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2021-2022学年人教版八年级数学上学期期末复习--等腰、等边三角形《考点•题型•难点》专项突破（含解析）
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这是一份2021-2022学年人教版八年级数学上学期期末复习--等腰、等边三角形《考点•题型•难点》专项突破（含解析），共47页。
等腰、等边三角形期末高频考点突破
题型一：等腰三角形的性质
1．（2021·内蒙古乌海·八年级期末）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·云南红河·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，若△ADE的周长等于10，则AB的长是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·云南红河·八年级期末）如图，在等腰Rt△ACD中，∠ACD=90°，AC=DC，且AD=2，以边AD、AC、CD为直径画半圆，其中所得两个月形图案AGCE和DHCF（图中阴影部分）的面积之和等于（ ）
A． B． C． D．
题型二：等腰三角形的判断
4．（2021·山东费县·八年级期末）如图，中，，，、分别平分、，过点作直线平行于，交、于、，则的周长为（ ）
A．9 B．11 C．15 D．18
5．（2021·四川古蔺·八年级期末）如图，任意中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①；②；③的周长等于；④．其中正确的有（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
6．（2021·河南安阳·八年级期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于G，交于H．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
题型三：等腰三角形的综合问题
7．（2021·浙江镇海·八年级期末）如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O
（1）求证：OB=OC；
（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．
8．（2021·河北围场·八年级期末）如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）求证：BF=2AE；
（2）若CD=，求AD的长．
9．（2021·全国·八年级期末）在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，F为对角线AC上一点，连接DE、BF，若∠ADE与∠CBF的平分线DG、BG交于AC上一点G，连接EG．
（1）如图1，点B、G、D在同一直线上，若∠CBF＝90°，CD＝3，EG＝2，求CE的长；
（2）如图2，若AG＝AB，∠DEG＝∠BCD，求证：AD＝BF+DE．
题型四：等边三角形的判断和性质
10．（2021·湖北郧西·八年级期末）如图所示，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
11．（2021·山东单县·八年级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D是斜边上任意一点，将点D绕点C逆时针旋转60°得到点E，则线段DE长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
12．（2021·山东济阳·八年级期末）如图，的对角线AC，BD交于点O，AE平分，交BC于点E，且，连接OE，下列结论①；②OD=AB；③；④；其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型五：等边三角形的综合问题
13．（2021·贵州西秀·八年级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF
（1）求证：AE=CF；
（2）若AB=6，∠COD=60°，求矩形ABCD的面积．
14．（2021·江西·南昌市二十八中教育集团青云学校八年级期末）如图，已知A(-1,0),B(1,0),C为y轴正半轴上一点，点D为第三象限一动点，CD交AB于F,且∠ADB=2∠BAC，
(1)求证：∠ADB与∠ACB互补；
(2)求证：CD平分∠ADB；
(3)若在D点运动的过程中，始终有DC=DA+DB,在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数.
15．（2021·湖南道县·八年级期末）给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；
（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．
①求证：△BCE是等边三角形；
②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
题型六：含30°的直角三角形
16．（2022·安徽·合肥市第四十五中学九年级期中）如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠ABC=90°，AB=BC， E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD，连接DE交对角线AC于H，连接BH，下列结论错误的是（ ）
A．HE=2BE B．AC⊥DE C．∠CED=60° D．S△ADE= 2S△BCE
17．（2021·浙江·杭州外国语学校九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的点，BE＝3，CD＝6，∠FED＝30°，∠FDE＝45°，则BC的长度为（ ）
A． B． C． D．
18．（2021·辽宁岫岩·九年级期中）如图，中，，，，点是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
等腰、等边三角形期末高频考点强化训练突破
一、单选题
19．（2021·四川宣汉·八年级期末）若一个等腰三角形的两边长分别为6和4，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．13 B．14或16 C．16 D．14
20．（2021·四川渠县·八年级期末）如图，在中，，，于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
21．（2021·辽宁大连·八年级期末）如图，是等边的边上的中线，F是线段上的动点，E是边中点，当取得最小值时，则的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
22．（2021·辽宁丹东·八年级期末）如图，在中，，交于点，，，则的长（ ）
A．8 B．10 C．11 D．12
23．（2021·吉林前郭尔罗斯·八年级期末）如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，下列结论：（1）AB＝AC；（2）∠BAE＝∠CAD；（3）BE＝DC；（4）AD＝DE．中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
24．（2021·辽宁丹东·八年级期末）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，点在上，点在上，连接，将沿折叠，点与点恰好重合时，则的度数（ ）
A．90° B．92° C．95° D．98°
25．（2021·陕西金台·八年级期末）如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且BD=CE，AD与B相交于点P．下列结论；AE＝CD；②AD＝BE：③∠PAE＝∠ABE：④∠APB＝120°，其中正确的结论共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
26．（2021·湖北武汉·八年级期末）如图，点在y轴上，点、在轴上，，，与关于轴对称，，点、分别是边、上的动点，则的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
27．（2021·湖北随县·八年级期末）如图，中，，是的中点，的垂直平分线分别交，，于点，，，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．对 B．对 C．对 D．对
28．（2021·辽宁·东北育才双语学校八年级期末）如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为4；③；④；⑤．其中正确的结论是（ ）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③
二、填空题
29．（2021·河南·永城市教育体育局教研室八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，点M， N分别是边AB， BC上的点（异于两端点），将△BMN沿着直线MN对折，得到△DMN，且DM， DN分别交AC于点E， F． 若△DEF是直角三角形，则∠BMN的度数为__________．
30．（2021·福建晋安·八年级期末）如图，点M在等边ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为_____．
31．（2021·辽宁建昌·八年级期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BFAC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF，给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，⑤AC＝BC．其中正确的结论有________________（填序号）．
32．（2021·陕西商州·八年级期末）如图，在中，，，于点，的平分线分别交，于点，，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：①为等腰三角形；②；③；④．其中正确的结论有______．（填序号）
三、解答题
33．（2021·广东禅城·八年级期末）如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．
（1）求证：△PMN是等边三角形；
（2）若BP＝2cm，求等边△ABC的边长．
34．（2021·广东三水·八年级期末）如图，等腰△ABE与等腰△ACF中，AB＝AE，AC＝AF且∠B＝∠ACF．连接BC、FE，点E恰好落在线段BC上，EF交AC于点G．
（1）求证：BC＝EF；
（2）若∠B＝70°，∠ACB＝25°，求∠CGF的度数．
35．（2021·辽宁昌图·八年级期末）如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．
（1）当为何值时，为等边三角形？
（2）当为何值时，为直角三角形？
36．（2021·吉林前郭尔罗斯·八年级期末）在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，D是线段BC上一动点（不与B、C两点重合），且∠ADE＝40°．
（1）若∠BDA＝115°，则∠CDE＝ ，∠AED＝ ；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？试说明理由；
（3）在D点运动过程中，能使△ADE是等腰三角形吗？若能，请求出使△ADE是等腰三角形时的∠ADB的度数；若不能，请说明理由．
37．（2021·广东河源·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）．
（1）当0＜t＜10.5时，是否存在点P，使四边形PQDC是平行四边形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由；
（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm2？
（3）当0＜t＜10.5时，是否存在点P，使△PQD是等腰三角形（不考虑QD＝PD）？若存在，请直接写出t的值．
38．（2021·辽宁建昌·八年级期末）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
（1）如图1，若点D在边BC上，直接写出CE，CF与CD之间的数量关系；
（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由；
（3）如图3，若点D在边CB的延长线上，请直接写出CE，CF与CD之间的数量关系．
参考答案
1．B
【分析】
根据菱形的性质及直角三角形斜边中线的性质推出OH=OD=OB，求出∠ODH的度数即可得到答案．
【详解】
解：四边形是菱形，
，，
，
，.
为的斜边上的中线．
.
.
四边形是菱形，
.
.
，
∴.
