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2021-2022学年人教版八年级数学上学期期末复习--分式《考点•题型•难点》专项突破（含解析）
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这是一份2021-2022学年人教版八年级数学上学期期末复习--分式《考点•题型•难点》专项突破（含解析），共23页。
分式期末高频考点突破
题型一：分式的定义和有意义的条件
1．（2021·山东平阴·八年级期末）在，，，，，中，分式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2021·黑龙江林口·八年级期末）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x≥2 C．x＜2 且x≠0 D．x≤2且x≠0
3．（2021·河南汝州·八年级期末）对于分式，下列说法正确的是（ ）
A．当x＝﹣2时分式有意义 B．当x＝±2时分式的值为零
C．当x＝0时分式无意义 D．当x＝2时分式的值为零
题型二：分式的值
4．（2021·山东·济宁学院附属中学八年级期末）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·江苏新吴·八年级期末）已知：，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．5
6．（2021·山东蓬莱·八年级期末）若，则的值是（ ）
A． B． C．3 D．
题型三：分式的基本性质
7．（2021·湖北武汉·八年级期末）下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·河南淅川·八年级期末）将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大6倍 B．扩大9倍 C．不变 D．扩大3倍
9．（2021·江苏海安·八年级期末）下列代数式变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型四：分式的运算
10．（2021·山东高唐·八年级期末）如图，若为正整数，则表示的值的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
11．（2021·内蒙古霍林郭勒·八年级期末）已知=3，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·河南·永城市教育体育局教研室八年级期末）化简的结果为（ ）
A． B．a﹣1 C．a D．1
题型五：分式方程
13．（2020·四川青神·八年级期末）关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣8 C．﹣2 D．5
14．（2021·浙江吴兴·七年级期末）解分式方程时，去分母变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2018·四川成都·八年级期末）关于的分式方程的解为正实数，则实数的取值范围是
A．且 B．且 C．且 D．且
题型六：分式方程的应用
16．（2018·山东莱州·八年级期末）体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是米/秒，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2020·山西阳泉·八年级期末）甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（ ）
A．= B．=
C．= D．=
18．（2018·江苏无锡·八年级期末）小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得
A． B．
C． D．
分式期末高频考点强化训练突破
一、单选题
19．（2021·海南海口·八年级期末）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
20．（2021·江苏江阴·八年级期末）下列分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
21．（2021·湖北郧西·八年级期末）已知关于x的分式方程+=1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠3
22．（2021·辽宁昌图·七年级期末）成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
23．（2021·河南省淮滨县第一中学八年级期末）如图，设k＝（a＞b＞0），则有（ ）
A．k＞2 B．1＜k＜2 C． D．
24．（2021·河北元氏·八年级期末）解分式方程时，去分母后变形为
A． B．
C． D．
25．（2021·安徽颍州·八年级期末）为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用万元购买甲型机器人和用万元购买乙型机器人的台数相同，两型号机器人的单价和为万元．若设甲型机器人每台万元，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
26．（2021·湖南华容·八年级期末）若关于x的一元一次不等式结的解集为；且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．7 B．－14 C．28 D．－56
27．（2021·山东台儿庄·八年级期末）关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（ ）
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3
28．（2021·河南省淮滨县第一中学八年级期末）已知实数x，y，z满足++＝，且＝11，则x+y+z的值为（ ）
