高中数学3.3 幂函数教案

幂函数解析式的求法

对某些幂函数问题来说，能否顺利解答，往往取决于是不是能够求出其解析式．本文就常见的幂函数解析式的求法归类例析如下：

一、利用幂函数的定义

例１　已知函数是幂函数，求此函数的解析式．

解：∵是幂函数，

∴y可以写成如下形式（是常数）．

∴，解得．

当时，有（2为常数），（－1为常数）．

∴函数的解析式为或．

评注：幂函数（x为自变量，是常数）的定义强调：系数为１，幂指数为常数.求出参数m后要注意检验幂指数是否为常数．

二、利用幂函数的图象

例２　若函数是幂函数，且图象不经过原点，求函数的解析式．

分析：对于幂函数（是常数）而言，要使幂函数的图象不过原点，则指数≤0．

解：∵函数是幂函数，且图象不经过原点，

∴，且．

∴或6．

∴函数解析式为或．

例３　已知幂函数（m∈Z）的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称．求函数的解析式．

解：∵函数的图象与x轴、y轴都无交点，

∴，解得．

又图象关于原点对称，且m∈Z，

∴m＝0．

∴．

评注：解决与幂函数有关的综合问题时，应抓住突破口，此两例的突破口是图象的特征，只要抓住图象特征，将其转化为代数语言，就能顺利解题．

三、利用幂函数的性质

例４　已知幂函数（）是偶函数，且在（0，+∞）上为增函数，求函数的解析式．

解：∵是幂函数，∴，解得t＝－1，t＝0或t＝1，

∴当t＝０时，，是非奇非偶函数，不满足条件．当t＝1时，是偶函数，但在（0，+∞）上为减函数，不满足条件．当时，满足题设．

综上所述，实数t的值为－1，所求解析式为．

评注：涉及求与幂函数有关的参数问题，掌握幂函数的概念和性质是解题的关键．解含参问题有时还应注意分类讨论．

幂的十位数

 “求一个自然数的高次幂的个位数，应该说是不难的”，布鲁斯博士接着说，“比方说求20022002的个位数．顺便说一下，如果有哪位孩子说他准备用计算机把这个幂算出来，然后看一下个位数是什么，那我只能对他表示敬意．但我在这里说的不是‘算’出来，而是‘求’出来．那位举手的孩子，你想问什么？”

“我想知道‘算’与‘求’有什么区别？”一个胖嘟嘟的男孩站起来问道．

“很好，等我把20022002的个位数‘求’出来以后，你就明白了．好，我们继续．”

博士在投影仪上放了一张胶片，他身后的墙上映出了一张巨大的表格：

“一个自然数，若它的个位数是2，那么它的1次幂的个位数仍然为2，它的2次幂的个位数为4，3次幂的个位数为8，4次幂的个位数为6，5次幂的个位数又为2了．”博士说道，“这张表格的第一行是幂的次数，第二行就是相应次数的幂的个位数．我们看到了什么？我们看到这些个位数以2，4，8，6为基本模块不断地循环，其循环周期为4．由此我们知道，20022与20024n+2的个位数都是4．令n=500，即可知20022002的个位数为４．”

布鲁斯博士用得意的眼光扫过全场，一阵热烈的掌声随即响起．

“那么幂的十位数，比方说，19978，19989，19991073的十位数，该怎样‘求’呢？”胖男孩又站起来问道，他有意重读了那个“求”字．

“唔，唔……，这个问题有点儿麻烦．”博士的额头出现了一些汗珠，“让我们来试试看……”

博士绞尽脑汁，使出浑身解数，想“求”出这三个幂的十位数……

你能帮他“求”出这三个幂的十位数吗？

提示：注意1997，1998，1999都是离2000很近的数．