数学选修4-5一 数学归纳法教课ppt课件

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二　用数学归纳法证明不等式
学习目标1.理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明的基本步骤；2．会运用数学归纳法证明不等式．
1．对于关于自然数的不等式，也可以用数学归纳法证明：第一步是______________________________ ______________________；第二步是_____________ ___________________________________________．
2．贝努利(Bernulli)不等式：设x∈R，且x>－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有______________.3．贝努利不等式的一般形式．(1)当α是实数，并且满足α>1或α－1)(2)当α是实数，并且满足01＋nx
(1＋x)α≥1＋αx
(1＋x)α≤1＋αx
【名师点评】　①证明第一步时，对n＝2一定要弄清左边是多少项．②在从k到k＋1时，一定要搞清添了多少项，少了哪些项，想方设法补成n＝k时的形式，用上n＝k证明n＝k＋1.
【思路点拨】　本题由递推公式先计算前几项，然后再进行猜想，最后用数学归纳法进行证明；对于(2)中的第①题，要利用数学归纳法进行证明；②利用放缩法证明．
【名师点评】　(1)数列中的归纳、猜想、证明是对学生观察、分析、归纳、论证能力的综合考查,先以具体的特殊的情况入手，进行细致分析合理归纳，再慎重、准确地猜想,最后再严密地推理、论证；(2)本题中学生易犯的错误是：第(1)小题不加证明而是直接猜出an＝n＋1，an＋1＝n＋2后，代入左边和右边、不加任何说明就直接得结论成立．
【思路点拨】　欲比较f(n)与g(2n)的大小，需求出f(n)与g(2n)的关于n的表达式，以便于特殊探路——从n＝1,2,3，…寻找、归纳一般性结论，再用数学归纳法证明．
下面用数学归纳法证明．①当n＝3时，由上述计算过程知结论成立；②假设n＝k时，推测成立，即f(k)>g(2k)(k≥3)，即(a＋b)k－ak－bk>4k－2k＋1，那么f(k＋1)＝(a＋b)k＋1－ak＋1－bk＋1＝(a＋b)·(a＋b)k－a·ak－b·bk＝(a＋b)[(a＋b)k－ak－bk]＋akb＋abk.
【名师点评】　当设n＝1,2时，得出f(n)＝g(2n)之后，不要急于去证明，应再试验一下，n＝3,4时,确定所下结论的准确性，以免走弯路．
变式训练3　比较2n与n2的大小(n∈N＋)．解：当n＝1时，21>12，当n＝2时，22＝22，当n＝3时，2352，猜想：当n≥5时，2n>n2.下面用数学归纳法证明：
对不等式证明的第二步中，不用假设结论，而直接推证．
【错因】　错误出在(2)中，从n＝k成立，证明n＝k＋1成立时没有进行推证，而是直接写出结论,这样是不符合数学归纳法要求的．