新教材(辅导班)高一数学寒假讲义14《6.4.2余弦定理与正弦定理》课时(含解析) 学案

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6.4.3　余弦定理、正弦定理
第1课时　余弦定理



知识点一　　　余弦定理
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．
知识点二　　　余弦定理的推论
cosA＝，cosB＝，cosC＝.
知识点三　　　解三角形
(1)把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．
(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
知识点四　　　余弦定理及其推论的应用
应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题：一类是已知两边及其夹角解三角形，另一类是已知三边解三角形．

1．对余弦定理的理解
(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．
(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．
(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化．


2．判定三角形的形状
(1)有关三角形边角关系解三角形问题，就是从“统一”入手，体现转化思想．判断三角形的形状有两条思路：
①化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系式．
②化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系式．
(2)判定三角形形状时经常用到下列结论：
①在△ABC中，若a2 例如：在不等边△ABC中，a是最大的边，若a2 ②在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则A＝90°；反之，若A＝90°，则a2＝b2＋c2.
③在△ABC中，若a2>b2＋c2，则90°b2＋c2.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及其夹角的情况．(　　)
(2)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．(　　)
(3)已知△ABC中的三边，可结合余弦定理判断三角形的形状．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√
2．做一做
(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，c＝，则B＝________.
(2)已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是________三角形．
(3)在△ABC中，若a2＋b2－c2＝ab，则角C的大小为________．
(4)在△ABC中，AB＝4，BC＝3，B＝60°，则AC等于________．
答案　(1)　(2)钝角　(3)　(4)

题型一 已知两边及一角解三角形
例1　在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解这个三角形．
[解]　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝(2)2＋(＋)2－2×2×(＋)×cos45°＝8，
∴b＝2，
又cosA＝＝＝，∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.


　
已知两边及一角解三角形的两种情况
(1)已知两边和两边夹角，直接应用余弦定理求出第三边，然后根据边角关系应用余弦定理求解．
(2)三角形中已知两边和一边的对角，解法如下：利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出第三边的长．

(1)在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是(　　)
A．8 B．2 C．6 D．2
(2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A，C和边a.
答案　(1)D　(2)见解析
解析　(1)根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝16＋36－2×4×6×cos120°＝76，c＝2.
(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，
∴32＝a2＋(3)2－2a×3×cos30°，
∴a2－9a＋18＝0，解得a＝3或6.
当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°.
当a＝6时，由余弦定理，得cosA＝＝＝0.
∴A＝90°，∴C＝60°.
题型二 已知三边(三边关系)解三角形
例2　(1)在△ABC中，若a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　)
A． B． C． D．
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a－b＝4，a＋c＝2b，
且最大角为120°，求此三角形的最大边长．
[解析]　(1)因为c 所以cosC＝＝＝，所以C＝，故选B．
(2)已知a－b＝4，且a>b，且a＝b＋4，又a＋c＝2b，则b＋4＋c＝2b，所以b＝c＋4，
则b>c，从而a>b>c，所以a为最大边，A＝120°，b＝a－4，c＝a－8.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)，
即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14.又b＝a－4>0，所以a＝14.
即此三角形的最大边长为14.
[答案]　(1)B　(2)见解析
[条件探究]　若本例(1)中条件不变，如何求最大角的余弦值呢？
解　因为c 所以由余弦定理可得cosA＝＝＝＝.
故△ABC的最大角的余弦值为.
　已知三边求解三角形的方法
(1)已知三角形的三边求角时，可先利用余弦定理求解出各角的大小．
(2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．
在已知三边求三个角时，一般先求小角后求大角．

(1)在△ABC中，(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则此三角形的最大内角为________；
(2)在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．
答案　(1)120°　(2)见解析
解析　(1)由(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，得a∶b∶c＝7∶5∶3，∴边a最大．
又cosA＝＝－，∴A＝120°.
(2)解法一：由余弦定理的推论，得cosA＝＝＝，
设中线长为x，由余弦定理知：
x2＝2＋AB2－2××ABcosA＝42＋92－2×4×9×＝49，则x＝7.
所以，所求中线长为7.

解法二：在△ABC中，设AC边的中线长为x，如图由余弦定理可得在△ABC中，
有AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC，①
在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB×AD×cos∠BAD，②
①＋②可得2(AB2＋BC2)＝(2x)2＋AC2，
即2×(92＋72)＝(2x)2＋82，∴x＝7，
∴所求中线长为7.