故选：B．
【点睛】
此题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形等边对等角求角度，熟记各性质是解题的关键．
2．C
【分析】
由角平分线的性质可得CD=ED，即可得AC=BC=BE结合三角形的周长即可得△ADE的周长=AC+AE=AB，进而可求解．
【详解】
解：∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=ED，
∴BC=BE，
∵AC=BC，
∴AC=BE，
∵△ADE的周长等于10，
∴△ADE的周长为AD+ED+AE=AC+AE=BE+AE=AB=10．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，等腰直角三角形，求得“△ADE的周长=AB”是解题的关键．
3．D
【分析】
由等腰三角形的性质及勾股定理可求解AC=CD=2，进而可求得S△ACD=2，再利用阴影部分的面积=以AC为直径的圆的面积+△ACD的面积-以AD为直径的半圆的面积计算可求解．
【详解】
解：在等腰Rt△ACD中，∠ACD=90°，AC=DC，AD=2，
∴AC2+DC2=AD2=8，
∴AC=CD=2，
∴S△ACD=AC•DC=2，
∴
=π+2-π
=2，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形，勾股定理，理清阴影部分的面积=以AC为直径的圆的面积+△ACD的面积-以AD为直径的半圆的面积是解题的关键．
4．C
【分析】
根据平行线的性质得到∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，根据角平分线的性质得到∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，等量代换得到∠EDB=∠EBD，∠FDC=∠FCD，于是得到ED=EB，FD=FC，即可得到结果．
【详解】
解：，
，，
中，和的平分线相交于点，
，，
，，
，，
，，
的周长为：
．
故选：C．
【点睛】
考查了等腰三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定与性质是等腰三角形是解此题的关键．
5．C
【分析】
①利用角平分线的定义及三角形内角和定理即可判断；
②根据平行线的性质和角平分线的定义得出，从而通过等量代换即可判断；
③根据等量代换即可判断；
④根据的大小关系即可判断．
【详解】
∵与的平分线交于点，
，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，
，
，故②正确；
的周长等于，故③正确；
∵无法判断的大小关系，
∴BF，CF的大小也无法判断，故④错误；
∴正确的有3个，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定，角平分线的定义及三角形内角和定理，掌握数形结合与转化的思想是关键．
6．B
【分析】
根据中线的性质即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠BAD＝∠ACB，再用角平分线的定义推出②；根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠DAC，再用外角的性质可判断③；根据等腰三角形的判定判断④．
【详解】
解：∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；
∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠ACF，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠BAG＝2∠ACF，故②正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，故③正确；
根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
7．（1）证明见解析；（2）∠BOC=100°
【详解】
试题分析：（1）首先根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，然后利用高线的定义得到∠ECB=∠DBC，从而得证；
（2）首先求出∠A的度数，进而求出∠BOC的度数．
试题解析：（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD、CE是△ABC的两条高线，∴∠DBC=∠ECB，∴OB=OC；
（2）∵∠ABC=50°，AB=AC，∴∠A=180°﹣2×50°=80°，∴∠BOC=180°﹣80°=100°．
考点：等腰三角形的性质．
8．（1）见解析 （2）2+
【详解】
试题分析：（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，再根据同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角边角”证明△ADC和△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AF，从而得证．
（2）根据全等三角形对应边相等可得DF=CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF，然后根据AD=AF+DF代入数据即可得解．
解：（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，∴△ABD是等腰直角三角形．∴AD=BD．
∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°．∴∠CAD=∠CBE．
在△ADC和△BDF中，∠CAD=∠CBF，AD=BD，∠ADC=∠BDF=90°，
∴△ADC≌△BDF（ASA）．∴BF=AC．
∵AB=BC，BE⊥AC，∴AC=2AE．∴BF=2AE．
（2）∵△ADC≌△BDF，∴DF=CD=．
在Rt△CDF中，．
∵BE⊥AC，AE=EC，∴AF=CF=2．
∴AD=AF+DF=2+．
9．（1）；（2）见详解．
【分析】
（1）由题意，先证明△BDE是等腰直角三角形，然后利用等腰三角形的性质和勾股定理，即可求出答案；
（2）在AD上取一点M，使得DM=DE，连接MG，然后根据全等三角形的判定和性质，得到AM=BF，即可得到答案．
【详解】
解：（1）如图，点B、G、D在同一直线上，
∵DG、BG分别是∠ADE与∠CBF的角平分线，且∠CBF＝90°，
∴∠CBD=45°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD=45°，
∴∠BDE=∠ADB=45°，
∴∠BED=，
∴三角形BDE是等腰直角三角形，，
在平行四边形ABCD中，则BD=DG，
∴线段EG是等腰直角三角形BDE的中线，
∴EG⊥BD，
∵，
∴，
在直角三角形CDE中，由勾股定理得
；
（2）如图，在AD上取一点M，使得DM=DE，连接MG，
在△DMG和△DEG中，有
，
∴△DMG≌△DEG，
∴∠DMG=∠DEG=∠BCD，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠DMG=∠BAD，
∴MG∥AB，
∴∠BAF=∠AGM，
∵AG＝AB，
∴∠AGB=∠ABG，
∵∠ABG=∠ABF+∠FBG，∠AGB=∠GBC+∠BCG，
又∵∠FBG=∠GBC，
∴∠ABF=∠BCG，
∵AD∥BC，
∴∠BCG=∠MAG=∠ABF，
在△AMG和△BFA中，有
∴，
∴△AMG≌△BFA，
∴AM=BF，
∴AD=AM+MD=BF+DE．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，解题的关键是正确的作出辅助线，构造全等三角形进行证明．
10．D
【详解】
因为△ABC是等边三角形，所以∠ABD=∠BCE=60°，AB=BC.
因为BD＝CE，所以△ABD≌△BCE，所以∠1=∠CBE.
因为∠CBE+∠ABE=60°，所以∠1+∠ABE=60°.
因为∠2=∠1+∠ABE，所以∠2=60°.
故选D.
11．A
【分析】
由旋转的性质可证△CDE为等边三角形，当DE最短，CD最短，CD⊥AB时，CD最短，由直角三角形等面积法，即可求得．
【详解】
解：由旋转的性质得，CD＝CE，∠DCE＝60°，
∴△CDE为等边三角形，
∴CD＝CE＝DE，
当DE最短，CD最短，
当CD⊥AB时，CD最短，
此时S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，
即AC•BC＝AB•CD，
在Rt△ABC中，∠ACD＝90°，AB＝5，BC＝3，
由勾股定理得，AC＝4，
∴3×4＝5CD，
∴CD＝，
∴线段DE长度的最小值是，
∴故选：A．
【点睛】
本题主要考查了旋转以及等边三角形，熟练等面积法是解决本题的关键．
12．C
【分析】
结合平行四边形的性质可证明△ABE为等边三角形，由可判定①，证明∠BAC=90°，可判定②；由平行四边形的面积公式可判定③；利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判定④．
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC=60°，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，∠CAD=∠EAC，OB=OD，
∴∠DAE=∠AEB，∠BAC=∠BCD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE=∠AEB=60°，AB=BE=AE，
∵
∴EC=AE，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠CAD=30°，故①正确；
∵∠BAD=120°，∠CAD=30°，
∴∠BAC=90°，
∴BO＞AB，
∴OD＞AB，故②错误；
∴S▱ABCD=AB•AC=AC•CD，故③正确；
∵∠BAC=90°，BC=2AB，
∴E是BC的中点，
∴S△BEO：S△BCD=1：4，
∴S四边形OECD：S△BCD=3：4，
∴S四边形OECD：S▱ABCD=3：8，
∵S△AOD：S▱ABCD=1：4，
∴故④正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，等边三角形的性质和判定，灵活运用三角形的面积解决问题是解题的关键．
13．
【分析】
（1）由矩形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，证出OE=OF，由SAS证明△AOE≌△COF，即可得出AE=CF；
（2）证出△AOB是等边三角形，得出OA=AB=6，AC=2OA=12，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的长，即可得出矩形ABCD的面积．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，
∵BE=DF，∴OE=OF，
在△AOE和△COF中，∵OA=OC，∠AOE=∠COF，OE=OF，
∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE=CF；
（2）解：∵OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOB=∠COD=60°，
∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=6，
∴AC=2OA=12，
在Rt△ABC中，BC==6，
∴矩形ABCD的面积=AB•BC=6×6=36．
14．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)∠BAC=60°.
