初中数学苏科版九年级下册5.1 二次函数同步达标检测题

二次函数--5.1--5.2小节基础练习

一、选择题

1. 将抛物线 向右平移 个单位，再向上平移 个单位后，抛物线的解析式是

 A．  B．

 C．  D．

2. 将抛物线 向左平移 个单位，所得抛物线的解析式为

 A． B． C． D．

3. 将抛物线 平移后得到抛物线 ，则平移方式为

 A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位

 C．向上平移 个单位 D．向下平移 个单位

4. 下列函数中是二次函数的是

 A．  B．

 C．  D．

5. 将抛物线 向右平移 个单位，再向上平移 个单位后，抛物线的解析式为

 A．  B．

 C．  D．

6. 二次函数 （，， 为常数）的图象如图所示，若 ，则下列关于函数 的图象与性质描述正确的是

 A．函数 的图象开口向上

 B．函数 的图象与 轴没有公共点

 C．当 时， 随 的增大而减小

 D．当 时，函数 的值小于

7. 将抛物线 向左平移 个单位得到的抛物线的解析式是

 A． B．

 C． D．

8. 已知二次函数 ，若其图象抛物线不动，把 轴、 轴分别向上、向右平移 个单位，那么在新坐标系下该抛物线的解析式是

 A．  B．

 C．  D．

9. 如图，已知抛物线 与 轴交于点 ，与 轴分别交于 ， 两点，将该抛物线平移后分别得到抛物线 ，，其中 的顶点为点 ， 的顶点为点 ，则由这三条抛物线所围成的图形（图中阴影部分）的面积为

 A． B． C． D．无法计算

10. 已知 ，， 为非负实数，且 ，则代数式 的最小值为   

 A． B． C． D．

二、填空题

11. 已知二次函数 及一次函数 ，将该二次函数在 轴上方的图象沿 轴翻折到 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），请你在图中画出这个新图象，当直线 与新图象有 个交点时， 的取值范围是    ．

12. 若将抛物线 向左平移 个单位，再向下平移 个单位，则所得抛物线表示的函数关系式为    ．

13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交 轴的负半轴于点 ，点 是 轴正半轴上一点，点 关于点 的对称点 恰好落在抛物线上．过点 作 轴的平行线交抛物线于另一点 ．若点 的横坐标为 ，则 的长为    ．

14. 已知抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），将这条抛物线向右平移 个单位，平移后的抛物线与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），若 ， 是线段 的三等分点，则 的值为    ．

15. 如图，已知二次函数 的图象经过点 ，，当 随 的增大而增大时， 的取值范围是    ．

16. 已知函数 是二次函数，且它的开口向上，则 的值为    ．

17. 如图，观察图中的二次函数图象可得：抛物线的对称轴是    ．当     时， 随 的增大而增大；当     时， 随 的增大而减小；当     时， 达到最    （填“大”或“小”）值    ．

18. 已知抛物线 过点 ，且抛物线上任意不同两点 ， 都满足：当 时，；当 时，．以原点 为圆心， 为半径的圆与抛物线的另两个交点为 ，，且 在 的左侧， 有一个内角为 ，则抛物线的解析式为    ．

三、解答题

19. 如图，抛物线 与 轴相交于 ， 两点，与 轴相交于点 ，，，直线 是抛物线的对称轴，在直线 右侧的抛物线上有一动点 ，连接 ，，，．

(1)  求抛物线函数表达式；

(2)  若点 在 轴的下方，当 的面积是 时，求 的面积；

(3)  在（）的条件下，点 是 轴上一点，点 是抛物线上一动点，是否存在点 ，使得以点 ，，， 为顶点，以 为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．

20. 试分别说明将抛物线 的图象，通过怎样的平移得到下列函数的图象：

(1)  

(2)  

(3)  

