选择性必修第一册 第3章（2）双曲线 基础过关卷（含答案）

双曲线基础过关 专题

1．曲线与曲线的（   ）

A．长轴长相等 B．短轴长相等

C．焦距相等 D．离心率相等

2．在平面直角坐标系中，经过点且离心率为的双曲线的标准方程为(   )

A． B． C． D．

3．已知双曲线离心率,与椭圆有相同的焦点,则该双曲线渐近线方程是()

A． B． C． D．

4．已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为（    ）

A． B． C． D．

5．设双曲线（，）的左焦点为F，离心率是，M是双曲线渐近线上的点，且（O为原点），若，则双曲线的方程为（    ）

A． B． C． D．

6．已知双曲线(，)，过其左焦点作轴的垂线，交双曲线于、两点，若双曲线的右顶点在以为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（    ）.A．    B．     C．     D．

7．已知点为双曲线的右焦点，若在双曲线的右支上存在点，使得中点到原点的距离等于点到点的距离，则双曲线的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，与另一条渐近线交于点，是的中点，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

9．（多选）已知双曲线C的标准方程为，则（    ）

A．双曲线C的离心率等于半焦距

B．双曲线与双曲线C有相同的渐近线

C．双曲线C的一条渐近线被圆截得的弦长为

D．直线与双曲线C的公共点个数只可能为0，1，2

10．（多选）双曲线C：的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是（    ）

A．双曲线C的离心率为；

B．若，则的面积为；

C．的最小值为2；

D．双曲线与C的渐近线相同.

11．已知一个双曲线的方程为：，则的取值范围是__.

12．若双曲线的离心率是2，则实数k的值是    

13．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6,0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线的左支上，则________.

14．已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，若，，则双曲线的离心率为__________.

15．求满足下列条件的双曲线的标准方程：

（1）一条渐近线方程为，且与椭圆有相同的焦点；

（2）经过点，且与双曲线有共同的渐近线．

16．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，渐近线方程为y＝±x，且双曲线过点P(4，－)．

(1)求双曲线的方程；

(2)若点M(x1，y1)在双曲线上，求的范围．

17．已知双曲线的焦点为，且该双曲线过点.

（1）求双曲线的标准方程及其离心率、渐近线方程；

（2）若双曲线上的点满足，求的面积.

18．已知动圆过点并且与圆相外切，动圆圆心的轨迹为.

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）过点的直线与轨迹交于、两点，设直线，点，直线交于,求证：直线经过定点.

双曲线参考答案

1．C2．B3．C4．D5．D6．B7．B8．C9．AD10．ABD

11．或.   12．  13．   14．

15．【详解】（1）方法1：椭圆方程可化为，焦点坐标为，

故可设双曲线的方程为，其渐近线方程为，

则，

又，

所以可得，，

所以所求双曲线的标准方程为．

方法2：由于双曲线的一条渐近线方程为，则另一条渐近线方程为．

故可设双曲线的方程为，即，

因为双曲线与椭圆共焦点，

所以，

即，

解得，

所以所求双曲线的标准方程为．

（2）由题意可设所求双曲线方程为，

因为点在双曲线上，

∴，解得，

所以所求双曲线的标准方程为．

16．【详解】(1)设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．

∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.

∴双曲线的方程为x2－y2＝6.

(2)由(1)可知，a＝b＝，∴c＝，

∴F1(－，0)，F2(，0)，

＝(－－x1，－y1)，＝(－x1，－y1)，

∴，

∵点M(x1，y1)在双曲线上，∴，

∴，

∵≥0，∴≥－6.

17．【详解】（1）设双曲线的方程为，由，，且该双曲线过点，所以

，

，又，，

双曲线的标准方程为；

所以双曲线的离心率，双曲线的渐近线方程为：.

（2）由，得，

．

18．【详解】（1）由已知得，即，

所以的轨迹为双曲线的右支，且，，，，

∴，

曲线的标准方程为.

（2）当直线的斜率不存在时，，，，则直线经过点；

当直线的斜率存在时，不妨设直线，，，

则直线：，当时，，，

由得，

所以，，

下面证明直线经过点，即证，即，

即，由，，

整理得， ，即恒成立.

即，即经过点，

故直线过定点.