【分析】
(1)先判断△ABC是等腰三角形，然后在△ABC中利用三角形内角和定理以及∠ADB=2∠BAC即可得到结论；
(2)过点C作AM⊥DA于点M，作CN⊥BD于点N，运用“AAS”证明△CAM≌△CBN得CM=CN，根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；
(3)延长DB至点P，使BP=AD，连接CP，则可得CD=DP，证明△CAD≌△CBP，从而可得 △CDP是等边三角形，从而求∠BAC的度数．
【详解】
(1)∵A(-1,0),B(1,0)，
∴OA=OB=1，
∵CO⊥AB，
∴CA=CB，
∴∠ABC=∠BAC，
∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，∠ADB=2∠BAC，
∴∠ADB+∠ACB=180°，
即∠ADB与∠ACB互补；
(2)过点C作AM⊥DA于点M，作CN⊥BD于点N，则∠AMC=∠ANB=90°，
∵∠ADB+∠AMC+∠DNC+∠MCN=360°，
∴∠ADB+∠MCN=180°，
又∵∠ADB+∠ACB=180°，
∴∠MCN=∠ACB，
∴∠MCN-∠CAN=∠ACB-∠CAN，
即∠ACM=∠BCN，
又∵AB=AC，
∴△ACM≌△ABN (AAS)，
∴AM=AN．
∴CD平分∠ADB(到角的两边距离相等的点在角的平分线上)；
(3)∠BAC的度数不变化，
延长DB至点P，使BP=AD，连接CP，
∵CD=AD+BD，
∴CD=DP，
∵∠ADB+∠DBC+∠ACB+∠CAD=360°，∠ADB+∠ACB=180°，
∴∠CAD+∠CBD=180°，
∵∠CBD+∠CBP=180°，
∴∠CAD=∠CBP，
又∵CA=CB，
∴△CAD≌△CBP，
∴CD=CP，
∴CD=DP=CP，即△CDP是等边三角形，
∴∠CDP=60°，
∴∠ADB=2∠CDP=120°，
又∵∠ADB=2∠BAC，
∴∠BAC=60°.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，四边形内角和定理，三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
15．(1)正方形、矩形、直角梯形均可；(2)①证明见解析②证明见解析
【分析】
（1）根据定义和特殊四边形的性质，则有矩形或正方形或直角梯形；
（2）①首先证明△ABC≌△DBE，得出AC=DE，BC=BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；
②利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解．
【详解】
解：（1）正方形、矩形、直角梯形均可；
（2）①∵△ABC≌△DBE，
∴BC=BE，
∵∠CBE=60°，
∴△BCE是等边三角形；
②∵△ABC≌△DBE，
∴BE=BC，AC=ED；
∴△BCE为等边三角形，
∴BC=CE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△DCE中，
DC2+CE2=DE2，
∴DC2+BC2=AC2．
考点：四边形综合题．
16．A
【分析】
根据平行线的性质结合题意易证是等腰直角三角形，即利用“三线合一”的性质可证明出，可判断B选项；由，可求出，即可求出，可判断C选项；在中，由含角的直角三角形的性质可确定．再由在中，，推出，即确定，可判断A选项；设，，即可求出，，．在和中，利用“SAS”可证明，，即推出，从而证明为等边三角形，得出．在中，利用勾股定理即得出，确定出x，y的关系．最后根据三角形面积公式计算出和结合求出的x，y的关系即可得到，可判断D选项．
【详解】
∵，，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵AE=AD，
∴．故B正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．故C正确，不符合题意；
∵在中，，
∴．
∵在中，，
∴，
∴．故A错误，符合题意；
设，，
根据题意可知，，
∴在中．
在和中，，
∴，
∴．
∵，
∴为等边三角形，
∴．
∴在中，即，
整理得：．
∵，，
∴．故D正确，不符合题意．
故选A．
【点睛】
本题考查平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，综合性强，较难．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
17．A
【分析】
作，延长、交于点，设，根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】
解：作，延长、交于点，如下图，
则，∴为等腰直角三角形
由题意可得：，，
设，则，
∴
∴
∵，
∴
又∵
∴
∴，
∴
又∵
∴
∴，即
解得
∴
故选：A
【点睛】
此题考查了矩形的性质，涉及了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用相关性质作出辅助线构造出全等三角形．
18．A
【分析】
如图，取AB的中点T，连接PT，过点T作TH⊥AC于H．证明△TBP≌△CBQ（SAS），推出CQ=PT，根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PT的值最小，最小值=TH=AT=5．
【详解】
解：如图，取AB的中点T，连接PT，过点T作TH⊥AC于H．
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC，∠ABC=60°，
∵AT=TB，
∴BC=BT，
∵BP=BQ，∠CBT=∠PBQ，
∴∠CBT-∠PBC=∠PBQ-∠PBC，即∠TBP=∠CBQ，
∴△TBP≌△CBQ（SAS），
∴CQ=PT，
根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PT的值最小，最小值=TH=AT=AB=5，
∴CQ的最小值为5．
故选A
【点睛】
本题考查旋转变换，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
19．B
【分析】
根据等腰三角形的性质可得另外一边为6或4，验证是否满足三角形三边条件，即可求解．
【详解】
解：等腰三角形的两边长分别为6和4
则另外一边为6或4
当另外一边为6时，三边分别为6，6，4，符合三角形三边条件，此时周长为16
当另外一边为4时，三边分别为6，4，4，符合三角形三边条件，此时周长为14
故选B
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，由三角形三边关系确定三角形的三条边长为解题的关键．
20．B
【分析】
由∠C=90°，∠ABC=60°，可得∠A=30°，然后根据含30度角的直角三角形的性质可得AD=2DE=5.4cm，由此求解即可．
【详解】
解：∵∠C=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
∴AD=2DE=5.4cm，
∴AC=AD+CD=8.1cm，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握含30度角的直角三角形的性质．
21．C
【分析】
连接BE交AD于F，连接CF，由已知得出，，，此时EF+CF取得最小值，即为BE的长，再根据是等边的边上的中线，进而求解．
【详解】
连接BE交AD于F，连接CF，
是等边三角形，E是AC的中点，是BC边上的中线，
，，，此时EF+CF取得最小值，即为BE的长，
，
是等边的BC边上的中线，
，
,
故选：C．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，解题关键是准确找到点E和F的位置．
22．D
【分析】
依据等腰三角形的内角和，即可得到∠C＝∠B＝30°，依据AD⊥AB交BC于点D，即可得到BD＝2AD＝8，∠CAD＝30°＝∠B，CD＝AD＝4，进而得出BC的长．
【详解】
解：∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠C＝∠B＝30°，
∵AD⊥AB交BC于点D，
∴BD＝2AD＝8，∠CAD＝30°＝∠B，
∴CD＝AD＝4，
∴BC＝BD＋CD＝8＋4＝12．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，解题时注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
23．C
【分析】
先证AB＝AC，再证△ABE≌△ACD（AAS）得AD＝AE，BE＝CD，∠BAE＝∠CAD，即可得出结论．
【详解】
解：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，故（1）正确；
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AD＝AE，BE＝CD，∠BAE＝∠CAD，故（2）（3）正确，（4）错误，
正确的个数有3个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是本题的关键．
24．B
【分析】
连接OB、OC．由角平分线和垂直平分线的性质可求出，再由等腰三角形的性质可求出，由，即可求出的大小．在和中，利用“SAS”易证，即得出OB=OC，从而可求出．再由题意折叠可知OE=CE，即得出，最后由，即可求出的大小．
【详解】
如图，连接OB、OC．
∵，的平分线与的垂直平分线交于点，
∴．
∵AB=AC，
∴，
∴．
在和中， ，
∴，
∴OB=OC，
∴．
由题意将沿折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查角平分线、线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质．作出辅助线构造等腰三角形是解答本题的关键．综合性强，较难．
25．D
【分析】
先根据SAS定理得出△ABD≌△BCE，结合全等三角形的性质及三角形外角的性质进行判断．
【详解】
解：①因为AC=BC，BD=CE，所以AE=CD．故①正确，
②∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABD=∠C=60°，AB=BC．
在△ABD与△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS）；
∴AD=BE．
故②正确；
③由②知△ABD≌△BCE，所以∠DAB=∠CBE，则∠PAE=∠ABE，故③正确；
④∵由②知△ABD≌△BCE．
∴∠BAD=∠EBC，
∴∠BAD+∠ABP=∠ABD=60°．
∵∠APE是△ABP的外角，
∴∠APE=∠BAD+∠ABP=60°，
∴∠APB=120°，
故④正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，证明△ABD≌△BCE是解答此题的关键．
26．C
【分析】
分别作出点、关于、的对称点、，连接分别交、于、，得出为最小，再依据等边三角形性质和判定，轴对称的性质分别求出和，即可求得．
【详解】
解：分别作出点、关于、的对称点、，
连接分别交、于、，如图所示，
则
此时为最小．
由题知为正三角形，、，
连，过作轴于，
由对称性可得：
，，
，，
∴，同理可得，
∴．
故选C．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，坐标与图形变化，能借助轴对称的性质正确变形将折线的长化成一条线段的长是解题关键．
27．C
【分析】
根据，是的中点，可得 ， ， ，从而，，，再根据 垂直平分线，可得，即可求解．
【详解】
解：∵，是的中点，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴，
∴ ，
∴ ，
∵， ，
∴ ，
∵ 垂直平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴图中全等三角形的对数是4对．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．
28．A
【分析】
证明△≌△BOC，又∠OB＝60°，所以△BA可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；由△OB是等边三角形，可知结论②正确；在△AO中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AO是直角三角形；进而求得∠AOB＝150°，故结论③正确；故结论④错误；将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将S△AOC+S△AOB转化为，计算可得结论⑤正确．
【详解】
解：如图，
由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，
∴∠1＝∠3，
又∵OB＝B，AB＝BC，
∴△BA≌△BOC，
又∵∠OB＝60°，
∴△BA可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，
故结论①正确；
如图，连接O，
∵OB＝B，且∠OB＝60°，
∴△OB是等边三角形，
∴O＝OB＝4．
故结论②正确；
∵△BA≌△BOC，
∴A＝5．
在△AO中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AO是直角三角形，∠AO＝90°，
∴∠AOB＝∠AO+∠BO＝90°+60°＝150°，
故结论③正确；
，故结论④错误；
如图，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至，
易知△AO是边长为3的等边三角形，△CO是边长为3、4、5的直角三角形，则，故结论⑤正确．
综上所述，正确的结论为：①②③⑤，
故选：A．
【点睛】
本题考查了旋转变换中等边三角形、直角三角形的性质，利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点，在判定结论⑤时，将△AOB向不同方向旋转，体现了结论①至结论④解题思路的拓展应用．
29．45°或75°或45°
【分析】
根据△DEF是直角三角形，分两种情况进行讨论：①当；②当；分别求解即可．
【详解】
解：若△DEF是直角三角形，
∵△ABC是等边三角形，△BMN沿着直线MN对折，得到△DMN，
∴，，
当时，则，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，则，
∴，
∴，
∴；
综上：∠BMN的度数为45°或75°，
故答案为：45°或75°．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠后的对应边相等和对应角相等是解本题的关键，注意分类讨论．
30．13
【分析】
根据等边三角形的性质得到AC=BC，∠B=60°，作点M关于直线CD的对称点G，过G作GN⊥AB于N，交CD于P，则此时，MP+PN的值最小，根据直角三角形的性质得到BG=2BN=18，求得MG=10，于是得到结论．
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠B=60°，
作点M关于直线CD的对称点G，过G作GN⊥AB于N，交CD于P，
则此时，MP+PN的值最小，
∵∠B=60°，∠BNG=90°，
∴∠G=30°，
∵BN=9，
∴BG=2BN=18，
∴MG=BG-BM=18-8=10，
∴CM=CG=5，
∴AC=BC=13，
故答案为：13．
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
31．① ② ③④
【分析】
由角平分线的性质和平行线的性质可证∠ACB＝∠ABC，可得AC＝AB，由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，CD＝BD，由“ASA”可证△CDE≌△BDF，可得S△CDE＝S△BDF，CE＝BF，DE＝DF，即可求解．
【详解】
解：∵BC恰好平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠CBF，
∵BFAC，