题型三 判断三角形的形状
例3　在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，试确定△ABC的形状．
[解]　由2cosAsinB＝sinC，得
2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，
∴sin(A－B)＝0，又A与B均为△ABC的内角，
∴A＝B．
由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，得
(a＋b)2－c2＝3ab，∴a2＋b2－c2＝ab，
∴由余弦定理，得cosC＝，C＝60°，∴△ABC为等边三角形．
　利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项
(1)利用余弦定理(有时还要结合三角恒等变换等知识)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．

在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．
解　由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，
∵B＝60°，b＝，∴2＝a2＋c2－2accos60°.
∴(a－c)2＝0，a＝c，又B＝60°，
∴△ABC为等边三角形．

1．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cosB等于(　　)
A． B． C． D．
答案　B
解析　∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝a，∴cosB＝＝＝.
2．在△ABC中，已知a＝2，则bcosC＋ccosB等于(　　)
A．1 B． C．2 D．4
答案　C
解析　bcosC＋ccosB＝b·＋c·＝＝a＝2.
3．在△ABC中，若a＝＋1，b＝－1，c＝，则△ABC的最大角的度数为________．
答案　120°
解析　由c>a>b，知角C为最大角，则cosC＝＝－，∴C＝120°，
即此三角形的最大角为120°.
4．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，b＝，c＝1＋，且a2＝b2＋c2－2bcsinA，则边a＝________.
答案　2
解析　由已知及余弦定理，得sinA＝＝cosA，∴A＝45°，
∴a2＝b2＋c2－2bccos45°＝4，a＝2.
5．在△ABC中，b＝asinC，c＝acosB，试判断△ABC的形状．
解　由余弦定理知cosB＝，代入c＝acosB，
得c＝a·，∴c2＋b2＝a2，
∴△ABC是以A为直角的直角三角形．
又b＝asinC，∴b＝a·，∴b＝c，
∴△ABC也是等腰三角形．
综上所述，△ABC是等腰直角三角形．














第2课时　正弦定理



知识点　　　正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝.
利用正弦定理可以解决的两类解三角形问题：
①已知任意两角与一边，求其他两边和一角．
②已知任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进一步求出其他的边和角．

1．深入理解正弦定理
(1)适用范围：正弦定理对任意三角形都成立．
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
(3)揭示规律：正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．
若A 反之，若a (4)主要功能：实现三角形中边角关系的转化．
2．正弦定理的变形
设三角形的三边长为a，b，c，外接圆的半径为R，正弦定理有如下变形：
(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．
(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝.
(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC．
(4)＝＝＝.



3．三角形解的个数的确定
已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理．
(1)利用正弦定理讨论：若已知a，b，A，由正弦定理＝，得sinB＝.若sinB>1，无解；若sinB＝1，一解；若sinB<1，一解或两解．
(2)利用余弦定理讨论：已知a，b，A，由余弦定理a2＝c2＋b2－2cbcosA，即c2－(2bcosA)c＋b2－a2＝0，这是关于c的一元二次方程．若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形有一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解．
4．三角形形状的判定方法
判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理、余弦定理，化边为角(如：a＝2RsinA，a2＋b2－c2＝2abcosC等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系．如：sinA＝sinB⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin2A＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝等；二是利用正弦定理、余弦定理，化角为边，如：sinA＝，cosA＝等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦定理只适用于锐角三角形．(　　)
(2)在△ABC中必有asinA＝bsinB．(　　)
(3)在△ABC中，若A＞B，则必有sinA＞sinB．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√
2．做一做
(1)已知△ABC外接圆的半径是2，∠A＝60°，则BC边长为________．
(2)在△ABC中，若a＝14，b＝7，B＝60°，则C＝________.
(3)在△ABC中，若＝，则B＝________.
(4)在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝4，则＝________.
答案　(1)2　(2)75°　(3)45°　(4)



题型一 已知两角及一边解三角形
例1　已知△ABC中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角B，边b，c.
[解]　∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°，
又由正弦定理，得c＝＝10，
b＝＝＝20sin(60°＋45°)＝5(＋)，
∴B＝105°，b＝5(＋)，c＝10.
　
已知三角形的两角和任一边解三角形的基本思路
(1)当所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边．
(2)当所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．
注意：若已知角不是特殊角，往往先求出其正弦值(这时应注意角的转化，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．

(1)若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为________；
(2)已知三角形的两角分别是45°和60°，它们所夹边的长为1，则最小边的长为________．
答案　(1)2　(2)－1
解析　(1)在△ABC中，由＝，得b＝＝＝＝2.
(2)设△ABC的三个内角中，A＝45°，B＝60°，则C＝75°.
∵C>B>A，∴最小边为a.
∵c＝1，∴由正弦定理，得a＝＝＝＝－1，
即最小边的长为－1.



