选择性必修第一册 第2章（2）直线和圆的方程 基础过关卷（含答案）

这是一份选择性必修第一册 第2章（2）直线和圆的方程 基础过关卷（含答案），共9页。试卷主要包含了4～§2等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．圆x2＋y2－6x＋12y＝0的圆心坐标是( )
A．(3,6) B．(－3,6)
C．(－3，－6) D．(3，－6)
2．（2015北京）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是
A． B．
C． D．
3．与圆x2＋y2－6x＋2y＋6＝0同圆心且经过点(1，－1)的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝8
B．(x＋3)2＋(y＋1)2＝8
C．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
D．(x＋3)2＋(y＋1)2＝4
4．若P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )
A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0 D．x－y－3＝0
5．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
D．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
6．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a等于( )
A．－eq \f(1,2) B．1 C．2 D.eq \f(1,2)
7.(2020年北京卷）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A. 4B. 5C. 6D. 7
8.（2020年全国1卷）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
9．（多选题）当实数变化时，圆与圆的位置关系可能是
A．外离B．外切C．相交D．内含
10．（多选题）已知圆和圆交于、两点，下列说法正确的是
A．两圆有两条公切线
B．直线的方程为
C．线段的长为
D．所有过点、的圆的方程可以记为，
二、填空题
11．已知圆O1与圆O2的半径分别为R，r，且它们是方程x2－9x＋14＝0的两根，若圆O1与圆O2相切，则圆心距|O1O2|等于________．
12．若圆C过点(0,2)及直线x－2y＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点，则圆C的方程为__________．
13.(2020•天津卷）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．
14．已知直线ax－y－1＝0与圆x2＋y2＋2x＋2by－4＝0相交于A，B两点，若线段AB中点为(1,1)，则a＝________，b＝________.
三、解答题
15．已知圆C经过点A(0，－6)，B(1，－5)，且圆心在直线l：x－y＋1＝0上，求圆C的方程．
16．若⊙A的方程为x2＋y2－2x－2y－7＝0，⊙B的方程为x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，判断⊙A和⊙B是否相交？若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离，若不相交，说明理由．
17.已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.
(1)m∈R时，证明l与C总相交；
(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短？求此弦长．
18.已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0与圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0.
(1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程；
(2)求过点(2, 3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．
参考答案
一、选择题
1.D 2．D 3．C 4．D 5．A 6．C 7.A 8.D. 9．． 10．．
7.【警示】求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案.
【解析】设圆心，则，化简得，
所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
所以，所以，
当且仅当在线段上时取得等号，故选：A.
8.【警示】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据可知，当直线时，最小，求出以为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．
【解析】圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而，
当直线时，，，此时最小．
∴即，由解得，．
所以以为直径的圆的方程为，即，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
故选：D.
【叮嘱】直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.
10.解：．因为圆和圆相交于、两点，所以两圆有两条公切线，故正确；
．圆和圆的方程相减得：，所以直线的方程为，故正确；
．圆心到直线的距离为：，所以线段的长为，故错误；
．因为，，所以可知，该圆方程恒过两点，方程可化为，，
而，
所以方程，表示圆，但不包括圆，故不正确．
故选：．
二、填空题
11．5或9 12．x2＋y2－4＝0. 13. 5． 14． 2 －2
三、解答题
15．解 ∵A(0，－6)，B(1，－5)，
∴线段AB的中点Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(11,2)))，
直线AB的斜率kAB＝eq \f(－5－－6,1－0)＝1.
∴AB的垂直平分线l′的方程是
y＋eq \f(11,2)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，
即x＋y＋5＝0.
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＋5＝0，,x－y＋1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝－2，))
即圆心C(－3，－2)，则圆的半径
r＝|AC|＝eq \r(0＋32＋－6＋22)＝5.
∴圆C的方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
16．解 ⊙A的方程可写成(x－1)2＋(y－1)2＝9，
圆心A(1,1)，半径为3.
⊙B的方程可写成(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，
圆心B(－1，－1)，半径为2.
∴两圆心之间的距离满足
3－2<|AB|＝eq \r(1＋12＋1＋12)＝2eq \r(2)<3＋2.
∴两圆相交，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－2x－2y－7＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，))
两式相减，
得过两圆交点的直线方程为4x＋4y＋5＝0.
设两交点分别为C，D，则CD：4x＋4y＋5＝0，
点A到直线CD的距离为
d＝eq \f(|4×1＋4×1＋5|,\r(42＋42))＝eq \f(13\r(2),8).
则两交点间的距离|CD|＝2eq \r(r2－d2)＝eq \f(\r(238),4).
17.(1)证明 直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，
由点斜式可知，直线恒过点P(4，－3)．
由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，
所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交．
(2)解 圆的方程可化为(x－3)2＋(y＋6)2＝25.
如图，当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短．
此时PC⊥l，
又kPC＝eq \f(－3－－6,4－3)＝3，所以直线l的斜率为－eq \f(1,3)，
则2m＝－eq \f(1,3)，所以m＝－eq \f(1,6).
在Rt△APC中，|PC|＝eq \r(10)，|AC|＝r＝5.
所以|AB|＝2eq \r(|AC|2－|PC|2)＝2eq \r(15).
故当m＝－eq \f(1,6)时，l被C截得的弦长最短，最短弦长为2eq \r(15).
18.解 (1)把圆C1与圆C2都化为标准方程形式，得(x＋2)2＋(y－2)2＝13，(x－4)2＋(y＋2)2＝13.
圆心与半径长分别为C1(－2,2)，r1＝eq \r(13)；
C2(4，－2)，r2＝eq \r(13).
因为|C1C2|＝eq \r(－2－42＋2＋22)＝2eq \r(13)＝r1＋r2，
所以圆C1与圆C2相切．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＋4x－4y－5＝0，,x2＋y2－8x＋4y＋7＝0，))得12x－8y－12＝0，
即3x－2y－3＝0，就是过切点的两圆公切线的方程．
(2)由圆系方程，可设所求圆的方程为
x2＋y2＋4x－4y－5＋λ(3x－2y－3)＝0.
点(2, 3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝eq \f(4,3).
所以所求圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－5＋eq \f(4,3)(3x－2y－3)＝0，即x2＋y2＋8x－eq \f(20,3)y－9＝0.