∴∠ACB＝∠CBF，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴AC＝AB，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，CD＝BD，故②，③正确
∵CD＝BD，且∠ACB＝∠CBF，∠CDE＝∠BDF，
∴△CDE≌△BDF（ASA）
∴S△CDE＝S△BDF，CE＝BF，DE＝DF，故①正确，
∵AE＝2BF，
∴AC＝3BF，故④正确，
AC与BC的长度不相等，，故⑤错误；
故答案为：① ② ③④．
【点睛】
本题考查了全等三角形判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，证明△CDE≌△BDF是本题的关键．
32．①②③④
【分析】
由∠FAE＝45°可判断①，证明△BDF≌△ADN可判断②和③，证明△ABE≌△NBE可判断④，从而可得答案．
【详解】
解：∵∠BAC＝90°，∠C＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AD⊥BC，
∴∠FAE＝45°，
∵△ABC是等腰直角三角形，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝22.5°，
∴∠BFD＝67.5°＝∠AFE＝∠AEB，
∴AF＝AE，
∴△AFE为等腰三角形，故①正确；
∵M为EF的中点，
∴∠DAN＝∠CAN＝∠DAC＝22.5°，
∴∠DAN＝∠DBF＝22.5°，
∵在△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，
∴AD＝BD，∠BDF＝∠AND=90°，
在△BDF和△ADN中，
∵，
∴△BDF≌△ADN（ASA），
∴DF＝DN，AN＝BF，故②、③正确；
∵∠AND＝∠BFD＝67.5°，
又∵∠BAN＝∠BAD＋∠DAN＝67.5°，
∴∠AND＝∠BAN，
∴AB＝BN，
又∵∠ABE＝∠NBE，BE＝BE，
在△ABE和△NBE中，
，
∴△ABE≌△NBE（SAS），
∴∠BNE＝∠BAE＝90°，
∴EN⊥NC，故④正确，
故答案是：①②③④．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练应用全等三角形的判定定理，证明三角形全等．
33．（1）见解析；（2）等边△ABC的边长为6cm
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得出∠A＝∠B＝∠C，进而得出∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，再根据平角的意义即可得出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，即可证得△PMN是等边三角形；
（2）先根据直角三角形30度的性质可得BM＝4，证明△MPB≌△NMC（AAS），可得CM＝PB＝2，从而得结论．
【详解】
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，
∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，
∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，
∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，
∴△PMN是等边三角形；
（2）解：∵△PMN是等边三角形
∴PM=MN
在Rt△BPM中，∵∠B＝60°，
∴∠PMB＝30°，
∴BM＝2PB＝4，
在△MPB和△NMC中，
，
∴△MPB≌△NMC（AAS），
∴CM＝PB＝2，
∴BC＝BM+CM＝4+2＝6（cm），
∴等边△ABC的边长为6cm．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定和性质等知识；证出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP是本题的关键．
34．（1）见详解；（2）65°
【分析】
（1）由等腰三角形的性质求出∠BAE＝∠CAF，即可得到∠BAC＝∠EAF，根据SAS判定△ABC≌△AEF，即可得解；
（2）由（1）得到∠B＝∠AEF，即可得出∠B＝∠AEB＝∠AEF＝70°，由平角的定义得出∠GEC＝180°−∠AEB−∠AEF＝40°，再根据三角形的外角性质即可得解．
【详解】
（1）证明：∵AB＝AE，AC＝AF，
∴∠B＝∠AEB，∠ACF＝∠AFC，
∴∠BAE＝180°−2∠B，∠CAF＝180°−2∠ACF，
∵∠B＝∠ACF，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴∠BAE＋∠EAC＝∠EAC＋∠CAF，即∠BAC＝∠EAF，
在△ABC和△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴BC＝EF；
（2）由（1）得，△ABC≌△AEF，
∴∠B＝∠AEF，
∵∠B＝70°，
∴∠B＝∠AEB＝∠AEF＝70°，
∴∠GEC＝180°−∠AEB−∠AEF＝180°−70°−70°＝40°，
∵∠ACB＝25°，
∴∠CGF＝∠GEC＋∠ACB＝65°．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握定腰三角形的性质定理证出△ABC≌△AEF是解题的关键．
35．（1）当时，为等边三角形；（2）当或时，为直角三角形
【分析】
用含的代数式表示出、．
（1）由于，当时，可得到关于的一次方程，求解即得结论；
（2）分两种情况进行讨论：当时，当时．利用直角三角形中，含角的边间关系，得到关于的一次方程，求解得结论．
【详解】
解：在中，
，，
．
，
，，
（1）当时，为等边三角形．
即．
．
当时，为等边三角形；
（2）若为直角三角形，
①当时，，
即，
．
②当时，，
即，
．
即当或时，为直角三角形．
【点睛】
本题考查了含角的直角三角形、等边三角形以及分类讨论的思想方法，解题的关键是利用“直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半”及“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”，得到关于的一次方程．
36．（1）25°，65°；（2）2，理由见解析；（3）能，110°或80°
【分析】
（1）利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质解答即可；
（2）先求出∠ADB＝∠DEC，再由∠B＝∠C，AB＝DC＝2，即可得出△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）分两种情况讨论即可．
【详解】
解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝∠40°，
∵∠BDA＝115°，
∴∠ADC＝180°﹣115°＝65°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝65°﹣40°＝25°，
∴∠AED＝∠CDE+∠C＝25°+40°＝65°，
故答案为：25°，65°；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由如下：
∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）△ADE能成为等腰三角形，理由如下：
∵∠ADE＝∠C＝40°，∠AED＞∠C，
∴△ADE为等腰三角形时，只能是AD＝DE或AE＝DE，
当AD＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠EDC＝∠AED﹣∠C＝70°﹣40°＝30°，
∴∠ADB＝180°﹣40°﹣30°＝110°；
当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠AED＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠EDC＝∠AED﹣∠C＝100°﹣40°＝60°，
∴∠ADB＝180°﹣40°﹣60°＝80°；
综上所述，当∠ADB的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点，此题涉及到的知识点较多，综合性较强．
37．（1）存在，当秒时，四边形是平行四边形，理由见解析；（2）或15秒，理由见解析；（3）当秒或秒时，是等腰三角形，理由见解析
【分析】
（1）由题意已知，，要使四边形是平行四边形，则只需要让即可，列出等式可求解．
（2）要使以、、、为顶点的梯形面积等于，可以分为两种情况，点、分别沿、运动或点返回时，再利用梯形面积公式，即，因为、点的速度已知，、、的长度已知，用可分别表示、的长，即可求得时间；
（3）使是等腰三角形，可分三种情况，即、，可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间．
【详解】
解：（1）四边形是平行四边形，
，
当从运动到时，
，
解得
当秒时，四边形是平行四边形；
（2）若点、分别沿、运动时，
，
即，
解得（秒
若点返回时，，
则
解得（秒．
故当或15秒时，以，，，为顶点的梯形面积等；
（3）当时
作于，则，
，
秒；
当时，，，
解得（秒，
综上可知，当秒或秒时，是等腰三角形．
【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了直角梯形的性质，平行四边形的性质，梯形的面积，等腰三角形的性质，解题的关键是注意要全面考虑各种情况，不要遗漏．
38．（1）CE＋CF＝CD；（2）CF＝CE＋CD，理由见解析；（3）CD＝CE＋CF
【分析】
（1）在CD上截取CH=CE，易证CEH是等边三角形，得EH=EC=CH，证明DEH≌FEC，得DH=CF，即可得出结论；
（2）先证GCE为等边三角形，再证EGD≌ECF，得到GD＝CF，又因为GD＝CG＋CD，得CF＝CG＋CD，则CF＝CE＋CD；
（3）先证GCE为等边三角形，再证CG＝CE＝EG， ∠GEC＝60°，ED＝EF，∠DEG＝∠FEC，得EGD≌ECF，则GD＝CF，即可得到CE +CF＝CD．
【详解】
（1）证明：CE+CF=CD，
理由如下：在CD上截取CH=CE，连接EH，如图1所示：
∵ABC是等边三角形，
∴∠ECH=60°，
∴CEH是等边三角形，
∴EH=EC=CH，∠CEH=60°，
∵DEF是等边三角形，
∴DE=FE，∠DEF=60°，
∴∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF=60°，
∴∠DEH=∠FEC，
在DEH和FEC中，，
∴DEH≌FEC（SAS），
∴DH=CF，
∴CD=CH+DH=CE+CF，
∴CE+CF=CD；
（2）解：CF＝CE＋CD
理由如下：
∵ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
作，交BC于点G，如图2所示
∴∠EGC＝∠B＝60°，∠GEC＝∠A＝60°，
∴∠EGC＝∠GEC＝∠ACB＝60°，
∴GCE为等边三角形，
∴CG＝CE＝EG，
∵EDF为等边三角形，
∴ED＝EF，∠DEF＝60°，
∴∠DEG＝∠FEC，
∴EGD≌ECF（SAS），
∴GD＝CF，
又GD＝CG＋CD
∴CF＝CE＋CD．
（3）∵ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
作，交BC于点G，如图所示
∴∠EGC＝∠ABC＝60°，∠GEC＝∠A＝60°，
∴∠EGC＝∠GEC＝∠ACB＝60°，
∴GCE为等边三角形，
∴CG＝CE＝EG， ∠GEC＝60°
∴∠GEC＝∠GEF +∠FEC ＝60°
∵EDF为等边三角形，
∴ED＝EF，∠DEF＝60°，
∴∠DEF＝∠GEF +∠DEG＝60°
∴∠DEG＝∠FEC，
∴EGD≌ECF（SAS），
∴GD＝CF，
又∵GD＝CD-CG，CG＝CE
∴CE +CF＝CD
等腰、等边三角形期末高频考点突破
题型一：等腰三角形的性质
1．（2021·内蒙古乌海·八年级期末）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·云南红河·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，若△ADE的周长等于10，则AB的长是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·云南红河·八年级期末）如图，在等腰Rt△ACD中，∠ACD=90°，AC=DC，且AD=2，以边AD、AC、CD为直径画半圆，其中所得两个月形图案AGCE和DHCF（图中阴影部分）的面积之和等于（ ）
A． B． C． D．
题型二：等腰三角形的判断
4．（2021·山东费县·八年级期末）如图，中，，，、分别平分、，过点作直线平行于，交、于、，则的周长为（ ）
A．9 B．11 C．15 D．18
5．（2021·四川古蔺·八年级期末）如图，任意中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①；②；③的周长等于；④．其中正确的有（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
6．（2021·河南安阳·八年级期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于G，交于H．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
题型三：等腰三角形的综合问题
7．（2021·浙江镇海·八年级期末）如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O
（1）求证：OB=OC；
（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．
8．（2021·河北围场·八年级期末）如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）求证：BF=2AE；
（2）若CD=，求AD的长．
9．（2021·全国·八年级期末）在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，F为对角线AC上一点，连接DE、BF，若∠ADE与∠CBF的平分线DG、BG交于AC上一点G，连接EG．
（1）如图1，点B、G、D在同一直线上，若∠CBF＝90°，CD＝3，EG＝2，求CE的长；
（2）如图2，若AG＝AB，∠DEG＝∠BCD，求证：AD＝BF+DE．
题型四：等边三角形的判断和性质
10．（2021·湖北郧西·八年级期末）如图所示，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
11．（2021·山东单县·八年级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D是斜边上任意一点，将点D绕点C逆时针旋转60°得到点E，则线段DE长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
12．（2021·山东济阳·八年级期末）如图，的对角线AC，BD交于点O，AE平分，交BC于点E，且，连接OE，下列结论①；②OD=AB；③；④；其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型五：等边三角形的综合问题
13．（2021·贵州西秀·八年级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF
（1）求证：AE=CF；
（2）若AB=6，∠COD=60°，求矩形ABCD的面积．
14．（2021·江西·南昌市二十八中教育集团青云学校八年级期末）如图，已知A(-1,0),B(1,0),C为y轴正半轴上一点，点D为第三象限一动点，CD交AB于F,且∠ADB=2∠BAC，
(1)求证：∠ADB与∠ACB互补；
(2)求证：CD平分∠ADB；
(3)若在D点运动的过程中，始终有DC=DA+DB,在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数.
