高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册2.5 圆的方程同步测试题

2.5 圆的方程（练习）

一．单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在平面内，是两个定点，是动点．若，则点的轨迹为

A．圆            B．椭圆            C．抛物线            D．直线  

【答案】A

【解析】设，以中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则：，设，则，

所以，整理可得：，

即点C的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆．故选A．

2．已知点在圆的外部（不含边界），则实数的取值范围为

A．            B．            C．            D．

【答案】D

【解析】因为圆，可化为，

所以圆心，半径．

因为点在圆的外部，

所以点到圆心的距离大于半径，

即，解得．故选D．

3．若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为

A．             B．             C．             D．

【答案】B

【解析】由于圆上的点在第一象限，所以圆心必在第一象限，

因为圆与两坐标轴都相切，所以设圆的半径为，则圆心的坐标为，

故圆的标准方程为．

由题意可得，可得，解得或，

所以圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为，

所以圆心到直线的距离为．故选B．

4．若方程所表示的圆取得最大面积，则直线的

倾斜角等于

A．            B．            C．            D．

【答案】D

【解析】方程的标准方程为，

则，当所表示的圆取得最大面积时，，此时，

则直线为，所以，

因为，所以．故选D．

5．已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的

方程为

A．           B．

C．           D．

【答案】C

【解析】圆的圆心为，半径长为1，设圆的圆心为，

由题意得且，解得，即圆的圆心为，

又圆的半径长为1，故圆的方程为．故选C．

6．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于

点，则（异于，两点）的取值范围是

A．    B．   C．   D．

【答案】B

【解析】由题意可得，，因为，

所以直线和直线垂直，故点在以为直径的圆上运动，故，

因为，所以，所以

所以．故选B．

二、填空题

7．已知圆经过，两点，圆心在轴上，则的方程为           ．

【答案】

【解析】依题意设圆的方程为，把所给的两点坐标代入方程得，解得，所以圆的方程为：．

8．若方程表示圆，则圆心坐标是_____，半径长为____．

【答案】； ．

【解析】由题意，即或．

当时，方程为，即，圆心为，半径为5，

当时，方程为，不表示圆．

9．由曲线围成的图形面积为           ．

【答案】

【解析】由题意，作出如图的图形，由曲线关于原点对称，

当，时，解析式为，

故可得此曲线所围的力图形由一个边长为的正方形与四个半径为的半圆组成，

所围成的面积是．

10．已知点是圆上的动点，则的取值范围为           ．

【答案】

【解析】圆可化为，

则圆心，半径，

故表示圆上的点到点的距离的平方，

因为，所以，

即，所以，所以的取值范围为．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

11．直角三角形的顶点坐标，直角顶点，顶点在轴上．

（1）求边所在直线的方程；

（2）圆是三角形的外接圆，求圆的方程．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）直线的斜率为，

由题意可知，则直线的斜率为．

因此，边所在直线的方程为，即；

（2）直线的方程为，由于点在轴上，令得，点．

由于是以为直角的直角三角形，

则该三角形的外接圆圆心为线段的中点，半径长为．

因此，圆的标准方程为．

12．在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆

盖圆．最小覆盖圆满足以下性质：①线段的最小覆盖圆就是以为直径的圆；②

锐角的最小覆盖圆就是其外接圆．已知曲线：，，，

，为曲线上不同的四点．

（1）求实数的值及的最小覆盖圆的方程；

（2）求四边形的最小覆盖圆的方程；

（3）求曲线的最小覆盖圆的方程．

【答案】（1），；（2）；（3）．

【解析】（1）因为在曲线：上，所以令得，．

由于为锐角三角形，外接圆就是的最小覆盖圆．

设外接圆方程为，

则， 解得．

所以的最小覆盖圆的方程为，即．

（2）由题意，曲线关于原点成中心对称，且．

所以四边形的最小覆盖圆就是的最小覆盖圆，即以为直径的圆，

所以的最小覆盖圆的方程为．

所以四边形的最小覆盖圆的方程为．

（3）曲线关于原点成中心对称．设曲线上一点，则．

又，且．

故，

所以当时，，

所以曲线的最小覆盖圆的方程为．