高中数学人教版新课标B必修5第二章 数列综合与测试同步练习题

专题研究：数列的求和·例题解析

【例1】  求下列数列的前n项和Sn：

(3)先对通项求和

【例2】  求和：

【例3】  求下面数列的前n项和：

比数列，另一个数组成以3n－2为通项的等差数列，分别求和后再合并．

解  设数列的通项为an，前n项和为Sn

说明  等比数列的求和问题，分q=1与q≠1两种情况讨论．

…的前n项之和是

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数列{bn}的前n项和Sn=b1＋b2＋…＋bn

【例5】  求在区间[a，b](b＞a，a，b∈N)上分母是3的不可约分数之和．

其中，可约分数是a，a＋1，a＋2，…，b

故不可约分数之和为

=b2－a2

解法二

两式相加：2S=(a＋b)＋(a＋b)＋…＋(a＋b)

其个数为以3为分母的分数个数减去可约分数个数．

即3(b－a)＋1－(b－a＋1)= 2(b－a)

∴  2S=2(b－a)(a＋b)

∴  S=b2－a2

【例6】  求下列数列的前n项和Sn：

(1)a，2a2，3a3，…，nan，…，(a≠0、1)；

(2)1，4，9，…，n2，…；

(3)1，3x，5x2，…，(2n－1)xn-1，…，(x≠1)

解  (1)Sn=a＋2a2＋3a3＋…＋nan

∵  a≠0

∴  aSn=a2＋2a3＋3a4＋…＋(n－1)an＋nan+1

Sn－aSn=a＋a2＋a3＋…＋an－nan+1

∵  a≠1

(2)Sn=1＋4＋9＋…＋n2

∵  (a＋1) 3－a3=3a2＋3a＋1

∴  23－13=3×12＋3×1＋1

33－23=3×22＋3×2＋1

43－33=3×32＋3×3＋1

……

n3－(n－1)3=3(n－1)2＋3(n－1)＋1

(n＋1)3－n3=3n2＋3n＋1

把上列几个等式的左右两边分别相加，得

(n＋1)3－13=3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋…＋n)＋n

∴  12＋22＋32＋…＋n2

(3)∵  Sn=1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)xn-1

∴  xSn=x＋3x2＋5x3＋…＋(2n－3)xn-1＋(2n－1)xn

两式相减，得

(1－x)Sn=1＋2x(1＋x＋x2＋…＋xn-2)－(2n－1)xn

两式相减，得

说明  求形如{an·bn}的数列的前n项和，若其中{an}成等差数列，{bn}成等比数列，则可采用推导等比数列求和公式的方法，即错位相减法，此方法体现了化归思想．

n∈N*，若bn=(－1)n·Sn，求数列{bn}的前n项和Tn．

分析  求{bn}的前n项和，应从通项bn入手，关键在于求{an}的前n项和Sn，而由已知只需求{an}的通项an即可．

－3，由a2=1，解得a3=1．

即a1=1，a2=3，a3=5，∴  d=2

an=1＋2(n－1)=2n－1

Sn=1＋3＋5＋…＋(2n－1)=n2

bn=(－1)n·Sn=(－1)n·n2

Tn=－12＋22－32＋42－…＋(－1)n·n2

当n为偶数时，即n=2k，k∈N*

Tn=(－12＋22)＋(－32＋42)＋…＋[－(2k－1)2＋(2k)2]

=3＋7＋…＋(4k－1)

当n为奇数时，即n=2k－1，k∈N*

Tn=－12＋22－32＋42－…－(2k－1)2

=－12＋22－32＋42－…－(2k－1)2＋(2k)2－(2k)2

=(2k＋1)k－(2k)2

=－k(2k－1)

∵  an≠－1  ∴  an=2n－1  以下同解法一．

说明  本题以“等差数列”这一已知条件为线索，运用方程思想，求数列{an}的通项an，在求数列{bn}的前n项和中，通过化简、变形把一般数列的求和问题转化为等差数列的求和问题．由于(－1)n的作用，在变形中对n须分两种情况讨论