15．（2021·湖南道县·八年级期末）给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；
（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．
①求证：△BCE是等边三角形；
②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
题型六：含30°的直角三角形
16．（2022·安徽·合肥市第四十五中学九年级期中）如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠ABC=90°，AB=BC， E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD，连接DE交对角线AC于H，连接BH，下列结论错误的是（ ）
A．HE=2BE B．AC⊥DE C．∠CED=60° D．S△ADE= 2S△BCE
17．（2021·浙江·杭州外国语学校九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的点，BE＝3，CD＝6，∠FED＝30°，∠FDE＝45°，则BC的长度为（ ）
A． B． C． D．
18．（2021·辽宁岫岩·九年级期中）如图，中，，，，点是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
等腰、等边三角形期末高频考点强化训练突破
一、单选题
19．（2021·四川宣汉·八年级期末）若一个等腰三角形的两边长分别为6和4，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．13 B．14或16 C．16 D．14
20．（2021·四川渠县·八年级期末）如图，在中，，，于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
21．（2021·辽宁大连·八年级期末）如图，是等边的边上的中线，F是线段上的动点，E是边中点，当取得最小值时，则的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
22．（2021·辽宁丹东·八年级期末）如图，在中，，交于点，，，则的长（ ）
A．8 B．10 C．11 D．12
23．（2021·吉林前郭尔罗斯·八年级期末）如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，下列结论：（1）AB＝AC；（2）∠BAE＝∠CAD；（3）BE＝DC；（4）AD＝DE．中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
24．（2021·辽宁丹东·八年级期末）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，点在上，点在上，连接，将沿折叠，点与点恰好重合时，则的度数（ ）
A．90° B．92° C．95° D．98°
25．（2021·陕西金台·八年级期末）如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且BD=CE，AD与B相交于点P．下列结论；AE＝CD；②AD＝BE：③∠PAE＝∠ABE：④∠APB＝120°，其中正确的结论共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
26．（2021·湖北武汉·八年级期末）如图，点在y轴上，点、在轴上，，，与关于轴对称，，点、分别是边、上的动点，则的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
27．（2021·湖北随县·八年级期末）如图，中，，是的中点，的垂直平分线分别交，，于点，，，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．对 B．对 C．对 D．对
28．（2021·辽宁·东北育才双语学校八年级期末）如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为4；③；④；⑤．其中正确的结论是（ ）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③
二、填空题
29．（2021·河南·永城市教育体育局教研室八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，点M， N分别是边AB， BC上的点（异于两端点），将△BMN沿着直线MN对折，得到△DMN，且DM， DN分别交AC于点E， F． 若△DEF是直角三角形，则∠BMN的度数为__________．
30．（2021·福建晋安·八年级期末）如图，点M在等边ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为_____．
31．（2021·辽宁建昌·八年级期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BFAC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF，给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，⑤AC＝BC．其中正确的结论有________________（填序号）．
32．（2021·陕西商州·八年级期末）如图，在中，，，于点，的平分线分别交，于点，，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：①为等腰三角形；②；③；④．其中正确的结论有______．（填序号）
三、解答题
33．（2021·广东禅城·八年级期末）如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．
（1）求证：△PMN是等边三角形；
（2）若BP＝2cm，求等边△ABC的边长．
34．（2021·广东三水·八年级期末）如图，等腰△ABE与等腰△ACF中，AB＝AE，AC＝AF且∠B＝∠ACF．连接BC、FE，点E恰好落在线段BC上，EF交AC于点G．
（1）求证：BC＝EF；
（2）若∠B＝70°，∠ACB＝25°，求∠CGF的度数．
35．（2021·辽宁昌图·八年级期末）如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．
（1）当为何值时，为等边三角形？
（2）当为何值时，为直角三角形？
36．（2021·吉林前郭尔罗斯·八年级期末）在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，D是线段BC上一动点（不与B、C两点重合），且∠ADE＝40°．
（1）若∠BDA＝115°，则∠CDE＝ ，∠AED＝ ；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？试说明理由；
（3）在D点运动过程中，能使△ADE是等腰三角形吗？若能，请求出使△ADE是等腰三角形时的∠ADB的度数；若不能，请说明理由．
37．（2021·广东河源·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm．动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）．
（1）当0＜t＜10.5时，是否存在点P，使四边形PQDC是平行四边形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由；
（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm2？
（3）当0＜t＜10.5时，是否存在点P，使△PQD是等腰三角形（不考虑QD＝PD）？若存在，请直接写出t的值．
38．（2021·辽宁建昌·八年级期末）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
（1）如图1，若点D在边BC上，直接写出CE，CF与CD之间的数量关系；
（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由；
（3）如图3，若点D在边CB的延长线上，请直接写出CE，CF与CD之间的数量关系．
参考答案
1．B
【分析】
根据菱形的性质及直角三角形斜边中线的性质推出OH=OD=OB，求出∠ODH的度数即可得到答案．
【详解】
解：四边形是菱形，
，，
，
，.
为的斜边上的中线．
.
.
四边形是菱形，
.
.
，
∴.
