第01讲 《三角形》专题-2021-2022学年人教版八年级数学上学期《考点•题型•难点》期末高效复习（含解析）

这是一份第01讲 《三角形》专题-2021-2022学年人教版八年级数学上学期《考点•题型•难点》期末高效复习（含解析），共24页。试卷主要包含了定义，分类，角平分线，中线，三角形的三边关系，三角形的内角，三角形的外角等内容，欢迎下载使用。
第01讲：《三角形》专题
考点梳理
考点一：三角形
1、定义：由不在同一条直线上的三条线段顺次首尾相接所组成的图形叫做三角形。
2、分类：（1）按角分：锐角三角形；直角三角形；钝角三角形；
（2）按边分：不等边三角形；等腰三角形；等边三角形；

考点二：三角形中的各种线
3、角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
4、中线：连接一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线。
5、高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。
6、三角形的三边关系：三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

考点三：三角形的内角和外角
7、三角形的内角：三角形的内角和等于。如图：
8、三角形的外角
（1）三角形的一个外角与相邻的内角互补。
（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
（3）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。＞或＞








考点四：三角形的周长、面积求法和三角形稳定性。
（1）如图1：C△ABC=AB＋BC＋AC或C△ABC= a＋b＋c。四个量中已知其中三个能求第四个。
（2）如图2：AD为高，S△ABC =·BC·AD三个量中已知其中两个能求第三个。
（3）如图3：△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，则有：S△ABC =·AB·CD=·AC·BC即：AB·CD=AC·BC




考点五：多边形及其内角和
1、边形的内角和=；
2、边形的外角和=。
3、一个边形的对角线有条，过边形一个顶点能作出条对角线，把边形分成了个三角形。


















题型强化训练
一、单选题
1．（2021·黑龙江佳木斯·八年级期末）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们首尾相连摆成一个三角形的是（）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm
2．（2021·湖南长沙·八年级期末）如图，在ABC中，点O是ABC的重心，则AD为三角形的（）


A．角平分线 B．高线 C．中线 D．垂直平分线
3．（2021·四川郫都·八年级期末）如图所示，工人师傅在砌门时，通常用木条BD固定长方形门框ABCD，使其不变形这样做的数学根据是（　　）

A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短
C．对顶角相等 D．垂线段最短
4．（2021·河北·安新县教师发展中心八年级期末）如图，把一张纸片沿着对折，使点落在的外部点处，若，，则的度数是（）

A． B． C． D．

5．（2021·辽宁丹东·八年级期末）已知，直线a//b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°，若∠1+∠B＝64°，则∠2的度数为（　　）

A．20° B．26° C．30° D．35°
6．（2021·安徽当涂·八年级期末）一个多边形从一个顶点可引出7条对角线，那么这个多边形的边数是（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
7．（2021·浙江下城·八年级期末）在四边形ABCD中，设∠A＝∠B＝∠C＝α，∠D＝β（　　）
A．若α＝60°，则β＝60° B．若α＝70°，则β＝70°
C．若α＝80°，则β＝80° D．若α＝90°，则β＝90°
8．（2021·陕西西安·八年级期末）如图∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的三个外角，若∠A+∠B＝215°，则∠1+∠2+∠3＝（　　）

A．140° B．180° C．215° D．220°
9．（2021·河北·石家庄市第二十一中学八年级期末）如图，将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则（）

A． B．
C． D．



10．（2021·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）如图，把三个长为2，宽为1的长方形拼接，则图中面积为1的三角形个数为（）

A．4 B．5 C．6 D．7
11．（2021·广西贵港·八年级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则下列结论不一定成立的是（）

A．∠1+∠2=90° B．∠3=60° C．∠2=∠3 D．∠1=∠4
12．（2021·浙江浙江·八年级期末）在下列条件：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个


二、填空题
13．（2021·西藏日喀则·八年级期末）一个n边形的内角和为1080°，则n=________.
14．（2021·甘肃安定·八年级期末）已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c=_____．
15．（2021·陕西秦都·八年级期末）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，则这个多边形的边数是________．







16．（2021·青海西宁·八年级期末）图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=　　度．

17．（2021·广东禅城·八年级期末）如图，∠1=70°，直线a平移后得到直线b，则∠2－∠3=__________．

18．（2021·内蒙古霍林郭勒·八年级期末）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于_____cm2

19．（2021·宁夏平罗·八年级期末）如图，在中，点是上的点，，将沿着翻折得到，则______°．








三、解答题
20．（2021·甘肃·兰州市外国语学校八年级期末）如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80°．求∠C的度数．