题型二 已知两边及一边的对角解三角形
例2　根据下列条件解三角形：
(1)b＝，B＝60°，c＝1；
(2)c＝，A＝45°，a＝2.
[解]　(1)∵＝，∴sinC＝＝＝.
∵b>c，B＝60°，∴C<60°，∴C为锐角，
∴C＝30°，A＝90°，∴a＝＝2.
(2)∵＝，∴sinC＝＝＝，∴C＝60°或120°.
当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1.
当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1.
∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°.
[变式探究]　在本例(1)中若改为b＝1，c＝，其他条件不变，又如何求解？
解　∵sinC＝＝×＝>1，故三角形无解．
　
已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．
(2)如果已知的角为大边所对的角，由三角形中“大边对大角，大角对大边”的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角(唯一)．
(3)如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论．

(1)在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是(　　)
A．{x|x>2} B．{x|x<2} C．{x|2 (2)已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，先判断三角形是否有解，有解的作出解答．
①b＝4，c＝8，B＝30°；
②a＝7，b＝8，A＝105°.
答案　(1)C　(2)见解析
解析　(1)解法一：要使三角形有两解，则a>b且sinA<1.
由正弦定理，得sinA＝＝x.
∴∴2 解法二：要使三角形有两解，则
即∴2 (2)①b＝4，c＝8，b 又csinB＝8sin30°＝4＝b，
即c>b＝csinB，所以本题有一解．
由正弦定理，得sinC＝＝＝1.
又c>b，C>B，所以30° 所以A＝180°－(B＋C)＝60°.所以a＝＝4.
②a＝7，b＝8，因为a90°，所以本题无解．
题型三 判断三角形的形状
例3　在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状．
[解]　解法一：∵A，B，C为三角形的内角，
∴A＝π－(B＋C)．
∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC．
∵sinA＝2sinBcosC，∴sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin(B－C)＝0.
∵－π ∵sin2A＝sin2B＋sin2C＝2sin2B，
∴sin22B＝2sin2B．∴2sinBcosB＝sinB．
∵sinB≠0，∴cosB＝.∴B＝.∴C＝，A＝.
∴△ABC为等腰直角三角形．
解法二：由正弦定理，得＝＝.
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2.∴A＝，B＋C＝.
∵sinA＝2sinBcosC，即sinA＝2sinBcos，
∴1＝2sin2B，∵B∈(0，π)，∴sinB＝，∴B＝，
∴△ABC为等腰直角三角形．

　判断三角形形状的方法
(1)判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断．
(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
(3)判断三角形的形状，主要看是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．

在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，则△ABC的形状是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
答案　D
解析　将a＝2RsinA，b＝2RsinB(R为△ABC的外接圆的半径)代入已知条件，
得sin2AtanB＝sin2BtanA，则＝.∵sinAsinB≠0，∴sin2A＝sin2B，
∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝，故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
题型四 三角形解的个数的判断
例4　已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．
(1)a＝10，b＝20，A＝80°；
(2)a＝2，b＝6，A＝30°.
[解]　(1)a＝10，b＝20，a 讨论如下：∵bsinA＝20sin80°>20sin60°＝10，∴a (2)a＝2，b＝6，a ∵bsinA＝6sin30°＝3，a>bsinA，∴bsinA 由正弦定理，得sinB＝＝＝，
又B∈(0，π)，∴B1＝60°，B2＝120°.
当B1＝60°时，C1＝90°，c1＝＝＝4；
当B2＝120°时，C2＝30°，c2＝＝＝2.
∴B1＝60°时，C1＝90°，c1＝4；B2＝120°时，C2＝30°，c2＝2.