21. 回答以下问题．

(1)  画出函数 的图象；

(2)  试判断点 是否在上述函数图象上．

22. 当 为何值时，函数 是二次函数？当 为何值时，这个函数是一次函数？

23. 指出二次函数 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出这个函数的图象．

24. 把抛物线 向右平移 个单位，再向下平移 个单位，求平移后所得图象的函数解析式．

25. 在同一直角坐标系中，画出函数 与 的图象，并说明通过怎样的平移，可以由抛物线 得到抛物线 和 ？

26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 ，当 时，该抛物线与 轴的两个交点为 ，（点 在点 左侧）．

(1)  求点 ，， 的坐标；

(2)  若该抛物线与线段 总有两个公共点，结合函数的图象，求 的取值范围．

27. 对某一个函数给出如下定义：若存在实数 ，对于任意的函数值 ，都满足 ，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是 ．

(1)  分别判断函数 和 是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；

(2)  若函数 的边界值是 ，且这个函数的最大值也是 ，求 的取值范围；

(3)  将函数 的图象向下平移 个单位，得到的函数的边界值是 ，当 在什么范围时，满足 ？

28. 已知二次函数 ．

(1)  用配方法求出函数的顶点坐标；

(2)  求出该二次函数图象与 轴的交点坐标．

(3)  该图象向右平移     个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点，请直接写出平移后所得图象与 轴的另一个交点的坐标为    ．

答案

一、选择题

1.  【答案】B

【知识点】二次函数的图象变换

2.  【答案】C

【知识点】二次函数的图象变换

3.  【答案】C

【解析】根据二次函数平移“上加下减，左加右减”，

抛物线 平移后得到抛物线 ，

因此，平移方式为向上平移 个单位，

故本题正确答案选C．

【知识点】二次函数的图象变换

4.  【答案】D

【解析】选项A中， 不是整式，故不是二次函数；选项B中，化为一般形式为 ，是一次函数，故不是二次函数；选项C不符合二次函数的定义，故不是二次函数；选项D中，，符合二次函数的定义．