故选：B．
【点睛】
此题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形等边对等角求角度，熟记各性质是解题的关键．
2．C
【分析】
由角平分线的性质可得CD=ED，即可得AC=BC=BE结合三角形的周长即可得△ADE的周长=AC+AE=AB，进而可求解．
【详解】
解：∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=ED，
∴BC=BE，
∵AC=BC，
∴AC=BE，
∵△ADE的周长等于10，
∴△ADE的周长为AD+ED+AE=AC+AE=BE+AE=AB=10．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，等腰直角三角形，求得“△ADE的周长=AB”是解题的关键．
3．D
【分析】
由等腰三角形的性质及勾股定理可求解AC=CD=2，进而可求得S△ACD=2，再利用阴影部分的面积=以AC为直径的圆的面积+△ACD的面积-以AD为直径的半圆的面积计算可求解．
【详解】
解：在等腰Rt△ACD中，∠ACD=90°，AC=DC，AD=2，
∴AC2+DC2=AD2=8，
∴AC=CD=2，
∴S△ACD=AC•DC=2，
∴
=π+2-π
=2，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形，勾股定理，理清阴影部分的面积=以AC为直径的圆的面积+△ACD的面积-以AD为直径的半圆的面积是解题的关键．
4．C
【分析】
根据平行线的性质得到∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，根据角平分线的性质得到∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，等量代换得到∠EDB=∠EBD，∠FDC=∠FCD，于是得到ED=EB，FD=FC，即可得到结果．
【详解】
解：，
，，
中，和的平分线相交于点，
，，
，，
，，
，，
的周长为：
．
故选：C．
【点睛】
考查了等腰三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定与性质是等腰三角形是解此题的关键．
5．C
【分析】
①利用角平分线的定义及三角形内角和定理即可判断；
②根据平行线的性质和角平分线的定义得出，从而通过等量代换即可判断；
③根据等量代换即可判断；
④根据的大小关系即可判断．
【详解】
∵与的平分线交于点，
，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，
，
，故②正确；
的周长等于，故③正确；
∵无法判断的大小关系，
∴BF，CF的大小也无法判断，故④错误；
∴正确的有3个，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定，角平分线的定义及三角形内角和定理，掌握数形结合与转化的思想是关键．
6．B
【分析】
根据中线的性质即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠BAD＝∠ACB，再用角平分线的定义推出②；根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠DAC，再用外角的性质可判断③；根据等腰三角形的判定判断④．
【详解】
解：∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；
∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠ACF，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠BAG＝2∠ACF，故②正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，故③正确；
根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
7．（1）证明见解析；（2）∠BOC=100°
【详解】
试题分析：（1）首先根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，然后利用高线的定义得到∠ECB=∠DBC，从而得证；
（2）首先求出∠A的度数，进而求出∠BOC的度数．
试题解析：（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD、CE是△ABC的两条高线，∴∠DBC=∠ECB，∴OB=OC；
（2）∵∠ABC=50°，AB=AC，∴∠A=180°﹣2×50°=80°，∴∠BOC=180°﹣80°=100°．
考点：等腰三角形的性质．
8．（1）见解析 （2）2+
【详解】
试题分析：（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，再根据同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角边角”证明△ADC和△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AF，从而得证．
（2）根据全等三角形对应边相等可得DF=CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF，然后根据AD=AF+DF代入数据即可得解．
解：（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，∴△ABD是等腰直角三角形．∴AD=BD．
∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°．∴∠CAD=∠CBE．
在△ADC和△BDF中，∠CAD=∠CBF，AD=BD，∠ADC=∠BDF=90°，
∴△ADC≌△BDF（ASA）．∴BF=AC．
∵AB=BC，BE⊥AC，∴AC=2AE．∴BF=2AE．
（2）∵△ADC≌△BDF，∴DF=CD=．
在Rt△CDF中，．
∵BE⊥AC，AE=EC，∴AF=CF=2．
∴AD=AF+DF=2+．
9．（1）；（2）见详解．
【分析】
（1）由题意，先证明△BDE是等腰直角三角形，然后利用等腰三角形的性质和勾股定理，即可求出答案；
（2）在AD上取一点M，使得DM=DE，连接MG，然后根据全等三角形的判定和性质，得到AM=BF，即可得到答案．
【详解】
解：（1）如图，点B、G、D在同一直线上，
∵DG、BG分别是∠ADE与∠CBF的角平分线，且∠CBF＝90°，
∴∠CBD=45°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD=45°，
∴∠BDE=∠ADB=45°，
∴∠BED=，
∴三角形BDE是等腰直角三角形，，
在平行四边形ABCD中，则BD=DG，
∴线段EG是等腰直角三角形BDE的中线，
∴EG⊥BD，
∵，
∴，
在直角三角形CDE中，由勾股定理得
；
（2）如图，在AD上取一点M，使得DM=DE，连接MG，
在△DMG和△DEG中，有
，
∴△DMG≌△DEG，
∴∠DMG=∠DEG=∠BCD，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠DMG=∠BAD，
∴MG∥AB，
∴∠BAF=∠AGM，
∵AG＝AB，
∴∠AGB=∠ABG，
∵∠ABG=∠ABF+∠FBG，∠AGB=∠GBC+∠BCG，
又∵∠FBG=∠GBC，
∴∠ABF=∠BCG，
∵AD∥BC，
∴∠BCG=∠MAG=∠ABF，
在△AMG和△BFA中，有
∴，
∴△AMG≌△BFA，
∴AM=BF，
∴AD=AM+MD=BF+DE．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，解题的关键是正确的作出辅助线，构造全等三角形进行证明．
10．D
【详解】
因为△ABC是等边三角形，所以∠ABD=∠BCE=60°，AB=BC.
因为BD＝CE，所以△ABD≌△BCE，所以∠1=∠CBE.
因为∠CBE+∠ABE=60°，所以∠1+∠ABE=60°.
因为∠2=∠1+∠ABE，所以∠2=60°.
故选D.
11．A
【分析】
由旋转的性质可证△CDE为等边三角形，当DE最短，CD最短，CD⊥AB时，CD最短，由直角三角形等面积法，即可求得．
【详解】
解：由旋转的性质得，CD＝CE，∠DCE＝60°，
∴△CDE为等边三角形，
∴CD＝CE＝DE，
当DE最短，CD最短，
当CD⊥AB时，CD最短，
此时S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，
即AC•BC＝AB•CD，
在Rt△ABC中，∠ACD＝90°，AB＝5，BC＝3，
由勾股定理得，AC＝4，
∴3×4＝5CD，
∴CD＝，
∴线段DE长度的最小值是，
∴故选：A．
【点睛】
本题主要考查了旋转以及等边三角形，熟练等面积法是解决本题的关键．
12．C
【分析】
结合平行四边形的性质可证明△ABE为等边三角形，由可判定①，证明∠BAC=90°，可判定②；由平行四边形的面积公式可判定③；利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判定④．
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC=60°，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，∠CAD=∠EAC，OB=OD，
∴∠DAE=∠AEB，∠BAC=∠BCD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE=∠AEB=60°，AB=BE=AE，
∵
∴EC=AE，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠CAD=30°，故①正确；
∵∠BAD=120°，∠CAD=30°，
∴∠BAC=90°，
∴BO＞AB，
∴OD＞AB，故②错误；
∴S▱ABCD=AB•AC=AC•CD，故③正确；
∵∠BAC=90°，BC=2AB，
∴E是BC的中点，
∴S△BEO：S△BCD=1：4，
∴S四边形OECD：S△BCD=3：4，
∴S四边形OECD：S▱ABCD=3：8，
∵S△AOD：S▱ABCD=1：4，
∴故④正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，等边三角形的性质和判定，灵活运用三角形的面积解决问题是解题的关键．
13．
【分析】
（1）由矩形的性质得出OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，证出OE=OF，由SAS证明△AOE≌△COF，即可得出AE=CF；
（2）证出△AOB是等边三角形，得出OA=AB=6，AC=2OA=12，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的长，即可得出矩形ABCD的面积．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，
∵BE=DF，∴OE=OF，
在△AOE和△COF中，∵OA=OC，∠AOE=∠COF，OE=OF，
∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE=CF；
（2）解：∵OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOB=∠COD=60°，
∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=6，
∴AC=2OA=12，
在Rt△ABC中，BC==6，
∴矩形ABCD的面积=AB•BC=6×6=36．
14．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)∠BAC=60°.
【分析】
(1)先判断△ABC是等腰三角形，然后在△ABC中利用三角形内角和定理以及∠ADB=2∠BAC即可得到结论；
(2)过点C作AM⊥DA于点M，作CN⊥BD于点N，运用“AAS”证明△CAM≌△CBN得CM=CN，根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；
(3)延长DB至点P，使BP=AD，连接CP，则可得CD=DP，证明△CAD≌△CBP，从而可得 △CDP是等边三角形，从而求∠BAC的度数．
【详解】
(1)∵A(-1,0),B(1,0)，
∴OA=OB=1，
∵CO⊥AB，
∴CA=CB，
∴∠ABC=∠BAC，
∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，∠ADB=2∠BAC，
∴∠ADB+∠ACB=180°，
即∠ADB与∠ACB互补；
(2)过点C作AM⊥DA于点M，作CN⊥BD于点N，则∠AMC=∠ANB=90°，
∵∠ADB+∠AMC+∠DNC+∠MCN=360°，
∴∠ADB+∠MCN=180°，
又∵∠ADB+∠ACB=180°，
∴∠MCN=∠ACB，
∴∠MCN-∠CAN=∠ACB-∠CAN，
即∠ACM=∠BCN，
又∵AB=AC，
∴△ACM≌△ABN (AAS)，
∴AM=AN．
∴CD平分∠ADB(到角的两边距离相等的点在角的平分线上)；
(3)∠BAC的度数不变化，
延长DB至点P，使BP=AD，连接CP，
∵CD=AD+BD，
∴CD=DP，
∵∠ADB+∠DBC+∠ACB+∠CAD=360°，∠ADB+∠ACB=180°，