A．12 B．14 C． D．9
二、填空题
29．（2021·全国·八年级期末）如果，那么______．
30．（2021·四川邛崃·八年级期末）分式的最简公分母是________．
31．（2021·四川成都·八年级期末）甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买800kg，乙每次用去600元，而不管购买多少面粉．设两次购买的面粉单价分别为元/kg和元/kg（，是正数，且），那么甲所购面粉的平均单价是______元，在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为______．（结果用含，的代数式表示，需化为最简形式）
32．（2021·全国·八年级期末）已知是满足不等式组的整数解，求代数式：的值______．
33．（2021·安徽东至·七年级期末）已知关于的方程的解为正数，则的取值范围为_______．
34．（2021·湖南岳阳·八年级期末）若关于的分式方程有增根，则___________．
35．（2021·山东·济宁学院附属中学九年级期末）已知m﹣n＝2，则分式÷（2n+）＝_________________．
36．（2021·安徽淮北·七年级期末）若，则______．
三、解答题
37．（2021·湖南宁乡·八年级期末）先化简，再求值：，请从0，1，2，3四个数中选取一个你喜欢的数代入求值．
38．（2021·江苏新吴·八年级期末）（1）计算：；
（2）解方程：
39．（2021·四川宣汉·八年级期末）按照学校均衡发展的配备标准，某校计划采购、两种型号电脑．已知每台种型号电脑价格比每台种型号电脑价格多840元，且用25200元买种型号电脑的台数与用21000元买种型号电脑的台数一样多．
（1）求、两种型号电脑每台价格各为多少元？
（2）学校预计用不多于9万元的资金购进这两种电脑共20台，则最多可购买种型号电脑多少台？
40．（2021·山东济阳·八年级期末）（1）化简：
（2）先化简，再求值：，其中．
41．（2021·浙江慈溪·七年级期末）（学习材料）——拆项添项法
在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法，如：
例1 分解因式：
（解析）解：原式=
例2 分解因式：
（解析）解：原式=
（知识应用）请根据以上材料中的方法，解决下列问题：
（1）分解因式：______．
（2）运用拆项添项法分解因式：．
（3）化简：．
参考答案
1．B
【分析】
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】
解：在，，，，，中，
分式有，，，
所以分式的个数是3个．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以像不是分式，是整式．
2．D
【分析】
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式组求解．
【详解】
解：根据题意得：，
解得：且．
故选：D
【点睛】
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0，二次根式有意义，被开方数是非负数．
3．D
【分析】
根据分式有意义和无意义的条件，以及分式值等于0的条件进行逐一判断即可．
【详解】
解：∵要想分式 有意义，
∴即，故A不符合题意；
∵要想分式 无意义，
∴即，故C不符合题意；
∵要想分式 的值为0，
∴即，故B不符合题意，D符合题意；
故选D．
【点睛】
本题主要考查了分式有意义的条件，无意义的条件，分式值为0的条件，解题的关键在于能熟练掌握相关知识进行求解．
4．B
【分析】
由，设 则 再代入分式求值即可.
【详解】
解：，设
故选：
【点睛】
本题考查的是分式的值，掌握设辅助参数的方法求解分式的值是解题的关键.
5．A
【分析】
首先进行配方，得出a+b以及a-b的值，进而求出答案．
【详解】
解：∵a＞b＞0，a2+b2=3ab，
∴（a-b）2=ab，（a+b）2=5ab，
∴a+b＞0，a-b＞0，
∴的值为，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了配方的使用求分式的值，正确配方是解题关键．
6．A
【分析】
先根据求出ab与a-b的关系，再代入所求代数式进行计算即可．
【详解】
解：∵，即ab=-3（a-b），
∴原式==-3．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
7．B
【详解】
A．≠ ，故A不成立；
B． = ，故B成立；
C．不能约分，故C错误；
D． ，故D不成立．
故选B．
8．B
【分析】
将原式中的x、y分别用3x、3y代替，化简，再与原分式进行比较．
【详解】
解：∵把分式中的x与y同时扩大为原来的3倍，
∴原式变为：＝ ＝9×，
∴这个分式的值扩大9倍．
故选：B．
【点睛】
本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
9．D
【分析】
利用分式的基本性质对四个选项一一进行恒等变形，即可得出正确答案.
【详解】
解：A.，故本选项变形错误；
B. ，故本选项变形错误；
C.，故本选项变形错误；
D.，故本选项变形正确，
故选D.
【点睛】
本题考查了分式的基本性质.熟练应用分式的基本性质对分式进行约分和通分是解题的关键.
10．B
【分析】
将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x为正整数，从所给图中可得正确答案．
【详解】
解∵1．
又∵x为正整数，∴1，故表示的值的点落在②．
故选B．
【点睛】
本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．
11．D
【分析】
由得出，即，整体代入原式，计算可得.
【详解】
，
，
，
则原式.
故选：.
【点睛】
本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则和整体代入思想的运用.
