2021学年3.3 幂函数教学设计

2、3幂函数

（教师注意：这一节课我们主要学习的是幂函数，其实 幂函数我们初中时已经接触过一些，譬如，我们高中又加了两个函数，一个是，另一个是，这些函数的图像我们每一个学生都要很熟悉，因为这是我们以后研究函数的基础）

一、【学习目标】

（教师注意：这节课的重点是渗透幂函数的画法，幂函数的画法是一个很重要的内容，我们要记住密函数的形状，这是我们研究函数所必须的.）

1、了解幂函数的性质，掌握几个特殊的幂函数的画法；

2、通过练习，能解决幂函数复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等问题.

【教学效果】：教学目标的出示，有利于学生把握课堂学习的方向.

二、【自学内容和要求及自学过程】

阅读课本第77页内容，请你回答问题

（教师注意：这五个函数图像是我们要记住的.由于书上的图像时画在一个坐标系内，所以比较乱，建议老师把这些图像分开画，然后在画在一个坐标系内，结合起来看比较好一些.)

<1>教材第77页给出了5个函数例子，这5个函数有什么共同特

   征呢？我们初中时接触过其中的哪几种函数呢？

<2>给出下列函数：,考察这些解

   析式的特点，总结出来，是否为指数函数？如果让我们起一个

   名字的话,你将会给他们起个什么名字呢？请给出一个一般性

   结论.

   结论：<1>略；<2>通过观察发现这些函数的变量在底数位置,解析式右边都是幂,因为它们的变量都在底数位置上,不符合指数函数的定义,所以都不是指数函数.由于函数的指数是一个常数,底数是变量,类似于我们学过的幂的形式,因此我们称这种类型的函数为幂函数,如果我们用字母来表示函数的指数,就能得到一般的式子,即幂函数的定义：一般地,形如（）的函数称为幂函数,其中是自变量,是常数.如等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数.

【教学效果】：由于有前面对数函数、指数函数的铺垫，所以学生对幂函数，还是能很快的理解的.

阅读教材77页—78页幂函数性质的有关内容，然后回答问题

（教师注意：其实，我们研究函数用的方法都是由特殊到一般，然后是数形结合的思想，归根结底我们要研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性，以及函数的凹凸性，所以这些点我们都要点到，让学生自己学会研究，那是最好的.）

<3>我们前面学习指对数函数的性质时,用了什么样的思路?研究幂函数的性质呢?

（教师注意：其实研究幂函数和其它函数一样，都是通过相同的思路研究，而研究函数的性质，第一步就是画图像，我们只能通过函数的图像来研究函数的性质）

<4>画出五个函数图象,总结幂函数的性质.

   结论：<3>我们研究指对数函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般;一般要考虑函数定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性；有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性对称性、周期性等性质,研究幂函数的性质也应如此.<4>学生用描点法,也可应用函数的性质,如奇偶性、定义域等,画出函数图象.利用描点法,在同一坐标系中画出函数的图像如下图所示：

通过观察图象,可以得到幂函数有如下性质：

观察与思考

 （教师注意：其实这个观察与思考就是让学生自学的过程，老师要引导一下）

    通过对以上五个函数图象的观察,哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？哪个象限可能有幂函数的图象,这时可以通过什么途径来判断？

结论：第一象限一定有幂函数的图象；第四象限一定没有幂函数的图象；而第二、三象限可能有,也可能没有图象,这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判断.

【教学效果】：有了前面的对数函数和指数函数的学习，幂函数学生还是能很好的理解的.通过图像总结函数的性质，从特殊到一般的归纳的思想，等等.

三、【巩固与练习】

通过今天的学习，请完成下列练习

（教师注意：练习一我们不必深究，学生会判断即可；练习二是一个函数奇偶性问题，老师要精讲细讲；练习三要结合数形结合，关键是中间量的“搭桥”）

    练习一：请你回答教材第79页习题2.3第一题

    练习二：请你自学例1，学习完以后把书合上，自己做一遍.   

    练习三：比较下列各组数的大小：

    1.10.1,1.20.1；0.24-0.2,0.25-0.2；0.20.3,0.30.3,0.30.2.

结论：练习三①由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数单调性,考察函数y=x0.1的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为1.1＜1.2,所以1.10.1<1.20.1.②由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数y=x-0.2的单调性,在第一象限内函数单调递减,又因为0.24＜0.25,所以0.24-0.2>0.25-0.2.③首先比较指数相同的两个数的大小,考察函数y=x0.3的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为0.2＜0.3,所以0.20.3<0.30.3.再比较同底数的两个数的大小,考察函数y=0.3x的单调性,它在定义域内函数单调递减,又因为0.2＜0.3,所以0.30.3<0.30.2.所以0.20.3<0.30.3<0.30.2.本题还有图象法,计算结果等方法,同学们自己完成.

【教学效果】：这节课只是讲了关于函数奇偶性的问题，那么关于函数的比较大小的问题，我们还是要另外花费时间讲解的.

思考：请同学们思考下面两个小问题

（教师寄语：判断函数的奇偶性第一步就是先求函数的定义域，若定义域关于原点对称，才能往下面研究，关键是判断与的关系.第<2>个小题是复合函数的定义域值域问题，也是一个常考的考点，是我们每个同学都要会的.)

<1>求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性.

①,②,③

<2>求函数的定义域和值域、单调区间.

【教学效果】：函数的单调性、奇偶性、定义域、值域是我们研究函数要考虑的问题.

四、【作业】

1、必做题：把幂函数的性质、幂函数的图像整理到作业本上；教

   材第79页习题2.3第2题；

2、选做题：教材第79页习题2.3第3题.

五、【小结】

    这节课我们主要学习了幂函数的性质，和几个特殊的幂函数的画法；我们要通过练习，能解决幂函数复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等问题.当然这一节课我们还要渗透从特殊到一般的数学归纳思想和数形结合的思想.

六、【教学反思】

    这一节课学习了几个特殊的幂函数，由于其中的直线、抛物线、双曲线我们都是由接触的，所以这一节课讲起来还是很顺利的，学生们学习的效果也是很不错的.