高中数学人教版新课标B必修1第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.3 幂函数教学设计

借幂函数比较大小

比较大小问题是幂函数中的一种常见题型．下面介绍几种方法，供同学们学习时参考．

一、直接法

当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较．

例１　比较下列各组中两个值的大小：

（1）；

（2），．

解析：题中两组值都是幂运算的结果，且指数相同，因此可以利用幂函数的性质来判断它们的大小．

（1）∵幂函数在［０，＋∞）上为增函数，又0.7＞0.6，

∴；

（2）∵幂函数在（０，＋∞）上为减函数，又2.2＞1.8，

∴>．

例2　函数是幂函数，比较与的大小．

解析：∵是幂函数，

　　∴，解得

∴．

∵函数在（0，＋∞）上是增函数，且a＞b＞0，

∴．

二、转化法

当幂指数不同时可先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小．

例３　比较的大小．

解析：，．

∵幂函数在（０，＋∞）上单调递减，且0.7＜＜1.21，

∴．

∴．

三、中间值法

当底数不同且幂指数也不同，不能运用单调性比较大小时，可选取适当的中间值与比较大小的两数分别比较，从而达到比较大小的目的．例４　比较0.8与0.9的大小．

解析：由于这两个数的底数不同，指数也不同，所以可利用中间值来间接比较它们的大小．注意到这两个数的特点，中间值应选0.9或0.8．

∵＞0，∴幂函数在（０，＋∞）上是增函数．

又0.8＜0.9，∴0.8＜0.9．

又0＜0.9＜1，指数函数在（0，＋∞）上是减函数，且＞，∴0.9＜0.9．

综上可得0.8＜0.9．

四、模型函数法

若函数满足性质：等，则可以认为其模型函数为幂函数．对于此类抽象函数的大小比较问题，我们常通过寻找、发现基本原型函数来求解．

例５　已知函数满足，且f（8）=4，则_________（填“＞、=、＜”）．

解析：的原型函数是（为常数），

又f（8）=4，

∴，∴．

于是，显然该函数是偶函数，且在区间（０，＋∞）上是增函数，在（－∞，０）上是减函数，．