高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册1.2 等差数列课后复习题

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1.2  等差数列（练习）一．单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在等差数列中，若，，则 A. －1             B. 0             C. 1             D. 6【答案】C【解析】（解法一）因为，，有，得1，故选C．（解法二）因为，，所以，，故选C．2．在等差数列中，若，则A．15             B．20             C．25             D．30【答案】B【解析】由，得，则，故选B．3．等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为 A．130             B．170             C．210             D．260【答案】C【解析】（解法一），即成等差，  ，．故选C．     （解法二）特值法：取 则，  ，， ．故选C．    4．设是等差数列，则下列结论中正确的是 A．若，则      B．若，则C．若，则      D．若，则【答案】C【解析】反例   A： 2，-1，-4   B：2，-1，-4    D:-3，-2，-1  或 不成立．C：，，．故选C．  5．在等差数列中，，，以表示的前项和，则使达到最大值的是A．21             B．20             C．19             D．18【答案】B【解析】（解法一），， ,， ， ，，  当时取最大值20．故选B．（解法二），，两式相减得：，．又，，．令,得,当时取最大值20．故选B．6．数列的首项为，为等差数列且．若，，则  A．0             B．3             C．8             D．11【答案】B【解析】且，,, ,,     ．故选B． 二、填空题7．记为等差数列的前项和，，，则___________．【答案】4【解析】因为，所以，即，所以．8．已知是等差数列的前项和，且,（），则         ．【答案】3【解析】（解法一）由,得, 所以．因为，所以，所以，整理得，，解得，或（舍去）．（解法二）因为， 所以对应的函数的图象是一条抛物线，因为，所以的图象关于对称．又因为，所以，解得．9．已知为等差数列，表示的前项和，满足，，则取得最大值时的取值为：___________．                【答案】5【解析】因为，所以，又，即， 所以，所以当时，取得最大值．  10．已知数列的首项为1，其余各项为1或2，且在第个1和第个1之间有个2，即数列为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列的前项和为，则__________．（用数字作答）【答案】3993【解析】（解法一）第个1为数列的第项 当时；当时；所以前2019项有45个1和个2，所以．（解法二）把该数列排成如下格式1，21，2，2，21，2，2，2，2，21，2，2，2，2，2，2，2…设其前行共有项，则,令 则 又, 即前行共有项，其中有个，个,所以第项为第行第项（其中有个，个）, 即前项共有个，个, 所以．  三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．11．记为数列的前项和，已知，，且数列是等差数列，证明：是等差数列．【解析】因为数列是等差数列，设公差为，所以，，所以，所以当时，，当时，，满足，所以的通项公式为，所以，所以是等差数列．12．已知数列的前项和为，，，，其中为常数，（I）证明：；（II）是否存在，使得为等差数列？并说明理由．【解析】（I）， ，，  又， ．（II）由（I）可知：的奇数项和偶数项均为等差数列．若为等差数列，则，又，，即．由，，可得:,．，即，解得，，又， 当时，是以2为公差的等差数列．