精品高中数学一轮专题-平面向量的应用（讲）（带答案）试卷

这是一份精品高中数学一轮专题-平面向量的应用（讲）（带答案）试卷，共11页。
知识点1.向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用主要有以下方面：
(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义．
(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件： a∥b⇔a＝λb(或x1y2－x2y1＝0) ．
(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件： a⊥b⇔a·b＝0(或x1x2＋y1y2＝0) ．
(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式 csθ＝eq \f(a·b,|a||b|) ．
(5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．
知识点2．向量在物理中的应用
数学中对物理背景问题主要研究下面两类：
(1)力向量
力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，__可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力__．
(2)速度向量
速度向量是具有大小和方向的向量，因而__可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度__．
【考点分类剖析】
考点一 ：平面向量在平面几何中的应用
【典例1】已知非零向量与满足，且，则为（ ）
A．等腰非直角三角形B．直角非等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
【答案】C
【解析】
由，得，得，得，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，即，
所以为等腰直角三角形.
故选：C
【典例2】已知､为平面上的两个定点，且，该平面上的动线段的端点､，满足，，，则动线段所形成图形的面积为（ ）
A．36B．60C．72D．108
【答案】B
【解析】
根据题意建立平面直角坐标系，如图所示：
则，，设，∴，；
由，得；又，∴，；∴；
∴，∴动点在直线上，且，即线段CD上，则,
则扫过的三角形的面积为，设点∵，
∴，∴，，
∴动点在直线上，且，即线段MN上，则,
∴扫过的三角形的面积为，
∴因此和为60，故选：B.
【典例3】设为所在平面上一点，且满足，若的面积为2，则面积为_______________．
【答案】3
【解析】
因为，所以，
令，则，
所以，所以为上靠近的三等分点，
因为，所以∥,所以，
所以，故答案为：3
【总结提升】
1.用平面向量解决几何问题，往往涉及平行、垂直．
2.处理几何问题有两个角度，一是注意选定基底，用相同的向量表示研究对象；二是通过建立坐标系，利用向量的坐标运算求解．
3.要证明两线段平行，如AB∥CD，则只要证明存在实数λ≠0，使eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(CD,\s\up6(→))成立，且AB与CD无公共点．
4.要证明A、B、C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))．
5.要求一个角，如∠ABC，只要求向量eq \(BA,\s\up6(→))与向量eq \(BC,\s\up6(→))的夹角即可．
6.在解决求长度的问题时，可利用向量的数量积及模的知识，解题过程中用到的整体代入使问题得到简捷、明了的解决．
【变式探究】
1．已知是边长为2的正三角形，点为所在平面内的一点，且，则长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，以的中点为原点，，所在直线分别为轴，
轴建立直角坐标系，即，，，
则，.
设，则，，，
所以.设，，
解得，，则，
所以长度的最小值为.
故选：B
2.若为所在平面内任意一点，且满足，则的形状为______．（填：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形）
【答案】等腰三角形
【解析】
取中点，连接，则，
又，，
，，
；；的形状是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形.
考点二：用向量方法探究存在性问题
【典例4】在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，M是边AC上靠近点A的一个三等分点，试问：在线段BM(端点除外)上是否存在点P，使得PC⊥BM?
【答案】线段BM上不存在点P使得PC⊥BM．
【解析】
解：以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴B(0,0)，A(3,4)，C(6,0)，则eq \(AC,\s\up6(→))＝(3，－4)．
∵点M是边AC上靠近点A的一个三等分点，
∴eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，－eq \f(4,3))，∴M(4，eq \f(8,3))，∴eq \(BM,\s\up6(→))＝(4，eq \f(8,3))．
假设在BM上存在点P使得PC⊥BM，设eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(BM,\s\up6(→))，且0