12．B
【详解】
分析：根据同分母分式加减法的运算法则进行计算即可求出答案．
详解：原式=，
=，
=a﹣1
故选B．
点睛：本题考查同分母分式加减法的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
13．A
【详解】
解：去分母得：3x﹣2=2x+2+m①．由分式方程无解，得到x+1=0，即x=﹣1，代入整式方程①得：﹣5=﹣2+2+m，解得：m=﹣5．故选A．
14．D
【分析】
先对分式方程乘以，即可得到答案.
【详解】
去分母得：，故选D．
【点睛】
本题考查去分母，解题的关键是掌握通分.
15．D
【分析】
先根据分式方程的解法，求出用m表示x的解，然后根据分式有解，且解为正实数构成不等式组求解即可.
【详解】
去分母，得
x+m-2m=3（x-2）
解得x=
∵关于x的分式方程的解为正实数
∴x-2≠0，x＞0
即≠2，＞0，
解得m≠2且m＜6
故选D.
点睛：此题主要考查了分式方程的解和分式方程有解的条件，用含m的式子表示x解分式方程，构造不等式组是解题关键.
16．C
【分析】
先分别表示出小进和小俊跑800米的时间，再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即可．
【详解】
小进跑800米用的时间为秒，小俊跑800米用的时间为秒，
∵小进比小俊少用了40秒，
方程是，
故选C．
【点睛】
本题考查了列分式方程解应用题，能找出题目中的相等关系式是解此题的关键．
17．A
【详解】
分析：直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．
详解：设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为：=．
故选A．
点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．
18．A
【详解】
若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程．
解：设走路线一时的平均速度为x千米/小时，
故选A．
19．B
【详解】
【分析】根据分式值为0的条件，分子为0分母不为0列式进行计算即可得.
【详解】∵分式的值为零，
∴，
解得：x=1，
故选B．
【点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键.
20．A
【详解】
试题分析：选项A为最简分式；选项B化简可得原式==；选项C化简可得原式==；选项D化简可得原式==，故答案选A.
考点：最简分式.
21．C
【详解】
试题解析：分式方程去分母得：m-3=x-1，
解得：x=m-2，
由方程的解为非负数，得到m-2≥0，且m-2≠1，
解得：m≥2且m≠3．
故选C.
考点：分式方程的解．
22．C
【分析】
本题用科学记数法的知识即可解答．
【详解】
解：．
故选C．
【点睛】
本题用科学记数法的知识点，关键是很小的数用科学记数法表示时负指数与0的个数的关系要掌握好．
23．C
【详解】
由题意可得：，
∴，
又∵，
∴，
∴，即.
故选C.
24．D
【详解】
试题分析：方程，两边都乘以x-1去分母后得：2-（x+2）=3（x-1），故选D.
考点：解分式方程的步骤.
25．A
【分析】
甲型机器人每台万元,根据万元购买甲型机器人和用万元购买乙型机器人的台数相同,列出方程即可.
【详解】
解：设甲型机器人每台万元，根据题意，可得
故选．
【点睛】
本题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.
26．A
【分析】
不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a的值，求出之和即可．
【详解】
解：解不等式，解得x≤7，
∴不等式组整理的，
由解集为x≤a，得到a≤7，
分式方程去分母得：y−a＋3y−4＝y−2，即3y−2＝a，
解得：y＝，
由y为正整数解且y≠2，得到a＝1，7，
1×7＝7，
故选：A．
【点睛】
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
27．D
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可．
【详解】
解：去分母得：m+3＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
【点睛】
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
28．A
【分析】
把两边加上3，变形可得，两边除以得到，则，从而得到的值．
【详解】
解：，
，
即，
，
而，
，
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式的加减法：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．解决问题的关键是从后面的式子变形出．
29．1
【分析】
根据已知式子变形计算即可；
【详解】
，
，
∴；
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了代数式求值，准确计算是解题的关键．
30．3bm22b
【分析】
根据最简公分母的求解方法进行求解即可．
【详解】
分式的分母含有的因式为3、m2、b，
所以最简公分母是3bm2．
故答案为3bm2．
【点睛】
本题考查了最简公分母的概念，熟练掌握最简公分母概念和确定方法是解题的关键.确定方法：各分母的系数最小公倍数作为最简公分母的系数；相同底数的，取次数最高次幂；单独出现的字母或者多项式都要算入最简公分母中．
31．
【分析】
根据题意可用含的代数式表示出平均单价，根据总价除以总重量即可求得，进而根据甲的单价减去乙的单价进而求得其差值．
【详解】
