精品高中数学一轮专题-平面向量的基本定理及坐标表示二（带答案）

这是一份精品高中数学一轮专题-平面向量的基本定理及坐标表示二（带答案），
课时跟踪检测 平面向量基本定理及坐标表示一、基础练——练手感熟练度1．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若eq \o(MN,\s\up7(―→))＝－3a，则点N的坐标为(　　)A．(2,0)　　　　　　　　 B．(－3,6)C．(6,2) D．(－2,0)解析：选A　设N(x，y)，则(x－5，y＋6)＝(－3,6)，∴x＝2，y＝0.2．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与eq \o(AB,\s\up7(―→))同方向的单位向量是(　　)A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))解析：选A　eq \o(AB,\s\up7(―→))＝eq \o(OB,\s\up7(―→))－eq \o(OA,\s\up7(―→))＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与eq \o(AB,\s\up7(―→))同方向的单位向量为eq \f(eq \o(AB,\s\up7(―→)),|eq \o(AB,\s\up7(―→))|)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))).3．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的(　　)A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A　由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件．4．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1＋sin θ))，若a∥b，则锐角θ＝(　　)A.eq \f(π,6) B．eq \f(π,4)C.eq \f(π,3) D．eq \f(5π,12)解析：选B　因为a∥b，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×eq \f(1,2)＝0，得sin2θ＝eq \f(1,2)，所以 sin θ＝±eq \f(\r(2),2)，故锐角θ＝eq \f(π,4).5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点．若DC＝3DF，设eq \o(AC,\s\up7(―→))＝a，eq \o(BD,\s\up7(―→))＝b，则eq \o(AF,\s\up7(―→))＝(　　)A.eq \f(1,4)a＋eq \f(1,2)b B．eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)bC.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b D．eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b解析：选B　如图所示，平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点，且DC＝3DF，∴eq \o(DF,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \o(DC,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)(eq \o(OC,\s\up7(―→))－eq \o(OD,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,6)(eq \o(AC,\s\up7(―→))－eq \o(BD,\s\up7(―→)))，eq \o(AD,\s\up7(―→))＝eq \o(OD,\s\up7(―→))－eq \o(OA,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \o(BD,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \o(AC,\s\up7(―→)).则eq \o(AF,\s\up7(―→))＝eq \o(AD,\s\up7(―→))＋eq \o(DF,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2) eq \o(BD,\s\up7(―→))＋\f(1,2) eq \o(AC,\s\up7(―→))))＋eq \f(1,6)(eq \o(AC,\s\up7(―→))－eq \o(BD,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,3)eq \o(BD,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \o(AC,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b.故选B.二、综合练——练思维敏锐度1．已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0，若a∥b，则eq \f(m,n)＝(　　)A．－ eq \f(1,2) B．eq \f(1,2)C．－2 D．2解析：选C　因为a∥b，所以a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λn＝m，,－λ＝2，))得eq \f(m,n)＝－2.2．已知向量eq \o(OA,\s\up7(―→))＝(k,12)，eq \o(OB,\s\up7(―→))＝(4,5)，eq \o(OC,\s\up7(―→))＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　)A．－eq \f(2,3) B．eq \f(4,3)C.eq \f(1,2) D．eq \f(1,3)解析：选A　eq \o(AB,\s\up7(―→))＝eq \o(OB,\s\up7(―→))－eq \o(OA,\s\up7(―→))＝(4－k，－7)，eq \o(AC,\s\up7(―→))＝eq \o(OC,\s\up7(―→))－eq \o(OA,\s\up7(―→))＝(－2k，－2)．∵A，B，C三点共线，∴eq \o(AB,\s\up7(―→))，eq \o(AC,\s\up7(―→))共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－eq \f(2,3).3.如图，已知eq \o(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \o(AC,\s\up7(―→))＝b，eq \o(BC,\s\up7(―→))＝4eq \o(BD,\s\up7(―→))，eq \o(CA,\s\up7(―→))＝3eq \o(CE,\s\up7(―→))，则eq \o(DE,\s\up7(―→))＝(　　)A.eq \f(3,4)b－eq \f(1,3)a B.eq \f(5,12)a－eq \f(3,4)bC.eq \f(3,4)a－eq \f(1,3)b D.eq \f(5,12)b－eq \f(3,4)a解析：选D　eq \o(DE,\s\up7(―→))＝eq \o(DC,\s\up7(―→))＋eq \o(CE,\s\up7(―→))＝eq \f(3,4)eq \o(BC,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \o(CA,\s\up7(―→))＝eq \f(3,4)(eq \o(AC,\s\up7(―→))－eq \o(AB,\s\up7(―→)))－eq \f(1,3)eq \o(AC,\s\up7(―→))＝eq \f(5,12)eq \o(AC,\s\up7(―→))－eq \f(3,4)eq \o(AB,\s\up7(―→))＝eq \f(5,12)b－eq \f(3,4)a.