标系中， 为坐标原点，设点 的坐标为 ，当 时，点 的变换点 的坐标为 ；当 时，点 的变换点 的坐标为 ．(1)  点 的变换点 的坐标是    ．(2)  点 的变换点 在反比例函数 的图象上，则     ， 的大小是    ．(3)  点 在抛物线 上，点 的变换点 的坐标是 ，求 的值．(4)  点 在抛物线 的图象上，以线段 为对角线作正方形 ，设点 的横坐标为 ，当正方形 的对角线垂直于 轴时，直接写出 的取值范围．
答案一、选择题1.  【答案】C【解析】 抛物线开口向下， ，结论①正确．  抛物线对称轴为直线 ， ， ，结论②错误．  抛物线与 轴有两个交点， ，结论③正确．  当 时，， ，结论④正确．【知识点】二次函数的图象与性质、二次函数与方程 2.  【答案】D【解析】二次函数 ，当 时，  顶点坐标为 ；当 时， ，顶点坐标为 ；当 时，  顶点坐标为 ．故函数图象随着 的逐渐增大而先往左下方移动，再往左上方移动．【知识点】y=ax^2+bx+c的图象、二次函数的图象变换 3.  【答案】A【知识点】二次函数的图象与性质 4.  【答案】B【知识点】二次函数的图象与性质、二次函数与方程 5.  【答案】B【知识点】二次函数的图象与性质 6.  【答案】D【知识点】二次函数的图象与性质 7.  【答案】C【解析】① 开口向上， ，对称轴在 轴右侧， ， 异号，即 ， ， ，故①正确；②根据对称性可知，抛物线与 轴的另一个交点应该在 和 之间，所以当 时，，则 ，故②不正确；③ 顶点坐标为 ， ，，，故③正确；④ 抛物线与直线 有一个公共点，  抛物线与直线 有两个公共点，  一元二次方程 有两个不相等的实数根；故④正确；所以正确的个数有 个．故选：C．【知识点】二次函数与方程、二次函数的图象与性质 8.  【答案】C【解析】 抛物线 的顶点在第一象限，与 轴的两个交点分布在原点两侧， ，， ，  在第三象限．【知识点】二次函数的图象与性质 9.  【答案】A【解析】如图所示，过点 的直线 与新抛物线有三个公共点，将直线向下平移到恰在点 处相切，此时与新抛物线也有三个公共点，令 ，解得：，即点 坐标 ，将一次函数与二次函数表达式联立得：，整理得：，，解得：，当一次函数过点 时，将点 坐标代入： 得：，解得：，综上，直线 与这个新图象有 个公共点，则 的值为 或 ．【知识点】二次函数的图象变换、二次函数与一次函数综合 10.  【答案】B【解析】提示：（1）由图表中数据画图可知二次函数开口向下，即 ；又 时，，所以 ，所以 ，故（1）正确；（2） 二次函数 开口向下，且对称轴为 ，  当 时， 的值随 值的增大而减小，故（2）错误；（3） 时，， ． ， ， ，  是方程 的一个根，故（3）正确；（4） 时，，  时，．  时，，且函数有最大值，  当 时，，故（4）正确．【知识点】二次函数的图象与性质 二、填空题11.  【答案】向下【解析】二次函数 中 ，故二次函数 的开口方向向下．故答案为：向下．【知识点】二次函数的图象与性质 12.  【答案】 且  【解析】 抛物线 与 轴有两个交点，  解得 且 ．【知识点】二次函数与方程、二次函数的概念 13.  【答案】③④ 【知识点】二次函数的图象变换、二次函数的图象与性质 14.  【答案】 【解析】抛物线 的顶点坐标为 ，把点 向右平移 个单位，再向上平移 个单位所得对应点的坐标为 ，所以平移后的抛物线的解析式为 ．【知识点】二次函数的图象变换 15.  【答案】 【知识点】三角形的面积、反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质 16.  【答案】 【解析】 点 和 是抛物线 上的两点， ，解得 ，  抛物线的解析式为 ，  将抛物线 向上平移 （ 是正整数）个单位，平移后的图象与 轴没有交点，  的最小值是 ．【知识点】二次函数的图象变换、二次函数与方程 17.  【答案】 或  【解析】 抛物线 对称轴为直线 ，  设点 坐标为 ，如图所示，作 于点 ，作 ， ， ， ， ，又 ， ，在 和 中，   （）， ，，则点 坐标为 ，代入 得：，解得： 或 ，  点 坐标为 或 ．【知识点】二次函数与三角形综合、二次函数的图象变换 18.  【答案】【解析】 和 时，多项式 的值相等，  二次函数 的对称轴为直线 ，  二次函数 的对称轴为直线 ， ， ，，  当 时，．【知识点】二次函数的图象与性质 三、解答题19.  【答案】(1)  列表如下：描点，连线：(2)  当 时，，  点 不在函数 的图象上．【知识点】描点法画二次函数图像、二次函数的图象与性质 20.  【答案】 ．【知识点】二次函数的解析式、二次函数的图象与性质 21.  【答案】 ，．【知识点】二次函数的图象变换 22.  【答案】(1)   抛物线 经过点 和点 ，与 轴交于点 ，  解得   抛物线解析式为 ． (2)  如图：①设 ，将点 ， 代入得直线 解析式为 ．  过点 作 轴的平行线交直线 于点 ， ， ．