【知识点】二次函数的概念

5.  【答案】B

【解析】 将抛物线 向上平移 个单位再向右平移 个单位，

  平移后的抛物线的解析式为：．

【知识点】二次函数的图象变换

6.  【答案】C

【解析】 ，

 ，

由可以看出 ，，

  开口向下，

 ，

 ，无法端点 的取值情况：

  是 关于 轴对称后向上平移两个单位得到的，

从图象看，当 时， 随 的增大而减小，

  随 的增大而减小，

当 时，，

  当 时，，

故选：C．

【知识点】二次函数的图象与性质、二次函数与不等式

7.  【答案】C

【知识点】二次函数的图象变换

8.  【答案】B

【解析】抛物线不动，把 轴、 轴分别向上、向右平移 个单位，

即把抛物线向下、向左平移 个单位，

则该抛物线的解析式是 ．

【知识点】二次函数的图象变换

9.  【答案】B

【知识点】二次函数与方程、y=ax^2+bx+c的图象、二次函数的图象变换

10.  【答案】D

【解析】设二次函数 ，由于 ，所以 且 ，所以 ，根据二次函数的性质当 时， 的最小值为 ．

【知识点】二次函数的图象与性质

二、填空题

11.  【答案】

【知识点】二次函数与方程、二次函数的图象变换

12.  【答案】

【知识点】二次函数的图象变换

13.  【答案】

【知识点】二次函数的图象与性质、二次函数的图象变换

14.  【答案】 或

【知识点】二次函数的图象变换、二次函数与方程

15.  【答案】

【知识点】二次函数的图象与性质

16.  【答案】

【知识点】二次函数的概念

17.  【答案】直线 ； ； ； ； 大；

【知识点】二次函数的图象与性质

18.  【答案】

【解析】 抛物线过点 ，

 ，

当 时，，由 ，得到 ，

  当 时， 随 的增大而增大，

同理当 时， 随 的增大而减小，

  抛物线的对称轴为 轴，且开口向下，即 ，

  以 为圆心， 为半径的圆与抛物线交于另两点 ，，如图所示，

  为等腰三角形，

  中有一个角为 ，

  为等边三角形，且 ，

设线段 与 轴的交点为点 ，则有 ，且 ，

 ，，

  在 的左侧，

  的坐标为 ，

  点在抛物线上，且 ，，

 ，

解得：，

则抛物线解析式为 ．

【知识点】解直角三角形、二次函数的图象与性质、圆的对称性

三、解答题

19.  【答案】

(1)   ，，

 ，，

将 ， 代入 得：

解得：，，

  抛物线的函数表达式为：．

(2)  由（）可得抛物线 的对称轴 ，，

设直线 ，

可得：

解得 ，，

  直线 的函数表达式为：，

如图 ，过 作 交 于点 ，交 于点 ，

设 ，则 ，

 ，由题意可得 ，

整理得 ，

解得 （舍去），，

 ，

 ，，

 ．

(3)  存在．

由（）可得抛物线 的对称轴 ：，由（）知 ，

  如图 ，

当 ， 时，四边形 即为平行四边形，

此时 ，点 与点 重合，四边形 即为平行四边形，

  由对称性可知 点横坐标为 ，将 代入 ，解得 ，

  此时 ，四边形 即为平行四边形．

  如图 ，

当 ， 时，四边形 为平行四边形，

过点 做 ，过点 做 ，由题意可得 ，

  此时 点纵坐标为 ，

将 代入 ，得 ，解得：，

  此时 或 ，四边形 为平行四边形．

综上所述， 或 或 ．

【知识点】一次函数的图象与性质、二次函数的解析式、平行四边形的判定、图形初步、二次函数的图象与性质

20.  【答案】

(1)  沿 轴向左平移 个单位

(2)  沿 轴向下平移 个单位

(3)  先沿 轴向右平移 个单位，再沿 轴向上平移 个单位

【知识点】二次函数的图象变换

21.  【答案】

(1)  列表如下：描点，连线：

(2)  当 时，，

  点 不在函数 的图象上．

【知识点】描点法画二次函数图像、二次函数的图象与性质

22.  【答案】当 时，即 时，函数是二次函数；

当 时，即 时，函数是一次函数．

【知识点】二次函数的概念

23.  【答案】开口方向是向上，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ，画图略．

【知识点】二次函数的图象与性质、描点法画二次函数图像

24.  【答案】根据平移的性质可解：

平移后的图象解析式：．

【知识点】二次函数的图象变换

25.  【答案】图略．抛物线 和抛物线 分别是由抛物线 向上、向下平移一个单位得到的．

【知识点】描点法画二次函数图像、二次函数的图象变换

26.  【答案】

(1)  当 时，抛物线为 ，

  点 的坐标为 ，

令 ，解得 ，，

  在点 左侧，

 ，．

(2)  当 时，；

当 时，，

  抛物线 必过点 点和 点；

①当 ，当 时， 时，抛物线与线段 总有两个公共点，

即 ，解得 ；

②当 时，当顶点为 点时，，

解得 ，则 时抛物线与线段 总有两个公共点．

综上所述， 的取值范围为 或 ．

【知识点】二次函数的图象与性质、二次函数与方程

27.  【答案】

(1)   不是，

  是，边界值为 ．

(2)   ， 随 的增大而减小，

  当 时，，当 时，．

  边界值是 ，，

 ，

 ．

(3)  若 ，图象向下平移 个单位后， 时，，此时函数的边界值 ，不合题意，故 ．

  函数 ，当 时，，当 时，，

  向下平移 个单位后，，，

  边界值 ，

  或 ，

  或 ．

【知识点】二次函数的图象变换、k,b对一次函数图象及性质的影响、反比例函数的解析式、一次函数的解析式

28.  【答案】

(1)   ，

所以抛物线的顶点坐标为 ；

(2)  当 时，，解得 ，，

抛物线 与 轴的交点坐标为 ，；

(3)   ；．

【解析】

(3)  因为抛物线 与 轴的交点坐标为 ，，

所以将抛物线 向右平移 个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点，平移后所得图象与 轴的另一个交点的坐标为 ．

【知识点】二次函数的三种形式之间转化、二次函数的图象变换、二次函数与方程