故选D.4．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设eq \o(AD,\s\up7(―→))＝λeq \o(AB,\s\up7(―→))＋μeq \o(AC,\s\up7(―→)) (λ，μ∈R)，则eq \f(λ,μ)＝(　　)A.eq \f(2\r(3),3) B．eq \f(\r(3),3)C．3 D．2eq \r(3)解析：选A　如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B(1,0)，C(0,2)，因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，eq \r(3)m)(m≠0)．eq \o(AD,\s\up7(―→))＝(m，eq \r(3)m)＝λeq \o(AB,\s\up7(―→))＋μeq \o(AC,\s\up7(―→))＝λ(1,0)＋μ(0,2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝eq \f(\r(3),2)m，所以eq \f(λ,μ)＝eq \f(2\r(3),3).5．已知向量eq \o(OA,\s\up7(―→))＝(3,1)，eq \o(OB,\s\up7(―→))＝(－1,3)，eq \o(OC,\s\up7(―→))＝meq \o(OA,\s\up7(―→))－neq \o(OB,\s\up7(―→)) (m>0，n>0)，若m＋n＝1，则|eq \o(OC,\s\up7(―→))|的最小值为(　　)A.eq \f(\r(5),2) B．eq \f(\r(10),2)C.eq \r(5) D．eq \r(10)解析：选C　设eq \o(OC,\s\up7(―→))＝(x，y)．∵eq \o(OA,\s\up7(―→))＝(3,1)，eq \o(OB,\s\up7(―→))＝(－1,3)，eq \o(OC,\s\up7(―→))＝meq \o(OA,\s\up7(―→))－neq \o(OB,\s\up7(―→))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3m＋n，,y＝m－3n，))∴|eq \o(OC,\s\up7(―→))|＝eq \r(3m＋n2＋m－3n2)＝eq \r(10m2＋n2)≥ eq \r(10×\f(m＋n2,2))＝ eq \r(10×\f(1,2))＝eq \r(5)，当且仅当m＝n时取等号，此时|eq \o(OC,\s\up7(―→))|取得最小值eq \r(5)，故选C.6．在△OAB中，若点C满足eq \o(AC,\s\up7(―→))＝2eq \o(CB,\s\up7(―→))，eq \o(OC,\s\up7(―→))＝λeq \o(OA,\s\up7(―→))＋μeq \o(OB,\s\up7(―→))，则eq \f(1,λ)＋eq \f(1,μ)＝(　　)A.eq \f(1,3) B．eq \f(2,3)C.eq \f(2,9) D．eq \f(9,2)解析：选D　在△OAB中，∵eq \o(AC,\s\up7(―→))＝2eq \o(CB,\s\up7(―→))，∴eq \o(OC,\s\up7(―→))－eq \o(OA,\s\up7(―→))＝2(eq \o(OB,\s\up7(―→))－eq \o(OC,\s\up7(―→)))，即3eq \o(OC,\s\up7(―→))＝eq \o(OA,\s\up7(―→))＋2eq \o(OB,\s\up7(―→))，∴eq \o(OC,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \o(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \o(OB,\s\up7(―→)).又知eq \o(OC,\s\up7(―→))＝λeq \o(OA,\s\up7(―→))＋μeq \o(OB,\s\up7(―→))，∴λ＝eq \f(1,3)，μ＝eq \f(2,3)，∴eq \f(1,λ)＋eq \f(1,μ)＝3＋eq \f(3,2)＝eq \f(9,2).故选D.7.如图，在正方形ABCD中，M是BC的中点，若eq \o(AC,\s\up7(―→))＝λeq \o(AM,\s\up7(―→))＋μeq \o(BD,\s\up7(―→))，则λ＋μ＝(　　)A.eq \f(4,3) B．eq \f(5,3)C.eq \f(15,8) D．2解析：选B　以点A为坐标原点，分别以eq \o(AB,\s\up7(―→))，eq \o(AD,\s\up7(―→))的方向为x，y轴的正方向，建立平面直角坐标系(图略)．设正方形的边长为2，则A(0,0)，C(2,2)，M(2,1)，B(2,0)，D(0,2)，所以eq \o(AC,\s\up7(―→))＝(2,2)，eq \o(AM,\s\up7(―→))＝(2,1)，eq \o(BD,\s\up7(―→))＝(－2,2)，所以λeq \o(AM,\s\up7(―→))＋μeq \o(BD,\s\up7(―→))＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为eq \o(AC,\s\up7(―→))＝λeq \o(AM,\s\up7(―→))＋μeq \o(BD,\s\up7(―→))，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2λ－2μ＝2，,λ＋2μ＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,3)，,μ＝\f(1,3)，))所以λ＋μ＝eq \f(5,3).故选B.8．在△ABC中，点D是AC上一点，且eq \o(AC,\s\up7(―→))＝4eq \o(AD,\s\up7(―→))，P为BD上一点，向量eq \o(AP,\s\up7(―→))＝λeq \o(AB,\s\up7(―→))＋μeq \o(AC,\s\up7(―→)) (λ>0，μ>0)，则eq \f(4,λ)＋eq \f(1,μ)的最小值为(　　)A．16 B．8C．4 D．2解析：选A　由eq \o(AP,\s\up7(―→))＝λeq \o(AB,\s\up7(―→))＋μeq \o(AC,\s\up7(―→))及eq \o(AC,\s\up7(―→))＝4eq \o(AD,\s\up7(―→))得eq \o(AP,\s\up7(―→))＝λeq \o(AB,\s\up7(―→))＋4μeq \o(AD,\s\up7(―→))，又知点P在BD上，∴λ＋4μ＝1.∴eq \f(4,λ)＋eq \f(1,μ)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,λ)＋\f(1,μ)))·(λ＋4μ)＝4＋4＋eq \f(16μ,λ)＋eq \f(λ,μ)＝8＋eq \f(16μ,λ)＋eq \f(λ,μ)，又知λ>0，μ>0，∴eq \f(16μ,λ)＋eq \f(λ,μ)≥2eq \r(16)＝8，当且仅当eq \f(16μ,λ)＝eq \f(λ,μ)，即λ＝4μ时，等号成立，故eq \f(4,λ)＋eq \f(1,μ)的最小值为16，故选A.9.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若eq \o(OC,\s\up7(―→))＝meq \o(OA,\s\up7(―→))＋neq \o(OB,\s\up7(―→))，则m＋n的取值范围是(　　)A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－1,0)解析：选D　由题意得，eq \o(OC,\s\up7(―→))＝keq \o(OD,\s\up7(―→)) (k