21．（2021·重庆·八年级期末）如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°．试求：
（1）AD的长；
（2）△ABE的面积；
（3）△ACE和△ABE的周长的差．


22．（2021·河北青县·八年级期末）如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．








23．（2021·安徽金寨·八年级期末）如图，在△ABC中，AE是BC边上的高．
（1）若AD是边BC上的中线，AE=5cm，S△ABC=30cm²，求DC的长；
（2）若AD是∠BAC的平分线，∠B=30°，∠C=60°，求∠DAE的度数．

24．（2021·四川广安·八年级期末）已知直线与互相垂直，垂足为O，点A在射线上运动，点B在射线上运动，点A，B均不与点O重合．

（1）如图1，平分平分．若，则______．
（2）如图2，平分交于点I，平分的反向延长线交的延长线于点D．
①若，则_______．
②在点A，B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
（3）如图3，已知点E在的延长线上，的平分线的平分线与的平分线所在的直线分别相交于点D，F．在中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出的度数．
25．（2021·山西祁县·八年级期末）问题1：现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．
（1）探究1：如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是；
（2）探究2：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是；
（3）探究3：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．

（4）问题2：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是.
26．（2021·广东南海·八年级期末）已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB．

（1）如图1，求证：∠A＋∠D＝∠B＋∠C；
（2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数；
（3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，，，试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由．

参考答案
1．D
【分析】
根据三角形的三边关系定理逐项判断即可得．
【详解】
解：三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
A、，不能摆成一个三角形；
B、，不能摆成一个三角形；
C、，不能摆成一个三角形；
D、，能摆成一个三角形；
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．
2．C
【分析】
根据重心的定义：三角形三边中线的交点，即可求解.
【详解】
解：根据重心的定义：三角形三边中线的交点为三角形的重心
故选C.
【点睛】
本题主要考查了重心的定义，解题的关键在于能够熟练掌握重心的定义.
3．A
【分析】
根据三角形具有稳定性解答．
【详解】
解：常用木条固定长方形门框ABCD，使其不变形，
这种做法的根据是三角形具有稳定性．
故选：A．
【点睛】
本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构．
4．C
【分析】
由折叠的性质可得出，结合平角等于180°即可求出∠CDE和∠CED的度数，再在△CDE中，利用三角形内角和定理可求出∠C的度数．
【详解】
由折叠的性质可得出，，
,
,
在中，，
，
故选：C
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质以及补角，利用折叠的性质及平角等于180°，求出∠CDE和∠CED的度数是解题的关键．
5．B
【分析】
根据三角形外角性质得出∠3，再利用平行线的性质解答即可．
【详解】
解：∵∠1+∠B＝64°，

∴∠3＝∠1+∠B＝64°，
∵a//b，
∴∠3+∠ACD+∠2＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠ACD﹣∠3＝180°﹣90°﹣64°＝26°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
6．A
【分析】
从n边形的一个顶点引对角线条数为（n﹣3）条．
【详解】
解：∵从n边形的一个顶点引对角线条数为：n﹣3，
设该多边形为n边形，则：n﹣3＝7，
解得：n＝10．
故选：A．
【点睛】
此题考查多边形的对角线，解题关键在于掌握计算公式.
7．D
【分析】
根据四边形内角和为360°对四个选项逐一判断即可．
【详解】
解：在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∠A＝∠B＝∠C＝α，∠D＝β，
A．若α＝60°，则β＝180°，故本选项不合题意；
B．若α＝70°，则β＝150°，故本选项不合题意；
C．若α＝80°，则β＝120°，故本选项不合题意；
D．若α＝90°，则β＝90°，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查四边形的角度取值，掌握四边形内角为360°即可解出此题．
8．C
【分析】
直接利用多边形内角和定理以及多边形外角的性质分析得出答案．
【详解】
解：五边形ABCDE的内角和为（5-2）×180°=540°，
∵∠A+∠B=215°，
∴∠AED+∠EDC+∠BCD=540°-215°=325°，
又∵∠AED+∠EDC+∠BCD+∠1+∠2+∠3=180°×3=540°，
∴∠1+∠2+∠3=540°-325°=215°．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了多边形的外角以及多边形的内角和，熟记多边形内角和公式及多边形的外角和是360°是解题关键．
9．C
【分析】
利用三角形外角的性质解答即可．
【详解】
解：如图所示，

∠α=∠E+∠ACB=30°+45°=75°，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是三角形外角的性质，熟知性质定理是解答此题的关键．
10．C
【分析】
根据题意面积为1的三角形就是底为1高为2的三角形，即可求解．
【详解】
解：根据题意，面积为1的三角形就是底为1高为2的三角形
在图中找这样的三角形有6个，分别为