解：由题意可得，甲购买面粉的平均单价是：
，
乙购买面粉的平均单价是：
在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为：
高的平均单价与低的平均单价的差值为：．
故答案为：，．
【点睛】
本题考查了列代数式，分式的减法运算，理解题意列出代数式是解题的关键．
32．
【分析】
根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后根据是满足不等式组的整数解，可以得到的值，然后选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
解：
，
由不等式组，得，
是满足不等式组的整数解，，
，
当时，，
故答案为：．
【点睛】
本题考查分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
33．且
【分析】
先求出分式方程的解，再根据解为正数，确定解的取值范围，解不等式，即可得到结论．
【详解】
解：去分母得，,
解得：，
∵分式方程的解为正数，且,
∴且,
解得，且
故答案为：且．
【点睛】
本题考查解分式方程、分式方程的解、解一元一次不等式，解分式方程是解答的关键，注意不能产生增根，所以要使x≠1．
34．
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，将代入计算即可求出的值．
【详解】
解：分式方程去分母得：，
将代入得：．
故答案是：．
【点睛】
本题考查了分式方程的增根，解题的关键是掌握增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
35．-
【分析】
先计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，最后约分即可．
【详解】
解：
，
当m-n=2时，
原式=，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
36．
【分析】
由，得x+y=2，整体代入所求的式子化简即可．
【详解】
由，得x+y=2xy，
则
=
=
=
【点睛】
本题考查了分式的基本性质，解题的关键是用到了整体代入的思想．
37．，当时，原式（当时，原式）
【分析】
先将原式化简，然后从0，1，2，3四个数中选取使得原分式有意义的x的值代入化简后的分式即可解答本题．
【详解】
解：原式＝
由题意可知：，
∴
当时，原式（当时，原式）
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，解题的关键是明确分式的化简求值的方法，注意代入的的值必须使得原分式有意义，即的值不等于1，3．
38．（1）；（2）原方程无解．
【分析】
（1）先通分，最简公分母为，再按照同分母分式的加法进行运算即可；
（2）方程两边都乘以 去分母化为整式方程，再解整式方程并检验即可得到答案.
【详解】
解：（1）原式
（2）解：去分母得：
整理得：
解得：
经检验为原方程的增根
∴原方程无解
【点睛】
本题考查的是分式的加法运算，分式方程的解法，熟悉通分，计算分式的加法，熟悉去分母把分式方程化为整式方程是解题的关键.
39．（1）A型、B型电脑每台价格各为5040元、4200元，（2）最多可购买A型电脑7台．
【分析】
（1）设求A种型号电脑每台价格为x元，则B种型号电脑每台价格（x﹣840）元．根据“用25200元购买A种型号电脑的数量与用2100元购买B种型号电脑的数量相同”列出方程，解方程即可求解；
（2）设购买A种型号电脑y台，则购买B种型号电脑（20﹣y）台．根据 “用不多于90000元的资金购进这两种电脑20台”列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】
（1）设求A种型号电脑每台价格为x元，则B种型号电脑每台价格（x﹣840）元．
根据题意得：，
解得：x＝5040．
经检验：x＝5040是原方程的解，x﹣840＝4200，
答：A、B两种型号电脑每台价格分别是5040元和4200元；
（2）设购买A种型号电脑y台，则购买B种型号电脑（20﹣y）台．
根据题意得：5040y+4200（20﹣y）≤90000，
解得：y≤7，
∴最多可购买A种型号电脑7台．
答：最多可购买A种型号电脑7台．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用．分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
40．（1）；（2）；3
【分析】
（1）先将分母和分子因式分解，再约分即可；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．
【详解】
解：（1）
；
（2）原式
，
当时，
原式．
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
41．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根据题意利用拆项添项法，并结合完全平方公式和平方差公式进行因式分解；
（2）根据题意利用拆项添项法，并结合完全平方公式和平方差公式进行因式分解；
（3）根据题意利用拆项添项法对分式的分子进行因式分解，然后再约分化简．
【详解】
解：（1），
，
，
，
；
（2）
，
，
；
（3）∵，
，
，
∴原式．
分式期末高频考点突破
题型一：分式的定义和有意义的条件
1．（2021·山东平阴·八年级期末）在，，，，，中，分式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2021·黑龙江林口·八年级期末）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x≥2 C．x＜2 且x≠0 D．x≤2且x≠0
