湘教版（2019）选择性必修 第一册1.1 数列的概念教学ppt课件

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Retrspective Knwledge
数列的本质：从函数的观点看，数列项是序号 的函数；表示方法：表格法，图像法（散点图），解析法（通项公式）．
数列的相关概念∶按照一定顺序排成的一列数叫作数列．数列中的每一个数叫作这个数列的项，排在第一位的数叫作数列的首项或叫作数列的第1项，排在第二位的数叫作数列的第 2 项，……，排在第n位的数叫作数列的第n项，所以数列的一般形式可以写成 a1，a2，…，an，… 简记为{an}．
数列的通项公式：如果数列{an}的第n项an，可以用关于n的一个公式表示，那么这个公式就称为数列{an}的通项公式．
New Knwledge explre
例3
某种生物细胞在实验室的培养过程中，每小时分裂一次（一个分裂为两个），经过12h，由1个这种细胞可以繁殖成多少个细胞?
解 设经过n h，这种细胞由 1个可繁殖成an个，细胞的个数形成一个数列{an}．
由题意，细胞每小时分裂一次，得an+1=2an，(n≥1)． 由a1=2，并根据an+1=2an，得a2 =4，依此类推，a3=23，…，a12=212=4 096．
因此经过12 h，这种细胞由1个可繁殖成4 096 个．
像这样，如果数列{an}的任一项an+1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示，即an+1 =f (an)，n≥1，那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式；a1称为数列{an}的初始条件．
由递推公式和初始条件可确定数列{an}，这是表示数列的又一种重要方法．许多与数列有关的应用问题最后都归结为这种数学模型，而且这种方法便于计算机编程进行计算．
例4 根据递推公式和初始条件， 写出数列{an}的前5项，并猜想数列{an}的通项公式．
解 反复利用递推公式，列表如下：
于是，数列{an}的前5项分别是：1，3，7，15，31，猜想数列{an}的通项公式为2n-1．
例5 2500多年前的古希腊毕达哥拉斯学派在研究数时，喜欢把数描述成沙滩上的小石子．他们发现1，3，6，10，15， …这些数量的石子，都可以排成三角形(如图)，并称这样的数为“三角形数”．记图中小圆的个数依次构成数列{an}，试写出数列{an}的一个递推关系．
解 由图可知， a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，
而且，在第n个“三角形数”图案的下面添加n＋1个小圆，即得到第n＋1个“三角形数”图案，因此， an+1=an＋n＋1(n≥1)，a1=1为数列{an}的一个递推关系．
练习1 观察下图，写出点数列{an}的一个递推关系，并写出数列{an}的一个通项公式．
解 由图可知， a1=4，a2=7，a3=10，a4=13，……
而且，在第n个图案的添加3个小圆，即得到第n＋1个图案，因此， an+1=an＋3(n≥1)，a1=4为数列{an}的一个递推关系．数列{an}的一个通项公式为：an=3n＋1．
Expansin And Prmtin
如果数列{an}的前n项和Sn，与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式．
我们把数列{an}从第1项到第n项的各项之和，称为数列{an}的前n项和，常记作Sn，即
数列的前n项和可以看成以正整数集N+（或它的有限子集）为定义域的函数Sn= f (n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值 f (1)， f (2)， f (3)，….．
例1 已知数列{an}的前n项和为Sn，通项公式an=2n－1．（1） 求S1，S2，S3，S4的值；（2）猜想数列{an}的前n项和公式Sn；（3）求Sn-1 (n≥2)．
解：（1）依题意，得 S1=a1=1， S2=a1＋a2=1＋3=4， S3=a1＋a2＋a3=1＋3＋5=9，S4=a1＋a2＋a3＋a4=1＋3＋5＋7=16； （2）猜想 Sn=n2； （3）因为Sn=n2，所以用“n－1”替换上式中的“n”，可得Sn-1=(n－1)2．
由数列的前n项和公式求通项公式
思考 记数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，那么an和Sn之间有什么关系呢？
因为Sn=a1＋a2＋…＋an，所以Sn－1=a1＋a2＋…＋an－1，n≥2，两式相减，可得 an=Sn－Sn－1，n≥2又a1=S1，所以
例2 已知数列{an}的前n项和公式Sn＝n2＋n，求数列{an}的通项公式an．
解： 当n≥2时， an=Sn－Sn－1＝(n2＋n)－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n， 又当n＝1时，S1=12＋1=2，符合上式， 所以数列{an}的通项公式an＝2n．
例3 已知数列{an}的前n项和公式Sn＝n2－2n－1，求{an}的通项公式an．
解： 当n≥2时， an=Sn－Sn－1＝(n2－2n－1)－[(n－1)2－2(n－1)－1]＝2n－3， 又当n＝1时，S1=12－2×1－1=－2，不符合上式，
由数列{an}的前n项和公式Sn求通项公式an：（1） 当n≥2时，用“n－1”替换Sn中的“n”，求得Sn－1；（2）两式相减可得an=Sn－Sn－1，n≥2；（3）将n＝1代入Sn，求得a1=S1；
若a1符合an=Sn－Sn－1，n≥2，则可以把式子统一起来．
数列的递推公式： 如果数列{an}的任一项an+1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示，即an+1 =f (an)，n≥1，那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式；a1称为数列{an}的初始条件． 由递推公式和初始条件可确定数列{an}，这是表示数列的又一种重要方法．
数列的前n项和公式： 数列{an}从第1项到第n项的各项之和，称为数列{an}的前n项和，常记作Sn， 如果Sn与数列{an}的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列{an}的前n项和公式．
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