2021学年第二章 数列综合与测试课后测评

第2章   2.2   第4课时

等差数列的综合应用习题课

一、选择题

1．四个数成等差数列，S4＝32，a2:a3＝1:3，则公差d等于(　　)

A．8　　　　B．16　　　　C．4　　　　D．0

[答案]　A

[解析]　∵a2:a3＝1:3，∴＝，∴d＝－2a1

又S4＝4a1＋d＝－8a1＝32，∴a1＝－4，

∴d＝8.

[点评]　可设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由S4＝32得：a＝8，由a2:a3＝1:3得：＝，∴d＝4，∴公差为2d＝8.

2．等差数列{an}中，a2＝7，a9＝15，则前10项和S10等于(　　)

A．100　　　B．110　　　C．120　　　D．125

[答案]　B

[解析]　S10＝＝

＝＝110.

3．(2011·桂林高二检测)已知等差数列{an}为5,4，3…，则使{an}的前n项和Sn取得最大值的n值是(　　)

A．15   B．7

C．8或9   D．7或8

[答案]　D

[解析]　∵a1＝5，d＝4－5＝－，

∴an＝5＋(n－1)·(－)＝－n＋.

令an＝0得n＝8，∴a7>0，a8＝0，a9<0，

∴当n＝7或8时，Sn最大．

4．设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论错误的是(　　)

A．d<0

B．a7＝0

C．S9>S5

D．S6与S7均为Sn的最大值．

[答案]　C

[解析]　由S5<S6知a6>0，由S6＝S7知a7＝0，

由S7>S8知a8<0，C选项S9>S5即a6＋a7＋a8＋a9>0，∴a7＋a8>0，显然错误．

5．在等差数列{an}中，若S12＝8S4，且d≠0，则等于(　　)

A.  B.  C．2  D.

[答案]　A

[解析]　∵S12＝8S4，∴12a1＋×12×11×d＝8(4a1＋×4×3×d)，

即20a1＝18d，∵d≠0，

∴＝＝.

6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　)

A．63  B．45  C．36  D．27

[答案]　B

[解析]　解法一：∵{an}是等差数列，∴S3、S6－S3、S9－S6为等差数列．

∴2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，

∴S9－S6＝2S6－3S3＝45.

解法二：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，令bn＝，则{bn}成等差数列．

由题设b3＝＝3，b6＝＝6，

∴b9＝2b6－b3＝9.

∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝9b9－36＝45.

二、填空题

7．设{an}是公差为－2的等差数列，若a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，则a3＋a6＋a9＋…a99的值为________．

[答案]　－82

[解析]　∵a1＋a4＋a7＋…a97＝50，公差d＝－2，

∴a3＋a6＋a9＋…＋a99

＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a1＋2d)＋…＋(a97＋2d)

＝(a1＋a4＋a7＋…＋a97)＋33×2d

＝50＋66×(－2)＝－82.

8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.

[答案]　24

[解析]　{an}为等差数列，由S9＝72得S9＝＝9a5，

∴a5＝8.

∴a2＋a4＋a9＝3a5＝24.

三、解答题

9．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．

[解析]　解法一：设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则

Sn＝na1＋d.

由已知得

①×10－②整理得d＝－，代入①得，a1＝，

∴S110＝110a1＋d

＝110×＋×

  ＝110

  ＝－110.

故此数列的前110项之和为－110.

解法二：设Sn＝an2＋bn.

∵S10＝100，S100＝10，

∴

⇒

∴Sn＝－n2＋n.

∴S110＝－×1102＋×110＝－110.

解法三：设等差数列的首项为a1，公差为d，则

(p≠q)

①－②得(p－q)a1＋d＝－(p－q)．又p≠q，

∴a1＋d＝－1，

∴Sp＋q＝(p＋q)a1＋d

  ＝－(p＋q)，

∴S110＝－110.

解法四：数列S10，S20－S10，S30－S20，…S100－S90，S110－S100成等差数列，设其公差为D，前10项的和为10S10＋·D＝S100＝10⇒D＝－22，

∴S110－S100＝S10＋(11－1)D＝100＋10×(－22)

＝－120.

∴S110＝－120＋S100＝－110.

解法五：∵S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100

＝＝.