答：用含 的代数式表示线段 的长为 ．②    当 时， 有最大值．当 时，． ．答： 的面积最大时点 的坐标为 ． (3)  点 的坐标为 ，，． 【解析】(3)  存在这样的点 和点 ，使得以点 ，，， 为顶点的四边形是菱形．根据题意，点 ， ， ，根据菱形的四条边相等， ， ．当 时，．答：点 的坐标为 ，，．【知识点】二次函数的解析式、一次函数的图象与性质、坐标平面内图形的面积、二次函数的图象与性质、菱形的判定 23.  【答案】(1)  令 ，解得：，  点 坐标为 ．(2)  把点 ， 坐标代入二次函数表达式，得 解得： 故：二次函数表达式为 ． (3)   中，令 ，则 ，故 ，  中，令 ，则 ，故 ， ，设点 ，则 ，则 ，以 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形时，则：，即 ，当 时，解得： 或 （舍去）；当 时，解得 ．故：． 【知识点】二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次方程的关系、平行四边形的判定 24.  【答案】(1)   抛物线 与 轴交于 ， 两点，  方程 的两根为 或 ， ，， ，，  二次函数解析式是 ．(2)   ，  抛物线的对称轴 ，顶点坐标 ．(3)  设 的纵坐标为 ， ， ， ， ， ，把 代入解析式得，，解得，，把 代入解析式得，，解得，，  点 在该抛物线上滑动到 或 或 时，满足 ．【知识点】二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、一元二次方程的解法 25.  【答案】(1)   ，  图象的顶点坐标为 ．图象如图．(2)  ①当 时，函数值 为正数．②当 时，函数值 的取值范围为 ．【知识点】描点法画二次函数图像、二次函数与不等式 26.  【答案】(1)     关联直线为  (2)   抛物线 与它的关联直线 都经过 轴上同一点， ，，可设抛物线的顶点式为 ，则其关联直线为 ，  解得 或   抛物线 或 ． (3)  由题意：，，， ，，，显然 且 ，故 不能成为 的斜边，当 时： 解得 ，当 时： 解得 ，  抛物线的顶点在第一象限 ，即 或  【知识点】二次函数的图象与性质、二次函数的解析式、二次函数与方程、勾股定理 27.  【答案】(1)  由题 ，，  点 ，点 ，设抛物线 的函数表达式为：，又 经过点 ，  解得 ， ， ．(2)  方法一：记抛物线 的顶点为点 ，  点 与点 关于点 中心对称，  由点 ，点 可知点 ，  抛物线 的对称轴记为 ，应有 ：，抛物线 和直线 交点记为点 ，可求得为 ，  拋物线 与抛物线 在 轴的右侧有两个不同的公共点，  应满足点 应恒在点 的下方， ， ， ， ，  或 （舍）， ．(3)  方法一：由题，设点 到两坐标轴距离相等， ，又 点 在第一象限， ，解得：，（舍），  点 ，由中心对称性点 ，  四边形 是正方形，  点 和点 应关于点 对称，过点 作平行于 轴，垂直于 轴的垂线 ，过点 作 于点 ，过点 作平行于 轴，垂直于 轴的垂线，，过点 作 于点 ，若四边形 为正方形，则 为等腰直角三角形， ， ，，设点 ，  ①当 时，解得有 ，（舍）；②当 时，解得 ， （舍）或 ；③当 时，解得 ，，  综上，当 时，四边形 是正方形．【解析】(2)  方法二：由题意抛物线 的顶点坐标为 ，设抛物线 的解析式为： ，由 消去 得到 ，由题意，拋物线 与抛物线 在 轴的右侧有两个不同的公共点，则有 解得：．  满足条件的 的取值范围为 ．(3)  方法二：  在第一象限抛物线上，且到两坐标轴距离相等，  联立 可得 ，假设存在 ，使四边形 为正方形，  与 关于 中心对称，  为 与 交点， ，，①如图：  此时 ，又 在 上，则 ，解得 ，，  在 轴正半轴， ；②如图：  此时 ，代入 ， ，解得：，，  在 轴正半轴， ，综上：存在，．【知识点】y=ax^2+bx+c的图象、二次函数与四边形综合、二次函数与方程、二次函数的解析式、二次函数与不等式、二次函数的图象变换 28.  【答案】(1)    (2)   ；  (3)   ，若 为 ，此时 ，代入 ，得 ，即 （舍）或 ，若 为 ，此时 ，解得 或 ． (4)   的取值范围是 ，，． 【解析】(1)   中，，故 ．(2)   中，，故 ， ，此时 ，， ．(4)  当 时，点 与点 关于 轴对称，此时 轴， ．当 时， 轴，则点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，将点 代入 ，得 ，解得 ，（不合题意，舍）， ．  轴，则 轴， ，将点 代入 ，得 ，解得 ，（舍）， ．综上， 的取值范围是 ，，．【知识点】反比例函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、二次函数与方程、坐标平面内图形轴对称变换、勾股定理、正方形的性质