故选C．
【点睛】
此题考查了三角形面积问题，根据题意确定寻找什么样的三角形是解题的关键．
11．B
【分析】
借助直角三角形两锐角互余，依次判断即可．
【详解】
解：Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠2=90°，故A正确；
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，故C正确；
∵∠3+∠4=90°，
∴∠1=∠4，故D正确；
∵∠3不一定是60°，故B符合题意
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理，根据直角三角形两锐角互余这一性质来解题是关键．
12．C
【分析】
根据三角形的内角和等于180°分别求出各小题中的最大角的度数，即可得解．
【详解】
解：①，
，
，
②，
最大角，
③，
，
，
④，
，
，
综上所述，是直角三角形的是①③④共3个．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，熟记定理并求出各小题中最大角的度数是解题的关键．
13．8
【分析】
直接根据内角和公式计算即可求解.
【详解】
（n﹣2）•180°=1080°，解得n=8．
故答案为8．
【点睛】
主要考查了多边形的内角和公式.多边形内角和公式：.
14．7
【分析】
根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值．
【详解】
∵a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，
∴a﹣7=0，b﹣1=0，
解得a=7，b=1，
∵7﹣1=6，7+1=8，
∴
又∵c为奇数，
∴c=7，
故答案为7．
【点睛】
本题考查非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系．
15．十
【分析】
设这个多边形有条边，则其内角和为外角和为再根据题意列方程可得答案．
【详解】
解：设这个多边形有条边，则其内角和为外角和为



故答案为：十．
【点睛】
本题考查的是多边形的内角和与外角和，掌握利用多边形的内角和与外角和定理列一元一次方程解决问题是解题的关键．
16．360°．
【分析】
根据多边形的外角和等于360°解答即可．
【详解】
由多边形的外角和等于360°可知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
故答案为360°．
【点睛】
本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．
17．110°
【分析】
先延长直线，然后根据平行线的性质和三角形的外角性质解答即可．
【详解】
解：如图：延长直线：
∵a平移后得到直线b，
∴a∥b，
∴∠5=180°-∠1=180°-70°=110°，
又∵∠2=∠4+∠5，∠3=∠4，
∴∠2-∠3=∠5=110°
故答案为：110°．

【点睛】
本题考查平移问题，解答本题的关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质求角．
18．1
【分析】
由点为的中点，可得的面积是面积的一半；同理可得和的面积之比，利用三角形的等积变换可解答．
【详解】
解：如图，点是的中点，

的底是，的底是，即，而高相等，
，
是的中点，
，，
，
，且，
，
即阴影部分的面积为．
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．
19．20
【分析】
根据三角形内角和和翻折的性质解答即可．
【详解】
解：，将沿着翻折得到，
，，
，
故答案为20
【点睛】
此题考查翻折的性质，关键是根据三角形内角和和翻折的性质解答．
20．50°
【详解】
试题分析：根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAF，再根据角平分线的定义求出∠CAF，然后根据两直线平行，内错角相等解答．
试题解析：解：∵EF∥BC，
∴∠BAF=180°﹣∠B=100°，
∵AC平分∠BAF，
∴∠CAF=∠BAF=50°，
∵EF∥BC，
∴∠C=∠CAF=50°．
考点：平行线的性质．
21．⑴4.8cm；⑵12cm²；⑶2cm.
【分析】
（1）利用直角三角形面积的两种求法求线段AD的长度即可；（2）先求△ABC的面积，再根据△AEC与△ABE是等底同高的两个三角形，它们的面积相等，由此即可求得△ABE的面；（3）由AE是中线，可得BE=CE，根据△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-（AB+BE+AE），化简可得△ACE的周长-△ABE的周长=AC-AB，即可求解．
【详解】
∵∠BAC=90°，AD是边BC上的高，
∴AB•AC=BC•AD，
∴AD= =4.8（cm），
即AD的长度为4.8cm；
（2）如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，
∴S△ABC=AB•AC=×6×8=24（cm2）．
又∵AE是边BC的中线，
∴BE=EC，
∴BE•AD=EC•AD，即S△ABE=S△AEC，
∴S△ABE=S△ABC=12（cm2）．
∴△ABE的面积是12cm2．
（3）∵AE为BC边上的中线，
∴BE=CE，
∴△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-（AB+BE+AE）=AC-AB=8-6=2（cm），
即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．
【点睛】
本题考查了中线的定义、三角形周长的计算．解题的关键是利用直角三角形面积的两两种表达方式求线段AD的长．
22．∠ADB=100°．
【分析】
根据AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，得出∠BAD=30°，再利用CE是△ABC的高，∠BCE=40°，得出∠B的度数，进而根据三角形的内角和定理得出∠ADB的度数．
【详解】
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，
∴∠BAD=30°，
又∵CE是△ABC的高，∠BCE=40°，
∴∠BEC=90°
∴∠B=50°
∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-50°-30°=100°
23．（1）DC＝6cm；（2）∠DAE=15°．
【分析】
（1）利用三角形的中线平分三角形面积得出S△ADC=15cm2，进而利用三角形面积得出CD的长．
（2）依据∠B=30°，∠C=60°，可知△ABC为直角三角形，再根据AD为角平分线，即可得到∠BAD的度数，即可得到∠ADE的度数，进而得出∠DAE的度数．
【详解】
解：（1）∵AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE=5cm，S△ABC=30cm2