∴∠CAD+∠CBD=180°，
∵∠CBD+∠CBP=180°，
∴∠CAD=∠CBP，
又∵CA=CB，
∴△CAD≌△CBP，
∴CD=CP，
∴CD=DP=CP，即△CDP是等边三角形，
∴∠CDP=60°，
∴∠ADB=2∠CDP=120°，
又∵∠ADB=2∠BAC，
∴∠BAC=60°.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，四边形内角和定理，三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
15．(1)正方形、矩形、直角梯形均可；(2)①证明见解析②证明见解析
【分析】
（1）根据定义和特殊四边形的性质，则有矩形或正方形或直角梯形；
（2）①首先证明△ABC≌△DBE，得出AC=DE，BC=BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；
②利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解．
【详解】
解：（1）正方形、矩形、直角梯形均可；
（2）①∵△ABC≌△DBE，
∴BC=BE，
∵∠CBE=60°，
∴△BCE是等边三角形；
②∵△ABC≌△DBE，
∴BE=BC，AC=ED；
∴△BCE为等边三角形，
∴BC=CE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△DCE中，
DC2+CE2=DE2，
∴DC2+BC2=AC2．
考点：四边形综合题．
16．A
【分析】
根据平行线的性质结合题意易证是等腰直角三角形，即利用“三线合一”的性质可证明出，可判断B选项；由，可求出，即可求出，可判断C选项；在中，由含角的直角三角形的性质可确定．再由在中，，推出，即确定，可判断A选项；设，，即可求出，，．在和中，利用“SAS”可证明，，即推出，从而证明为等边三角形，得出．在中，利用勾股定理即得出，确定出x，y的关系．最后根据三角形面积公式计算出和结合求出的x，y的关系即可得到，可判断D选项．
【详解】
∵，，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵AE=AD，
∴．故B正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．故C正确，不符合题意；
∵在中，，
∴．
∵在中，，
∴，
∴．故A错误，符合题意；
设，，
根据题意可知，，
∴在中．
在和中，，
∴，
∴．
∵，
∴为等边三角形，
∴．
∴在中，即，
整理得：．
∵，，
∴．故D正确，不符合题意．
故选A．
【点睛】
本题考查平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，综合性强，较难．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
17．A
【分析】
作，延长、交于点，设，根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】
解：作，延长、交于点，如下图，
则，∴为等腰直角三角形
由题意可得：，，
设，则，
∴
∴
∵，
∴
又∵
∴
∴，
∴
又∵
∴
∴，即
解得
∴
故选：A
【点睛】
此题考查了矩形的性质，涉及了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用相关性质作出辅助线构造出全等三角形．
18．A
【分析】
如图，取AB的中点T，连接PT，过点T作TH⊥AC于H．证明△TBP≌△CBQ（SAS），推出CQ=PT，根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PT的值最小，最小值=TH=AT=5．
【详解】
解：如图，取AB的中点T，连接PT，过点T作TH⊥AC于H．
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC，∠ABC=60°，
∵AT=TB，
∴BC=BT，
∵BP=BQ，∠CBT=∠PBQ，
∴∠CBT-∠PBC=∠PBQ-∠PBC，即∠TBP=∠CBQ，
∴△TBP≌△CBQ（SAS），
∴CQ=PT，
根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PT的值最小，最小值=TH=AT=AB=5，
∴CQ的最小值为5．
故选A
【点睛】
本题考查旋转变换，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
19．B
【分析】
根据等腰三角形的性质可得另外一边为6或4，验证是否满足三角形三边条件，即可求解．
【详解】
解：等腰三角形的两边长分别为6和4
则另外一边为6或4
当另外一边为6时，三边分别为6，6，4，符合三角形三边条件，此时周长为16
当另外一边为4时，三边分别为6，4，4，符合三角形三边条件，此时周长为14
故选B
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，由三角形三边关系确定三角形的三条边长为解题的关键．
20．B
【分析】
由∠C=90°，∠ABC=60°，可得∠A=30°，然后根据含30度角的直角三角形的性质可得AD=2DE=5.4cm，由此求解即可．
【详解】
解：∵∠C=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
∴AD=2DE=5.4cm，
∴AC=AD+CD=8.1cm，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握含30度角的直角三角形的性质．
21．C
【分析】
连接BE交AD于F，连接CF，由已知得出，，，此时EF+CF取得最小值，即为BE的长，再根据是等边的边上的中线，进而求解．
【详解】
连接BE交AD于F，连接CF，
是等边三角形，E是AC的中点，是BC边上的中线，
，，，此时EF+CF取得最小值，即为BE的长，
，
是等边的BC边上的中线，
，
,
故选：C．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，解题关键是准确找到点E和F的位置．
22．D
【分析】
依据等腰三角形的内角和，即可得到∠C＝∠B＝30°，依据AD⊥AB交BC于点D，即可得到BD＝2AD＝8，∠CAD＝30°＝∠B，CD＝AD＝4，进而得出BC的长．
【详解】
解：∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠C＝∠B＝30°，
∵AD⊥AB交BC于点D，
∴BD＝2AD＝8，∠CAD＝30°＝∠B，
∴CD＝AD＝4，
∴BC＝BD＋CD＝8＋4＝12．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，解题时注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
23．C
【分析】
先证AB＝AC，再证△ABE≌△ACD（AAS）得AD＝AE，BE＝CD，∠BAE＝∠CAD，即可得出结论．
【详解】
解：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，故（1）正确；
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AD＝AE，BE＝CD，∠BAE＝∠CAD，故（2）（3）正确，（4）错误，
正确的个数有3个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是本题的关键．
24．B
【分析】
连接OB、OC．由角平分线和垂直平分线的性质可求出，再由等腰三角形的性质可求出，由，即可求出的大小．在和中，利用“SAS”易证，即得出OB=OC，从而可求出．再由题意折叠可知OE=CE，即得出，最后由，即可求出的大小．
【详解】
如图，连接OB、OC．
∵，的平分线与的垂直平分线交于点，
∴．
∵AB=AC，
∴，
∴．
在和中， ，
∴，
∴OB=OC，
∴．
由题意将沿折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查角平分线、线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质．作出辅助线构造等腰三角形是解答本题的关键．综合性强，较难．
25．D
【分析】
先根据SAS定理得出△ABD≌△BCE，结合全等三角形的性质及三角形外角的性质进行判断．
【详解】
解：①因为AC=BC，BD=CE，所以AE=CD．故①正确，
②∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABD=∠C=60°，AB=BC．
在△ABD与△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS）；
∴AD=BE．
故②正确；
③由②知△ABD≌△BCE，所以∠DAB=∠CBE，则∠PAE=∠ABE，故③正确；
④∵由②知△ABD≌△BCE．
∴∠BAD=∠EBC，
∴∠BAD+∠ABP=∠ABD=60°．
∵∠APE是△ABP的外角，
∴∠APE=∠BAD+∠ABP=60°，
∴∠APB=120°，
故④正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，证明△ABD≌△BCE是解答此题的关键．
26．C
【分析】
分别作出点、关于、的对称点、，连接分别交、于、，得出为最小，再依据等边三角形性质和判定，轴对称的性质分别求出和，即可求得．
【详解】
解：分别作出点、关于、的对称点、，
连接分别交、于、，如图所示，
则
此时为最小．
由题知为正三角形，、，
连，过作轴于，
由对称性可得：
，，
，，
∴，同理可得，
∴．
故选C．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，坐标与图形变化，能借助轴对称的性质正确变形将折线的长化成一条线段的长是解题关键．
27．C
【分析】
根据，是的中点，可得 ， ， ，从而，，，再根据 垂直平分线，可得，即可求解．
【详解】
解：∵，是的中点，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴，
∴ ，
∴ ，
∵， ，
∴ ，
∵ 垂直平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴图中全等三角形的对数是4对．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．
28．A
【分析】
证明△≌△BOC，又∠OB＝60°，所以△BA可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；由△OB是等边三角形，可知结论②正确；在△AO中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AO是直角三角形；进而求得∠AOB＝150°，故结论③正确；故结论④错误；将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将S△AOC+S△AOB转化为，计算可得结论⑤正确．
【详解】
解：如图，
由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，
∴∠1＝∠3，
又∵OB＝B，AB＝BC，
∴△BA≌△BOC，
又∵∠OB＝60°，
∴△BA可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，
故结论①正确；
如图，连接O，
∵OB＝B，且∠OB＝60°，
∴△OB是等边三角形，
∴O＝OB＝4．
故结论②正确；
∵△BA≌△BOC，
∴A＝5．
在△AO中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AO是直角三角形，∠AO＝90°，
∴∠AOB＝∠AO+∠BO＝90°+60°＝150°，
故结论③正确；
，故结论④错误；
如图，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至，
易知△AO是边长为3的等边三角形，△CO是边长为3、4、5的直角三角形，则，故结论⑤正确．
综上所述，正确的结论为：①②③⑤，
故选：A．
【点睛】
本题考查了旋转变换中等边三角形、直角三角形的性质，利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点，在判定结论⑤时，将△AOB向不同方向旋转，体现了结论①至结论④解题思路的拓展应用．
29．45°或75°或45°
【分析】
根据△DEF是直角三角形，分两种情况进行讨论：①当；②当；分别求解即可．
【详解】
解：若△DEF是直角三角形，
∵△ABC是等边三角形，△BMN沿着直线MN对折，得到△DMN，
∴，，
当时，则，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，则，
∴，
∴，
∴；
综上：∠BMN的度数为45°或75°，
故答案为：45°或75°．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠后的对应边相等和对应角相等是解本题的关键，注意分类讨论．
30．13
【分析】
根据等边三角形的性质得到AC=BC，∠B=60°，作点M关于直线CD的对称点G，过G作GN⊥AB于N，交CD于P，则此时，MP+PN的值最小，根据直角三角形的性质得到BG=2BN=18，求得MG=10，于是得到结论．