3．（2021·河南汝州·八年级期末）对于分式，下列说法正确的是（ ）
A．当x＝﹣2时分式有意义 B．当x＝±2时分式的值为零
C．当x＝0时分式无意义 D．当x＝2时分式的值为零
题型二：分式的值
4．（2021·山东·济宁学院附属中学八年级期末）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·江苏新吴·八年级期末）已知：，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．5
6．（2021·山东蓬莱·八年级期末）若，则的值是（ ）
A． B． C．3 D．
题型三：分式的基本性质
7．（2021·湖北武汉·八年级期末）下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·河南淅川·八年级期末）将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大6倍 B．扩大9倍 C．不变 D．扩大3倍
9．（2021·江苏海安·八年级期末）下列代数式变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型四：分式的运算
10．（2021·山东高唐·八年级期末）如图，若为正整数，则表示的值的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
11．（2021·内蒙古霍林郭勒·八年级期末）已知=3，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·河南·永城市教育体育局教研室八年级期末）化简的结果为（ ）
A． B．a﹣1 C．a D．1
题型五：分式方程
13．（2020·四川青神·八年级期末）关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣8 C．﹣2 D．5
14．（2021·浙江吴兴·七年级期末）解分式方程时，去分母变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2018·四川成都·八年级期末）关于的分式方程的解为正实数，则实数的取值范围是
A．且 B．且 C．且 D．且
题型六：分式方程的应用
16．（2018·山东莱州·八年级期末）体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是米/秒，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2020·山西阳泉·八年级期末）甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（ ）
A．= B．=
C．= D．=
18．（2018·江苏无锡·八年级期末）小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得
A． B．
C． D．
分式期末高频考点强化训练突破
一、单选题
19．（2021·海南海口·八年级期末）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
20．（2021·江苏江阴·八年级期末）下列分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
21．（2021·湖北郧西·八年级期末）已知关于x的分式方程+=1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠3
22．（2021·辽宁昌图·七年级期末）成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
23．（2021·河南省淮滨县第一中学八年级期末）如图，设k＝（a＞b＞0），则有（ ）
A．k＞2 B．1＜k＜2 C． D．
24．（2021·河北元氏·八年级期末）解分式方程时，去分母后变形为
A． B．
C． D．
25．（2021·安徽颍州·八年级期末）为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用万元购买甲型机器人和用万元购买乙型机器人的台数相同，两型号机器人的单价和为万元．若设甲型机器人每台万元，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
26．（2021·湖南华容·八年级期末）若关于x的一元一次不等式结的解集为；且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．7 B．－14 C．28 D．－56
27．（2021·山东台儿庄·八年级期末）关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（ ）
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3
28．（2021·河南省淮滨县第一中学八年级期末）已知实数x，y，z满足++＝，且＝11，则x+y+z的值为（ ）
A．12 B．14 C． D．9
二、填空题
29．（2021·全国·八年级期末）如果，那么______．
30．（2021·四川邛崃·八年级期末）分式的最简公分母是________．
31．（2021·四川成都·八年级期末）甲、乙两位采购员同去一家面粉公司购买两次面粉，两次面粉的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买800kg，乙每次用去600元，而不管购买多少面粉．设两次购买的面粉单价分别为元/kg和元/kg（，是正数，且），那么甲所购面粉的平均单价是______元，在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为______．（结果用含，的代数式表示，需化为最简形式）