∴S△ADC=15cm2，
∴×AE×CD=15，
∴×5×CD=15，
解得：CD=6（cm）；
（2）∵∠B=30°，∠C=60°，
∴∠BAC=90°，
又∵AD为∠BAC的平分线，
∴，
∴∠ADE=30°+45°=75°，
又∵AE⊥BC，
∴∠DAE=90°75°=15°．
【点睛】
此题主要考查了三角形的面积以及三角形中线、角平分线、以及高线的性质，根据已知得出S△ADC是解题关键．
24．（1）135；（2）①45；②的大小不会发生变化，；（3）或．
【分析】
（1）先求出∠IBA、∠MAB，根据∠AIB=180°-（∠IBA+∠IAB）求解即可；
（2）①由∠CBA=∠D+∠BAD求出∠CBA、∠BAD即可解答；②由点A、B在运动的过程中，∠ADB=45°，可得∠D=∠CBA-∠BAD=∠MBA-∠BAO=（∠MBA-∠BAO）=∠AOB进行计算即可；
（3）先证明∠ABO=2∠D，∠DAF=90°，再分①当时，②当∠DAF=3∠F时，③当时，④当时四种情况分别解答即可．
【详解】
解：如图：
（1）∵，
∴
∵，
∴．
∵平分平分，
∴，
∴．
（2）①∵，且平分平分，
∴．
∵，
∴．
②的大小不会发生变化．
∵




．
故的大小不会发生变化，．
（3）∵的平分线，的平分线与的平分线所在的直线分别相交于点D，F，
∴，
∴，
∴．
①当时，，
∴；
②当时，，
∴（舍去）；
③当时，，
∴；
④当时，，
∴（舍去）．
综上，当或时，在中，有一个角的度数是另一个角的3倍．
【点睛】
本题主要考查三角形综合题、三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角等知识点，掌握分类讨论的思想并灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
25．（1）;（2）;（3）见解析;（4）
【分析】
（1）根据三角形外角性质可得；
（2）在四边形中，内角和为360°，∠BDA=∠CEA=180°，利用这两个条件，进行角度转化可得关系式；
（3）如下图，根据（1）可得∠1=2∠，∠2=2∠，从而推导出关系式；
（4）根据平角的定义以及四边形的内角和定理，与（2）类似思路探讨，可得关系式．
【详解】
（1）∵△是△EDA折叠得到
∴∠A=∠
∵∠1是△的外角
∴∠1=∠A+∠
∴；
（2）∵在四边形中，内角和为360°
∴∠A++∠∠=360°
同理，∠A=∠
∴2∠A+∠∠=360°
∵∠BDA=∠CEA=180
∴∠1+∠∠+∠2=360°
∴；
（3）数量关系：
理由：如下图，连接

由（1）可知：∠1=2∠，∠2=2∠
∴；
（4）由折叠性质知：∠2=180°－2∠AEF，∠1=180°－2∠BFE
相加得：．
【点睛】
本题考查角度之间的关系，（4）问的解题思路是相同的，主要运用三角形的内角和定理和四边形的内角和定理进行角度转换．
26．（1）见解析；（2）30°；（3），见解析
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角相等可求解；
（2）由角平分线的定义可得∠ADE=∠CDE，∠ABE=∠CBE，结合（1）可得∠A+∠C=2∠E，再代入计算即可求解；
（3）由，可得∠ADE=2∠CDE，∠ABE=2∠CBE，结合（1）可得∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE=3∠E+∠ABE+2∠CDE，进而可求解．
【详解】
（1）证明：∵
∴，
同理，，
又∵，
∴；

（2）如图，

由（1）得，；
同理，，，
∴
∵DE、BE分别平分和，
∴，，
∴，
∵，，
∴；
（3）如图：

由（2）得，，；
∵，，
∴，，
∴，；
∴，；
∴，
∴．