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠B=60°，
作点M关于直线CD的对称点G，过G作GN⊥AB于N，交CD于P，
则此时，MP+PN的值最小，
∵∠B=60°，∠BNG=90°，
∴∠G=30°，
∵BN=9，
∴BG=2BN=18，
∴MG=BG-BM=18-8=10，
∴CM=CG=5，
∴AC=BC=13，
故答案为：13．
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
31．① ② ③④
【分析】
由角平分线的性质和平行线的性质可证∠ACB＝∠ABC，可得AC＝AB，由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，CD＝BD，由“ASA”可证△CDE≌△BDF，可得S△CDE＝S△BDF，CE＝BF，DE＝DF，即可求解．
【详解】
解：∵BC恰好平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠CBF，
∵BFAC，
∴∠ACB＝∠CBF，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴AC＝AB，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，CD＝BD，故②，③正确
∵CD＝BD，且∠ACB＝∠CBF，∠CDE＝∠BDF，
∴△CDE≌△BDF（ASA）
∴S△CDE＝S△BDF，CE＝BF，DE＝DF，故①正确，
∵AE＝2BF，
∴AC＝3BF，故④正确，
AC与BC的长度不相等，，故⑤错误；
故答案为：① ② ③④．
【点睛】
本题考查了全等三角形判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，证明△CDE≌△BDF是本题的关键．
32．①②③④
【分析】
由∠FAE＝45°可判断①，证明△BDF≌△ADN可判断②和③，证明△ABE≌△NBE可判断④，从而可得答案．
【详解】
解：∵∠BAC＝90°，∠C＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AD⊥BC，
∴∠FAE＝45°，
∵△ABC是等腰直角三角形，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝22.5°，
∴∠BFD＝67.5°＝∠AFE＝∠AEB，
∴AF＝AE，
∴△AFE为等腰三角形，故①正确；
∵M为EF的中点，
∴∠DAN＝∠CAN＝∠DAC＝22.5°，
∴∠DAN＝∠DBF＝22.5°，
∵在△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，
∴AD＝BD，∠BDF＝∠AND=90°，
在△BDF和△ADN中，
∵，
∴△BDF≌△ADN（ASA），
∴DF＝DN，AN＝BF，故②、③正确；
∵∠AND＝∠BFD＝67.5°，
又∵∠BAN＝∠BAD＋∠DAN＝67.5°，
∴∠AND＝∠BAN，
∴AB＝BN，
又∵∠ABE＝∠NBE，BE＝BE，
在△ABE和△NBE中，
，
∴△ABE≌△NBE（SAS），
∴∠BNE＝∠BAE＝90°，
∴EN⊥NC，故④正确，
故答案是：①②③④．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练应用全等三角形的判定定理，证明三角形全等．
33．（1）见解析；（2）等边△ABC的边长为6cm
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得出∠A＝∠B＝∠C，进而得出∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，再根据平角的意义即可得出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，即可证得△PMN是等边三角形；
（2）先根据直角三角形30度的性质可得BM＝4，证明△MPB≌△NMC（AAS），可得CM＝PB＝2，从而得结论．
【详解】
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，
∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，
∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，
∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，
∴△PMN是等边三角形；
（2）解：∵△PMN是等边三角形
∴PM=MN
在Rt△BPM中，∵∠B＝60°，
∴∠PMB＝30°，
∴BM＝2PB＝4，
在△MPB和△NMC中，
，
∴△MPB≌△NMC（AAS），
∴CM＝PB＝2，
∴BC＝BM+CM＝4+2＝6（cm），
∴等边△ABC的边长为6cm．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定和性质等知识；证出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP是本题的关键．
34．（1）见详解；（2）65°
【分析】
（1）由等腰三角形的性质求出∠BAE＝∠CAF，即可得到∠BAC＝∠EAF，根据SAS判定△ABC≌△AEF，即可得解；
（2）由（1）得到∠B＝∠AEF，即可得出∠B＝∠AEB＝∠AEF＝70°，由平角的定义得出∠GEC＝180°−∠AEB−∠AEF＝40°，再根据三角形的外角性质即可得解．
【详解】
（1）证明：∵AB＝AE，AC＝AF，
∴∠B＝∠AEB，∠ACF＝∠AFC，
∴∠BAE＝180°−2∠B，∠CAF＝180°−2∠ACF，
∵∠B＝∠ACF，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴∠BAE＋∠EAC＝∠EAC＋∠CAF，即∠BAC＝∠EAF，
在△ABC和△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴BC＝EF；
（2）由（1）得，△ABC≌△AEF，
∴∠B＝∠AEF，
∵∠B＝70°，
∴∠B＝∠AEB＝∠AEF＝70°，
∴∠GEC＝180°−∠AEB−∠AEF＝180°−70°−70°＝40°，
∵∠ACB＝25°，
∴∠CGF＝∠GEC＋∠ACB＝65°．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握定腰三角形的性质定理证出△ABC≌△AEF是解题的关键．
35．（1）当时，为等边三角形；（2）当或时，为直角三角形
【分析】
用含的代数式表示出、．
（1）由于，当时，可得到关于的一次方程，求解即得结论；
（2）分两种情况进行讨论：当时，当时．利用直角三角形中，含角的边间关系，得到关于的一次方程，求解得结论．
【详解】
解：在中，
，，
．
，
，，
（1）当时，为等边三角形．
即．
．
当时，为等边三角形；
（2）若为直角三角形，
①当时，，
即，
．
②当时，，
即，
．
即当或时，为直角三角形．
【点睛】
本题考查了含角的直角三角形、等边三角形以及分类讨论的思想方法，解题的关键是利用“直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半”及“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”，得到关于的一次方程．
36．（1）25°，65°；（2）2，理由见解析；（3）能，110°或80°
【分析】
（1）利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质解答即可；
（2）先求出∠ADB＝∠DEC，再由∠B＝∠C，AB＝DC＝2，即可得出△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）分两种情况讨论即可．
【详解】
解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝∠40°，
∵∠BDA＝115°，
∴∠ADC＝180°﹣115°＝65°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝65°﹣40°＝25°，
∴∠AED＝∠CDE+∠C＝25°+40°＝65°，
故答案为：25°，65°；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由如下：
∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）△ADE能成为等腰三角形，理由如下：
∵∠ADE＝∠C＝40°，∠AED＞∠C，
∴△ADE为等腰三角形时，只能是AD＝DE或AE＝DE，
当AD＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠EDC＝∠AED﹣∠C＝70°﹣40°＝30°，
∴∠ADB＝180°﹣40°﹣30°＝110°；
当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠AED＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠EDC＝∠AED﹣∠C＝100°﹣40°＝60°，
∴∠ADB＝180°﹣40°﹣60°＝80°；
综上所述，当∠ADB的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点，此题涉及到的知识点较多，综合性较强．
37．（1）存在，当秒时，四边形是平行四边形，理由见解析；（2）或15秒，理由见解析；（3）当秒或秒时，是等腰三角形，理由见解析
【分析】
（1）由题意已知，，要使四边形是平行四边形，则只需要让即可，列出等式可求解．
（2）要使以、、、为顶点的梯形面积等于，可以分为两种情况，点、分别沿、运动或点返回时，再利用梯形面积公式，即，因为、点的速度已知，、、的长度已知，用可分别表示、的长，即可求得时间；
（3）使是等腰三角形，可分三种情况，即、，可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间．
【详解】
解：（1）四边形是平行四边形，
，
当从运动到时，
，
解得
当秒时，四边形是平行四边形；
（2）若点、分别沿、运动时，
，
即，
解得（秒
若点返回时，，
则
解得（秒．
故当或15秒时，以，，，为顶点的梯形面积等；
（3）当时
作于，则，
，
秒；
当时，，，
解得（秒，
综上可知，当秒或秒时，是等腰三角形．
【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了直角梯形的性质，平行四边形的性质，梯形的面积，等腰三角形的性质，解题的关键是注意要全面考虑各种情况，不要遗漏．
38．（1）CE＋CF＝CD；（2）CF＝CE＋CD，理由见解析；（3）CD＝CE＋CF
【分析】
（1）在CD上截取CH=CE，易证CEH是等边三角形，得EH=EC=CH，证明DEH≌FEC，得DH=CF，即可得出结论；
（2）先证GCE为等边三角形，再证EGD≌ECF，得到GD＝CF，又因为GD＝CG＋CD，得CF＝CG＋CD，则CF＝CE＋CD；
（3）先证GCE为等边三角形，再证CG＝CE＝EG， ∠GEC＝60°，ED＝EF，∠DEG＝∠FEC，得EGD≌ECF，则GD＝CF，即可得到CE +CF＝CD．
【详解】
（1）证明：CE+CF=CD，
理由如下：在CD上截取CH=CE，连接EH，如图1所示：
∵ABC是等边三角形，
∴∠ECH=60°，
∴CEH是等边三角形，
∴EH=EC=CH，∠CEH=60°，
∵DEF是等边三角形，
∴DE=FE，∠DEF=60°，
∴∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF=60°，
∴∠DEH=∠FEC，
在DEH和FEC中，，
∴DEH≌FEC（SAS），
∴DH=CF，
∴CD=CH+DH=CE+CF，
∴CE+CF=CD；
（2）解：CF＝CE＋CD
理由如下：
∵ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
作，交BC于点G，如图2所示
∴∠EGC＝∠B＝60°，∠GEC＝∠A＝60°，
∴∠EGC＝∠GEC＝∠ACB＝60°，
∴GCE为等边三角形，
∴CG＝CE＝EG，
∵EDF为等边三角形，
∴ED＝EF，∠DEF＝60°，
∴∠DEG＝∠FEC，
∴EGD≌ECF（SAS），
∴GD＝CF，
又GD＝CG＋CD
∴CF＝CE＋CD．
（3）∵ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
作，交BC于点G，如图所示
∴∠EGC＝∠ABC＝60°，∠GEC＝∠A＝60°，
∴∠EGC＝∠GEC＝∠ACB＝60°，
∴GCE为等边三角形，
∴CG＝CE＝EG， ∠GEC＝60°
∴∠GEC＝∠GEF +∠FEC ＝60°
∵EDF为等边三角形，
∴ED＝EF，∠DEF＝60°，
∴∠DEF＝∠GEF +∠DEG＝60°
∴∠DEG＝∠FEC，
∴EGD≌ECF（SAS），
∴GD＝CF，
又∵GD＝CD-CG，CG＝CE
∴CE +CF＝CD
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