32．（2021·全国·八年级期末）已知是满足不等式组的整数解，求代数式：的值______．
33．（2021·安徽东至·七年级期末）已知关于的方程的解为正数，则的取值范围为_______．
34．（2021·湖南岳阳·八年级期末）若关于的分式方程有增根，则___________．
35．（2021·山东·济宁学院附属中学九年级期末）已知m﹣n＝2，则分式÷（2n+）＝_________________．
36．（2021·安徽淮北·七年级期末）若，则______．
三、解答题
37．（2021·湖南宁乡·八年级期末）先化简，再求值：，请从0，1，2，3四个数中选取一个你喜欢的数代入求值．
38．（2021·江苏新吴·八年级期末）（1）计算：；
（2）解方程：
39．（2021·四川宣汉·八年级期末）按照学校均衡发展的配备标准，某校计划采购、两种型号电脑．已知每台种型号电脑价格比每台种型号电脑价格多840元，且用25200元买种型号电脑的台数与用21000元买种型号电脑的台数一样多．
（1）求、两种型号电脑每台价格各为多少元？
（2）学校预计用不多于9万元的资金购进这两种电脑共20台，则最多可购买种型号电脑多少台？
40．（2021·山东济阳·八年级期末）（1）化简：
（2）先化简，再求值：，其中．
41．（2021·浙江慈溪·七年级期末）（学习材料）——拆项添项法
在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法，如：
例1 分解因式：
（解析）解：原式=
例2 分解因式：
（解析）解：原式=
（知识应用）请根据以上材料中的方法，解决下列问题：
（1）分解因式：______．
（2）运用拆项添项法分解因式：．
（3）化简：．
参考答案
1．B
【分析】
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】
解：在，，，，，中，
分式有，，，
所以分式的个数是3个．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以像不是分式，是整式．
2．D
【分析】
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式组求解．
【详解】
解：根据题意得：，
解得：且．
故选：D
【点睛】
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0，二次根式有意义，被开方数是非负数．
3．D
【分析】
根据分式有意义和无意义的条件，以及分式值等于0的条件进行逐一判断即可．
【详解】
解：∵要想分式 有意义，
∴即，故A不符合题意；
∵要想分式 无意义，
∴即，故C不符合题意；
∵要想分式 的值为0，
∴即，故B不符合题意，D符合题意；
故选D．
【点睛】
本题主要考查了分式有意义的条件，无意义的条件，分式值为0的条件，解题的关键在于能熟练掌握相关知识进行求解．
4．B
【分析】
由，设 则 再代入分式求值即可.
【详解】
解：，设
故选：
【点睛】
本题考查的是分式的值，掌握设辅助参数的方法求解分式的值是解题的关键.
5．A
【分析】
首先进行配方，得出a+b以及a-b的值，进而求出答案．
【详解】
解：∵a＞b＞0，a2+b2=3ab，
∴（a-b）2=ab，（a+b）2=5ab，
∴a+b＞0，a-b＞0，
∴的值为，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了配方的使用求分式的值，正确配方是解题关键．
6．A
【分析】
先根据求出ab与a-b的关系，再代入所求代数式进行计算即可．
【详解】
解：∵，即ab=-3（a-b），
∴原式==-3．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
7．B
【详解】
A．≠ ，故A不成立；
B． = ，故B成立；
C．不能约分，故C错误；
D． ，故D不成立．
故选B．
8．B
【分析】
将原式中的x、y分别用3x、3y代替，化简，再与原分式进行比较．
【详解】
解：∵把分式中的x与y同时扩大为原来的3倍，
∴原式变为：＝ ＝9×，
∴这个分式的值扩大9倍．
故选：B．
【点睛】
本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
9．D
【分析】
利用分式的基本性质对四个选项一一进行恒等变形，即可得出正确答案.
【详解】
解：A.，故本选项变形错误；
B. ，故本选项变形错误；
C.，故本选项变形错误；
D.，故本选项变形正确，
故选D.
【点睛】
本题考查了分式的基本性质.熟练应用分式的基本性质对分式进行约分和通分是解题的关键.
10．B
【分析】
将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据x为正整数，从所给图中可得正确答案．
【详解】
解∵1．
又∵x为正整数，∴1，故表示的值的点落在②．
故选B．
【点睛】
本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等．
11．D
【分析】
由得出，即，整体代入原式，计算可得.
【详解】
，
，
，
则原式.
故选：.
【点睛】
本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则和整体代入思想的运用.
12．B
【详解】
分析：根据同分母分式加减法的运算法则进行计算即可求出答案．
详解：原式=，
=，
=a﹣1
故选B．
点睛：本题考查同分母分式加减法的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
13．A
【详解】
解：去分母得：3x﹣2=2x+2+m①．由分式方程无解，得到x+1=0，即x=﹣1，代入整式方程①得：﹣5=﹣2+2+m，解得：m=﹣5．故选A．
14．D
【分析】
先对分式方程乘以，即可得到答案.
