选择性必修第一册 第1章（3）空间向量 综合卷（含答案）

期末复习 空间向量综合卷

第I卷（选择题）

一、单选题

1．若构成空间的一组基底，则(    )

A． B． 

C． D．

2．已知a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),c=(1,-x,2),若(a+b)⊥c,则x等于(　　)

A．4 B．-4 C． D．-6

3．是空间的一个基底，向量，，，.若，则，，分别为（    ）.

A．，， B．，1，

C．，1， D．，1，

4．已知是两两垂直的单位向量，，则与的数量积等于（    ）

A．－15 B．－5 C．－3 D．－1

5．在如图所示的坐标系中,为正方体,给出下列结论:

①直线 的一个方向向量为(0,0,1);

②直线的一个方向向量为(0,1,1);

③平面的一个法向量为(0,1,0);

④平面的一个法向量为(1,1,1).

其中正确的个数为(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4

6．向量，若，且，则的值为（    ）

A． B．1 C． D．4

7．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，P是侧面内一点，若平行于平面，则线段长度的最小值为（    ）

A． B． C． D．

8．如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知，,且与夹角为，则的取值可以是（    ）

A．17 B．-17 C．-1 D．1

10．给出下列命题，其中不正确的命题为（    ）

A．若＝，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段；

B．若，则是钝角；

C．若为直线l的方向向量，则 (λ∈R)也是l的方向向量；

D．非零向量满足与，与，与都是共面向量，则必共面．

11．（多选题）如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则（    ）

A．点的坐标为

B．点关于点对称的点为

C．点关于直线对称的点为

D．点关于平面对称的点为

12．如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（    ）

A．直线与所成的角可能是

B．平面平面

C．三棱锥的体积为定值

D．平面截正方体所得的截面可能是直角三角形

第II卷（非选择题）

未命名

三、填空题

13．若向量，则=_____

14．如图所示，在正方体中，M为棱的中点，则异面线与AM所成角的余弦值为________.

15．若向量1，，且，则______．

16．已知是空间的一个基底，若，则________.

四、解答题

17．如下图所示，四棱锥中，底面，，为的中点，底面四边形满足，，．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

18．如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面夹角的余弦值；

（3）在上是否存在一点，使得与所成角为？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．

19．如图一所示，四边形是边长为的正方形，沿将点翻折到点位置(如图二所示)，使得平面和垂直.分别为的中点.

（1）求证：；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

20．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，平面平面，且，，分别为，的中点.

求：（1）点到平面的距离.

（2）平面与平面的夹角的正弦值.

21．如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．

（1）证明：平面平面；

（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．

22．如图，在三棱柱中，平面,，分别是的中点

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成二面角为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

 第一章综合参考答案

1．A2．B3．A4．A5．C6．C7．B8．D9．AC10．ABCD11．ACD12．BC13．13

14．15．：（）或（，，）．16．0

17．（Ⅰ）∵底面，∴，

如图以点为原点，直线、、分别为、、轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

∴，，∴，

∴，，∴平面，

∵平面，∴平面平面；

（Ⅱ）设为平面的一个法向量，

又，，，

则，取，得

设为平面的一个法向量，又，，

则，取，得，

∴，∴二面角的余弦值．

18．（1）证明：以为原点，、、分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，0，，，0，，，2，，，2，，，1，，，1，，，2，，，2，，

设平面的法向量为，，，则，即，

令，则，，，1，，，

故平面．

（2）解：由（1）知，平面的法向量为，1，，，0，，

同（1）可求得平面的法向量，0，，，，

由图可知，平面与平面的夹角为钝角，平面与平面夹角的余弦值为．

（3）解：设，则，0，，，0，，

与所成角为，，2，，

，，解得，

故在上存在一点，使得与所成角为，点的坐标为，0，．

19．（1）证明：取中点，连结，，，

，，，平面，平面，

平面，．

（2）二面角是直二面角，，，，，两两垂直，以为原点，、、分别为，，轴，建立空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，1，，，，，，0，，

，分别为，的中点．，，，，

设，，是平面的一个法向量，

，令，得，1，，

平面，平面的一个法向量，0，，

设平面与平面所成的锐二面角为，

则．

平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．

20．（1）；（2）.

（1）连接，，因为，所以，

又平面平面，所以面；

又底面为矩形，取中点，连接，则，，两两垂直；

以，，为一组正交基底建立空间直角坐标系，因为，，

所以，，，，

又，所以为直角三角形，则，

所以，，则，，，

设平面的一个法向量为，

则，因此，不妨令，则，

所以点到平面的距离为；

（2）设平面的一个法向量为，因为，，

则，则，不妨令，则.

设平面与平面的夹角为，故，

又因为，所以.

21．解：（1）由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为上异于C，D的点,且DC为直径，所以 DM⊥CM.

又 BCCM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.

（2）以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz.

当三棱锥M−ABC体积最大时，M为的中点.由题设得，

设是平面MAB的法向量,则

即

可取.

是平面MCD的法向量,因此，

，所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是.

22．（1）证明:取的中点，连接，交于点，可知为的中点，

连接，易知四边形为平行四边形，所以，

又平面，平面，所以平面.

（2）分别以所在的直线为轴、轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

可得，

则，

设平面的法向量为，

则，即，令，可得，即，

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

（3）假设在棱是存在一点，设，可得，

由，可得，

设平面的法向量为，

则，即，令，可得，即，

又由平面的一个法向量为，所以，因为平面与平面所成二面角为，

可得，解得，此时，符合题意，

所以在棱上存在一点，使得平面与平面所成二面角为.