又S100－S10＝10－100＝－90，

∴a1＋a110＝－2.

∴S110＝＝－110.

10．等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，问数列前多少项之和最大，并求出最大值．

[解析]　解法一：∵a1＝25，S17＝S9，

∴17a1＋d＝9a1＋d，解得d＝－2.

∴Sn＝25n＋×(－2)

＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169.

解法二：∵a1＝25，S17＝S9，

即17a1＋d＝9a1＋d.

∴d＝－2，Sn＝n2＋(a1－)n(d<0)，Sn的图象是开口向下的抛物线上一些孤立的点，

∵S17＝S9，∴最高点的横坐标为＝13，代入a1，d，n的值，得S13＝169，故前13项之和最大，最大值为169.

解法三：∵S17＝S9，∴a10＋a11＋a12＋……＋a17＝0，

∴a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14＝0，

∵a1＝25>0，∴a13>0，a14<0，所以S13最大，

∵a1＝25，S17＝S9，即17a1＋d＝9a1＋d，

∴d＝－2，代入a1，d，n的值，得S13＝169，故前13项之和最大，最大值为169.

解法四：同方法一：

解得d＝－2，

∴an＝25＋(n－1)×(－2)

＝－2n＋27，由，

得，

解得≤n≤，又∵n∈N*，

∴当n＝13时，Sn取得最大值，最大值为169.

能力提升

一、选择题

1．在等差数列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝15，a100＋b100＝139，则数列{an＋bn}的前100项的和为(　　)

A．0　　　　　　　　　　　B．4475

C．8950   D．10 000

[答案]　C

[解析]　设cn＝an＋bn，则c1＝a1＋b1＝40，c100＝a100＋b100＝139，{cn}是等差数列，∴前100项和S100＝＝＝8950.

2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝－6，S18－S15＝18，则S18等于(　　)

A．36　　　　B．18　　　　C．72　　　　D．9

[答案]　A

[解析]　∵S3＝－6，∴a1＋a2＋a3＝－6.

又S18－S15＝a16＋a17＋a18＝18，

∴a1＋a2＋a3＋a16＋a17＋a18＝(a1＋a18)＋(a2＋a17)＋(a3＋a16)＝3(a1＋a18)＝12，

∴a1＋a18＝4.

∴S18＝＝9(a1＋a18)＝9×4＝36.

二、填空题

3．设{an}是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n项和最大时，n等于________．

[答案]　4

[解析]　∵{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝15，∴a2＝5，

又∵a1·a2·a3＝105，

∴a1a3＝21，由及{an}递减可求得a1＝7，d＝－2，∴an＝9－2n，由an≥0得n≤4，∴n＝4.

4．给定81个数排成如图所示的数表，若每行的9个数与每列的9个数按表中顺序构成等差数列，且表中正中间一个数a55＝5，则表中所有数之和为________．

a11　a12　…　a19

a21　a22　…　a29

…　…　…　…

a91　a92　…　a99

[答案]　405

[解析]　S＝(a11＋…＋a19)＋…＋(a91＋…＋a99)

＝9(a15＋a25＋…＋a95)＝9×9×a55＝405.

三、解答题

5．Sn为等差数列{an}的前n项和，S′n为等差数列{bn}的前n项和，已知SnS′n＝(7n＋1)(4n＋27)，求a11b11的值．

[解析]　∵a11＝，b11＝，∴＝＝

＝＝

＝.

6．(2010·课标全国卷文)设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．

[解析]　(1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9得

，可解得.

数列{an}的通项公式为an＝11－2n.

(2)由(1)知，Sn＝na1＋d＝10n－n2.

因为Sn＝－(n－5)2＋25，

所以当n＝5时，Sn取得最大值．

7．(2010·浙江文)设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.

(1)若S5＝5，求S6及a1；

(2)求d的取值范围．

[解析]　(1)由题意知S6＝＝－3，a6＝S6－S5＝－8，

所以，解得a1＝7.

所以S6＝－3，a1＝7.

(2)因为S5S6＋15＝0，

所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，

即2a＋9da1＋10d2＋1＝0，

故(4a1＋9d)2＝d2－8，所以d2≥8.

故d的取值范围为d≤－2或d≥2.