【详解】
去分母得：，故选D．
【点睛】
本题考查去分母，解题的关键是掌握通分.
15．D
【分析】
先根据分式方程的解法，求出用m表示x的解，然后根据分式有解，且解为正实数构成不等式组求解即可.
【详解】
去分母，得
x+m-2m=3（x-2）
解得x=
∵关于x的分式方程的解为正实数
∴x-2≠0，x＞0
即≠2，＞0，
解得m≠2且m＜6
故选D.
点睛：此题主要考查了分式方程的解和分式方程有解的条件，用含m的式子表示x解分式方程，构造不等式组是解题关键.
16．C
【分析】
先分别表示出小进和小俊跑800米的时间，再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即可．
【详解】
小进跑800米用的时间为秒，小俊跑800米用的时间为秒，
∵小进比小俊少用了40秒，
方程是，
故选C．
【点睛】
本题考查了列分式方程解应用题，能找出题目中的相等关系式是解此题的关键．
17．A
【详解】
分析：直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．
详解：设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为：=．
故选A．
点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．
18．A
【详解】
若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程．
解：设走路线一时的平均速度为x千米/小时，
故选A．
19．B
【详解】
【分析】根据分式值为0的条件，分子为0分母不为0列式进行计算即可得.
【详解】∵分式的值为零，
∴，
解得：x=1，
故选B．
【点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键.
20．A
【详解】
试题分析：选项A为最简分式；选项B化简可得原式==；选项C化简可得原式==；选项D化简可得原式==，故答案选A.
考点：最简分式.
21．C
【详解】
试题解析：分式方程去分母得：m-3=x-1，
解得：x=m-2，
由方程的解为非负数，得到m-2≥0，且m-2≠1，
解得：m≥2且m≠3．
故选C.
考点：分式方程的解．
22．C
【分析】
本题用科学记数法的知识即可解答．
【详解】
解：．
故选C．
【点睛】
本题用科学记数法的知识点，关键是很小的数用科学记数法表示时负指数与0的个数的关系要掌握好．
23．C
【详解】
由题意可得：，
∴，
又∵，
∴，
∴，即.
故选C.
24．D
【详解】
试题分析：方程，两边都乘以x-1去分母后得：2-（x+2）=3（x-1），故选D.
考点：解分式方程的步骤.
25．A
【分析】
甲型机器人每台万元,根据万元购买甲型机器人和用万元购买乙型机器人的台数相同,列出方程即可.
【详解】
解：设甲型机器人每台万元，根据题意，可得
故选．
【点睛】
本题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.
26．A
【分析】
不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a的值，求出之和即可．
【详解】
解：解不等式，解得x≤7，
∴不等式组整理的，
由解集为x≤a，得到a≤7，
分式方程去分母得：y−a＋3y−4＝y−2，即3y−2＝a，
解得：y＝，
由y为正整数解且y≠2，得到a＝1，7，
1×7＝7，
故选：A．
【点睛】
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
27．D
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可．
【详解】
解：去分母得：m+3＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
【点睛】
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
28．A
【分析】
把两边加上3，变形可得，两边除以得到，则，从而得到的值．
【详解】
解：，
，
即，
，
而，
，
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式的加减法：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．解决问题的关键是从后面的式子变形出．
29．1
【分析】
根据已知式子变形计算即可；
【详解】
，
，
∴；
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了代数式求值，准确计算是解题的关键．
30．3bm22b
【分析】
根据最简公分母的求解方法进行求解即可．
【详解】
分式的分母含有的因式为3、m2、b，
所以最简公分母是3bm2．
故答案为3bm2．
【点睛】
本题考查了最简公分母的概念，熟练掌握最简公分母概念和确定方法是解题的关键.确定方法：各分母的系数最小公倍数作为最简公分母的系数；相同底数的，取次数最高次幂；单独出现的字母或者多项式都要算入最简公分母中．
31．
【分析】
根据题意可用含的代数式表示出平均单价，根据总价除以总重量即可求得，进而根据甲的单价减去乙的单价进而求得其差值．
【详解】
解：由题意可得，甲购买面粉的平均单价是：
，
乙购买面粉的平均单价是：
