2021学年3.3 幂函数教学设计及反思

2.3幂函数

教学目的：使学生掌握幂函数的概念，会画幂函数的图象，能判定一个幂函数是增函

　　　　　数还是减函数，能判断一个幂函数的奇偶性。

教学重点：幂函数的图象、幂函数的增减性的证明。

教学难点：幂函数增减性的证明。

教学过程

一、新课引入

课本P90，p=w, S=a2, V=a3 ,a=S,v=t-1,

上述问题中的函数具有什么共同特征？

二、新课

　　上述问题中涉及的函数，都是形如y＝xa的函数。

　　一般地，函数y＝xa叫做幂函数（power function）。其中x是自变量，a是常数。

　　当a＝1,2，3，，－1时，得到下列的幂函数，画出它们的图象，并观察图象，

将你发现的结论写在下表中：

　　　　　y＝x　　　y＝x2　　　y＝x3　　　　　y＝x　　　　　　　y＝x－1

定义域　　　R　　　　R　　　　R　　［0，＋∞）　（－∞，0）∪（0，＋∞）

值域　　　　R　［0，＋∞）　　R　　［0，＋∞）　（－∞，0）∪（0，＋∞）

奇偶性　　　奇　　　偶　　　　奇　　　非奇非偶　　　　奇

单调性　　　增　［0，＋∞）增　　增　　　　　增　　　　　（－∞，0）减

（－∞，0）减　　　　　　　　　　　　　　　　　［0，＋∞）减

定点　　　（1,1）　（1,1）　（1,1）　　（1,1）　　　　　（1,1）

　　例1、证明幂函数f（x）＝在［0，＋∞）上是增函数。

证明：任取、∈［0，＋∞）,且＜，则

f()－f()＝＝＝

因为－＜0，＞0，

所以，f()＜f()

即幂函数f（x）＝在［0，＋∞）上是增函数。

注意：证明函数的单调性时既可以用作差的方法，也可以用作比的方法，应用用比的

　　　方法时应注意分母不为零，及去母时考虑符号问题。

作业：P92　1、2、3

补充例题、下列四个结论中，正确的是（　　）

（A）幂函数的图象都经过点（0，0），（1，1）两点

（B）幂函数的图象不可能出现在第四象限

（C）当n＞0时，幂函数y＝的值随x的增大而增大

（D）当n＝0时，幂函数y＝的图象是一条直线

分析：当a＞0时，幂函数的图象过点（0，0），当a＜0时，幂函数的图象不过原点，故（A）错；当n＞0时，幂函数y＝在第一象限内y随x的增大而增大，故（C）错；当n＝0时，幂函数y＝中x≠0，故它的图象是两条射线，（D）错。

解：选（B）