选择性必修第一册 第1章（1）空间向量 基础过关卷（含答案）

期末复习  空间向量基础过关卷

第I卷（选择题）

一、单选题

1．已知，则下列向量中与平行的是（    ）

A． B． C． D．

2．已知是两两垂直的单位向量，，则与的数量积等于（    ）

A．－15 B．－5 C．－3 D．－1

3．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点， F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为（    ）

A．1∶2 B．1∶1 C．3∶1 D．2∶1

4．已知{}是空间向量的一个基底，则与向量，可构成空间向量基底的是（　　）

A． B． C． D．

5．已知向量且与互相垂直，则（   ）

A． B． C． D．

6．如图所示，在一个长、宽、高分别为2、3、4的密封的长方体装置中放一个单位正方体礼盒，现以点D为坐标原点，、、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则正确的是（    ）

A．的坐标为 B．的坐标为

C．的长为 D．的长为

7．如图，在棱长为a的正方体中，P为的中点，Q为上任意一点，E，F为上两个动点，且的长为定值，则点Q到平面的距离（    ）

A．等于 B．和的长度有关

C．等于 D．和点Q的位置有关

8．如图所示，三棱柱所有棱长均相等，各侧棱与底面垂直，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．给出下列命题，其中正确命题有（    ）

A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底

B．已知向量，则存在向量可以与，构成空间的一个基底

C．，，，是空间四点若不能构成空间的一个基底那么，，，共面

D．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底

10．已知正方体的中心为，则下列结论中正确的有（    ）

A．与是一对相反向量

B．与是一对相反向量

C．与是一对相反向量

D．与是一对相反向量

第II卷（非选择题）

三、填空题

11．若，，则________.

12．已知向量，，是三个不共面的非零向量，且，，，若向量，，共面，则________.

13．已知，且与夹角为钝角，则x的取值范围为___________

14．已知向量，则向量的单位向量______．

四、解答题

15．已知，求：

（1）；

（2）与所成角的余弦值.

16．如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点.

（1）求证：；

（2）若平面，求平面与平面的夹角大小；

（3）在（2）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.

17．已知三点

（1）求以为邻边的平行四边形面积

（2）求平面一个法向量

（3）若向量分别与，垂直，且求的坐标.

18．如图所示，直角梯形ABCD中，，，，四边形EDCF为矩形，，平面平面ABCD．

(1)求证：平面ABE；

(2)求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值．

(3)在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．

参考答案

1．B2．A3．B4．D5．A6．D    7A．8．A9．ACD10．ACD11．

12．1   13．   14．

15．解析：（1）因为，所以＝＝，解得x＝2,y＝－4，

这时＝(2,4,1)，＝(－2,－4,－1)．又因为，所以＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是＝(3，－2,2)．

（2）由（1）得＝(5,2,3)，＝(1，－6,1)，

设与所成角为θ，因此cosθ＝＝－.

16．（1）证明：连接，设交于，由题意知平面.以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系如图.

设底面边长为，则高.

于是，，

，，

∵，故，从而.

（2）由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求角为，则，∴平面与平面的夹角为30°.

（3）在棱上存在一点使平面.由（2）知是平面的一个法向量，且，.

设，则

而，

即当时，，而不在平面内，故平面.

17．（1）；（2）；（3）.

解：（1），，

，

.

（2）设平面的一个法向量为，

，可得，

取.

（3）∵，，∴，

设，∵，解得，

∴.

18．解析：（Ⅰ）取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，∴，，

设平面的法向量，∴不妨设，又，

∴，∴，又∵平面，∴平面．

（Ⅱ）∵，，设平面的法向量，

∴不妨设，∴，

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

（Ⅲ）设 ，，∴，

∴，又∵平面的法向量，

∴，∴，∴或．

当时，，∴；当时，，∴．

综上，．