在甲、乙所购买面粉的平均单价中，高的平均单价与低的平均单价的差值为：
高的平均单价与低的平均单价的差值为：．
故答案为：，．
【点睛】
本题考查了列代数式，分式的减法运算，理解题意列出代数式是解题的关键．
32．
【分析】
根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后根据是满足不等式组的整数解，可以得到的值，然后选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
解：
，
由不等式组，得，
是满足不等式组的整数解，，
，
当时，，
故答案为：．
【点睛】
本题考查分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
33．且
【分析】
先求出分式方程的解，再根据解为正数，确定解的取值范围，解不等式，即可得到结论．
【详解】
解：去分母得，,
解得：，
∵分式方程的解为正数，且,
∴且,
解得，且
故答案为：且．
【点睛】
本题考查解分式方程、分式方程的解、解一元一次不等式，解分式方程是解答的关键，注意不能产生增根，所以要使x≠1．
34．
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，将代入计算即可求出的值．
【详解】
解：分式方程去分母得：，
将代入得：．
故答案是：．
【点睛】
本题考查了分式方程的增根，解题的关键是掌握增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
35．-
【分析】
先计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，最后约分即可．
【详解】
解：
，
当m-n=2时，
原式=，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
36．
【分析】
由，得x+y=2，整体代入所求的式子化简即可．
【详解】
由，得x+y=2xy，
则
=
=
=
【点睛】
本题考查了分式的基本性质，解题的关键是用到了整体代入的思想．
37．，当时，原式（当时，原式）
【分析】
先将原式化简，然后从0，1，2，3四个数中选取使得原分式有意义的x的值代入化简后的分式即可解答本题．
【详解】
解：原式＝
由题意可知：，
∴
当时，原式（当时，原式）
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，解题的关键是明确分式的化简求值的方法，注意代入的的值必须使得原分式有意义，即的值不等于1，3．
38．（1）；（2）原方程无解．
【分析】
（1）先通分，最简公分母为，再按照同分母分式的加法进行运算即可；
（2）方程两边都乘以 去分母化为整式方程，再解整式方程并检验即可得到答案.
【详解】
解：（1）原式
（2）解：去分母得：
整理得：
解得：
经检验为原方程的增根
∴原方程无解
【点睛】
本题考查的是分式的加法运算，分式方程的解法，熟悉通分，计算分式的加法，熟悉去分母把分式方程化为整式方程是解题的关键.
39．（1）A型、B型电脑每台价格各为5040元、4200元，（2）最多可购买A型电脑7台．
【分析】
（1）设求A种型号电脑每台价格为x元，则B种型号电脑每台价格（x﹣840）元．根据“用25200元购买A种型号电脑的数量与用2100元购买B种型号电脑的数量相同”列出方程，解方程即可求解；
（2）设购买A种型号电脑y台，则购买B种型号电脑（20﹣y）台．根据 “用不多于90000元的资金购进这两种电脑20台”列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】
（1）设求A种型号电脑每台价格为x元，则B种型号电脑每台价格（x﹣840）元．
根据题意得：，
解得：x＝5040．
经检验：x＝5040是原方程的解，x﹣840＝4200，
答：A、B两种型号电脑每台价格分别是5040元和4200元；
（2）设购买A种型号电脑y台，则购买B种型号电脑（20﹣y）台．
根据题意得：5040y+4200（20﹣y）≤90000，
解得：y≤7，
∴最多可购买A种型号电脑7台．
答：最多可购买A种型号电脑7台．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用．分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
40．（1）；（2）；3
【分析】
（1）先将分母和分子因式分解，再约分即可；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．
【详解】
解：（1）
；
（2）原式
，
当时，
原式．
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
41．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根据题意利用拆项添项法，并结合完全平方公式和平方差公式进行因式分解；
（2）根据题意利用拆项添项法，并结合完全平方公式和平方差公式进行因式分解；
（3）根据题意利用拆项添项法对分式的分子进行因式分解，然后再约分化简．
【详解】
解：（1），
，
，
，
；
（2）
，
，
；
（3）∵，
，
，
∴原式．
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