从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，
以已知a，b和A，解三角形为例，用几何法探究如下：

续表



(1)已知△ABC中，b＝4，c＝2，C＝30°，那么解此三角形可得(　　)
A．一解 B．两解 C．无解 D．解的个数不确定
(2)满足a＝4，b＝3，A＝45°的△ABC的个数为________．
答案　(1)C　(2)1
解析　(1)解法一：由正弦定理和已知条件，得＝，
∴sinB＝.∵>1，∴此三角形无解．
解法二：∵c＝2，bsinC＝2，∴c
解法三：在角C的一边上确定顶点A，使AC＝b＝4，作∠ACD＝30°，以顶点A为圆心，AB＝c＝2为半径画圆，如图所示，该圆与CD没有交点，说明该三角形解的个数为0.
(2)因为A＝45°<90°，a＝4>3＝b，
所以△ABC的个数为1.
题型五 正弦定理与三角恒等变换的工具作用
例5　已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋asinC－b－c＝0.求A．
[解]　由正弦定理及acosC＋asinC－b－c＝0，
得sinAcosC＋sinAsinC－sinB－sinC＝0.
又sinB＝sin(A＋C)，于是sinAcosC＋sinAsinC－(sinAcosC＋cosAsinC)－sinC＝0，
得sinC(sinA－cosA－1)＝0，因为C∈(0，π)，所以sinC≠0，
即sinA－cosA＝1即sin＝，所以A－＝，即A＝.

正弦定理在研究三角形边角关系中，可以适当地进行转变，边转化成角或角转化为边，利用三角恒等变换或解方程求解．

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC．
(1)求角C的大小；
(2)求sinA－cos的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．


解　(1)由正弦定理及已知条件得
sinCsinA＝sinAcosC．
因为00，从而sinC＝cosC，则C＝.
(2)由(1)知，B＝－A，于是sinA－cos＝sinA－cos(π－A)
＝sinA＋cosA＝2sin.
因为0 从而当A＋＝，即A＝时，2sin取得最大值2.
综上所述，sinA－cos的最大值为2，
此时A＝，B＝.
题型六 正、余弦定理的综合运用
例6　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
[解]　(1)2cosC(acosB＋bcosA)＝c，
由正弦定理，得2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，
2cosCsin(A＋B)＝sinC．
因为A＋B＋C＝π，A，B，C∈(0，π)，
所以sin(A＋B)＝sinC>0，所以2cosC＝1，cosC＝.
因为C∈(0，π)，所以C＝.
(2)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC,7＝a2＋b2－2ab·，
即(a＋b)2－3ab＝7，
S＝absinC＝ab＝，所以ab＝6，
所以(a＋b)2－18＝7，a＋b＝5，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋.
　三角形面积计算的解题思路
对于此类问题，一般用公式S＝absinC＝bcsinA＝acsinB进行求解，可分为以下两种情况：
(1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．
(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解．

如图所示，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．

解　在△ADC中，由余弦定理的推论，
得cos∠ADC＝＝＝－，
因为∠ADC∈(0°，180°)，所以∠ADC＝120°，
所以∠ADB＝180°－120°＝60°.
在△ABD中，由正弦定理，得
AB＝＝＝＝5.

1．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝2asinB，则角A等于(　　)
A．30° B．45° C．60° D．75°
答案　A
解析　∵b＝2asinB，∴利用正弦定理的变式得sinB＝2sinAsinB．
∵sinB≠0，A为锐角，∴sinA＝，∴A＝30°.
2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于(　　)
A．4 B．4 C．4 D．
答案　C
解析　A＝180°－(B＋C)＝45°，然后再利用正弦定理求出b＝4.
3．在△ABC中，若sinA>sinB，则角A与角B的大小关系为(　　)
A．A>B B．A 答案　A
解析　由sinA>sinB⇔2RsinA>2RsinB⇔a>b⇔A>B．
4．在△ABC中，已知a＝5，c＝10，A＝30°，则B＝________.
答案　105°或15°
解析　根据正弦定理＝，得sinC＝＝＝.
∴C＝45°或135°，当C＝45°时，B＝105°；当C＝135°时，B＝15°.
5．在△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，且A＝60°，a＝，b＝4，那么满足条件的△ABC有几个？
解　由正弦定理＝，得＝.
∴sinB＝＝>1，∴无解．
∴没有满足上述条件的三角形．