湘教版（2019）第2章 平面解析几何初步2.2 直线的方程多媒体教学ppt课件

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直线的倾斜角： 当直线 l 与 x 轴相交时，我们把 x 轴正向绕交点逆时针旋转到与直线 l 向上方向首次重合所成的角 α 叫作直线 l 的倾斜角．倾斜角的取值范围： 0 ≤ α < π．
斜率公式：经过两个不同点A(x1，y1)，B (x2，y2)，(x1≠x2)的直线的斜率为
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给定直线的斜率和直线上一点，或者给定两点，都能唯一确定一条直线．本节，我们将用给定的条件，将直线上所有点的坐标（x，y）满足的共同关系表示出来，这就是直线方程．
如图 ，已知直线 l 的斜率为 k，且 l 过已知点 P0(x0， y0)，设 P(x， y)为 l 上不同于P0的任意一点． 因为直线 l 的斜率 于是可得 y －y0 = k (x－x0)． （1）
可以验证，直线 l 上的每个点（包括点P0）的坐标都是这个方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线 l 上．我们称方程（1）为过点 P0(x0， y0)，斜率为 k 的直线 l 的方程．
由于该方程由直线上一定点及其斜率确定，因此把方程（1）称为直线的点斜式方程，简称点斜式．
当直线 l 与 x 轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为 l 上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程是 x = x0 ．
综上可知，若直线 l 过点 P0(x0， y0)， 当直线 l 与 x 轴不垂直时，斜率为 k，那么直线 l 的方程为： y －y0 = k (x－x0)．特别地，当直线 l 与 x 轴平行或重合时，斜率 k=0，直线 l 的方程为： y = y0 ． 当直线 l 与 x 轴垂直时，斜率不存在，直线 l 的方程为： x = x0 ．
例1 已知直线直线 l 经过点P(2，3)，斜率为2，求直线 l 的方程，并画出该直线．
解：经过点P(2，3)，斜率为2的直线 l 的点斜式方程是 y－3 = 2 (x－2)． 画该直线时，可在直线 l 上另取一点 P1(x1， y1) ， 如取x1=1， y1=1，得P1(1， 1) ，过P，P1作直线即为所求，如图．
例2 已知直线 l 的斜率为 k，与 y 轴的交点是P(0，b)，求直线 l 的方程．
解：经过点P(0，b)，斜率为 k 的直线的点斜式方程是 y－b= k (x－0)， 整理得 y = k x + b． （2）
直线 l 与y轴的交点(0，b)的纵坐标称为直线 l 在y轴上的截距（纵截距）．方程（2）由直线 l 的斜率和它在y轴上的截距确定，因此把方程（2）称为直线的斜截式方程，简称斜截式．
注：直线的纵截距，不是点，也不是距离，而是直线与y轴交点的纵坐标．
观察方程y = k x + b，与我们初中学过的一次函数解析式相同． 从直线方程的角度来认识一次函数 y = k x + b，它的图象是一条直线，其中参数 k 是直线的斜率，常数 b 是直线在 y 轴上的截距．
如果数列{an}为等差数列，那么 an=a1＋(n－1)d = dn＋(a1－d )，所以数列{an}的图象是直线 y = dx＋(a1－d )上一系列孤立的点，该直线的斜率为 d． 因为( n，an)， ( m，am) 为直线上的两点，所以 ， 所以 an= am ＋ (n－m)d，(n，m∈N+) ．
Expansin And Prmtin
练习3 已知直线 l 的方程为 2x－y+1 = 0．求直线 l 的斜率及在 y 轴上的 截距．
解：因为直线 l 的方程为 2x－y+1 = 0， 即y = 2 x+1， 所以直线 l 的斜率为2，在 y 轴上的截距为1．
练习4 无论 k 取何值，直线 l ： k x－ y－k +2= 0必过定点 ．
解：因为直线 l 的方程为 k x－ y－k +2= 0， 即y－ 2 = k (x－ 1)， 所以直线 l 过定点（1，2）．
练习5 已知直线 l 经过点（1，1）且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为2，求直线 l 的斜截式方程．
解：设直线 l 的方程为 y－ 1 = k (x－ 1)， k < 0， 令x = 0，得y = 1－ k > 0， 令y = 0，得x = ， 所以三角形的面积为 所以 k2+2k+1=0，即 (k+1)2 = 0，所以 k =－1， 所以直线 l 的方程为 y－ 1 =－ (x－ 1)，即 y =－ x+2．
直线的点斜式方程： 若直线 l 过点 P0(x0， y0)，斜率为 k，那么直线 l 的方程为： y －y0 = k (x－x0) ．直线的斜截式方程： 若直线 l 在y轴上的截距为 b 斜率为 k，那么直线 l 的方程为： y = k x + b ． 直线的点斜式和斜截式方程适用于不垂直于x轴即斜率存在的直线．垂直于x轴即斜率不存在的直线方程为： x = x0 ．
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