精品高中数学一轮专题-平面向量的概念及其运算二（带答案）

这是一份精品高中数学一轮专题-平面向量的概念及其运算二（带答案），共8页。试卷主要包含了基础练——练手感熟练度，综合练——练思维敏锐度等内容，欢迎下载使用。
平面向量的概念及线性运算课时跟踪检测一、基础练——练手感熟练度1．(多选)设a，b是非零向量，记a与b所成的角为θ，下列四个条件中，使＝成立的充要条件是(　　)A．a∥b   B．θ＝0C．a＝2b  D．θ＝π解析：选BC　＝等价于非零向量a与b同向共线，即θ＝0，故B正确．对于选项C，a＝2b，则a与b同向共线，故C正确．2．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)A．   B．C.   D．解析：选A　由题意得＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝.3．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　)A．a与λa的方向相反   B．a与λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a|  D．|－λa|≥|λ|·a解析：选B　对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．4.如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)A．0   B．C．   D．解析：选D　由题图知＋＋＝＋＋＝＋＝.5．在△ABC中，O为△ABC的重心，若＝λ＋μ，则λ－2μ＝(　　)A．－   B．－1C.  D．－解析：选D　如图，延长BO交AC于点M，∵点O为△ABC的重心，∴M是AC的中点，∴＝＝＝＋＝－＋(－)＝－＋，又＝λ＋μ，∴λ＝－，μ＝，∴λ－2μ＝－，故选D.二、综合练——练思维敏锐度 1．已知两个非零向量a，b互相垂直，若向量m＝4a＋5b与n＝2a＋λb共线，则实数λ的值为(　　)A．5   B．3C.  D．2解析：选C　∵a，b是非零向量，且互相垂直，∴4a＋5b≠0，m≠0.∵m，n共线，∴n＝μm，即2a＋λb＝μ(4a＋5b)，∴解得λ＝.2．设平面向量a，b不共线，若＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则(　　)A．A，B，D三点共线   B．A，B，C三点共线C．B，C，D三点共线  D．A，C，D三点共线解析：选A　∵＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，∴＝＋＋＝(a＋5b)＋(－2a＋8b)＋3(a－b)＝2(a＋5b)＝2，∴与共线，即A，B，D三点共线．3．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2＝2＋，则(　　)A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的反向延长线上C．点P在线段AB的延长线上D．点P不在直线AB上解析：选B　因为2＝2＋，所以2＝，所以点P在线段AB的反向延长线上．4．(多选)在△ABC中，点E，F分别是边BC和AC的中点，P是 AE与BF的交点，则有(　　)A．＝＋    B．＝2C．＝＋   D．＝＋解析：选AC　如图，根据三角形中线性质和平行四边形法则知，＝＋＝＋＝＋(－)＝(＋)，A是正确的；因为EF是中位线，所以＝2，B是错误的；设AB的中点为G，则根据三角形重心性质知，CP＝2PG，所以＝＝×         ＝，所以C是正确的，D错误．5．设向量a，b不共线，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为(　　)A．－2   B．－1C．1  D．2解析：选B　因为＝a＋b，＝a－2b，所以＝＋＝2a－b.又因为A，B，D三点共线，所以，共线．设＝λ，所以2a＋pb＝λ(2a－b)，所以2＝2λ，p＝－λ，即λ＝1，p＝－1.6．(多选)已知向量＝(1，－3)，＝(－2,1)，＝(t＋3，t－8)，若点A，B，C能构成三角形，则实数t可以为(　　)A．－2  B．C．1  D．－1解析：选ABD　若点A，B，C能构成三角形，则A，B，C三点不共线，故向量，不共线．由于向量＝(1，－3)，＝(－2,1)，＝(t＋3，t－8)，故＝－＝(－3,4)，＝－＝(t＋5，t－9)，若A，B，C三点不共线，则－3(t－9)－4(t＋5)≠0，∴t≠1.7．已知点O为△ABC的外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于(　　)A．30°   B．45°C．60°  D．90°解析：选A　由＋＋＝0，得＋＝，由O是△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，故∠CAB＝30°，选A.8．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为(　　)A．1   B．－C．1或－  D．－1或－解析：选B　由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k<0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.又因为k<0，所以λ<0，故λ＝－.9．在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且＝＋，则＝(　　)A.  B．C.  D．解析：选B　如图，由已知得，点D在△ABC中与AB平行的中位线上，且在靠近BC边的三等分点处，从而有S△ABD＝S△ABC，S△ACD＝ S△ABC，S△BCD＝S△ABC＝S△ABC，所以＝.10.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点或终点的向量中，与向量相等的向量有________个．解析：根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量相等的向量有，，，共3个．答案：3   11.如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且＋＝x＋y，则＋的最小值为________．解析：易知x，y均为正数，设＝m＋n，＝λ＋μ，∵B，C，D共线，∴m＋n＝1，同理，λ＋μ＝1.∵＋＝x＋y＝(m＋λ)＋(n＋μ)，∴x＋y＝m＋n＋λ＋μ＝2.∴＋＝(x＋y)＝≥＝，当且仅当y＝2x时等号成立，则＋的最小值为.答案：12．在△ABC中，P为BC的中点，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＋a＋b＝0，则△ABC的形状为________．解析：∵在△ABC中，P为BC的中点，∴＝－ (＋)，又∵c＋a＋b＝0，＝＝(－)，∴c－a(＋)＋b(－)＝0，∴－＝0，即＝，又， 不共线，∴解得a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．答案：等边三角形13．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD＝1，CD＝，∴＝2.∵点E在线段CD上，∴＝λ (0≤λ≤1)．∵＝＋，又＝＋μ＝＋2μ＝＋，∴＝1，即μ＝.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤，即μ的取值范围是.答案：14．如图，O，A，B三点不共线，＝2，＝3，设＝a，＝b.(1)试用a，b表示向量；(2)设线段AB，OE，CD的中点分别为L，M，N，试证明：L，M，N三点共线．解：(1)∵B，E，C三点共线，∴＝x＋(1－x)＝2xa＋(1－x)b，①同理，∵A，E，D三点共线，可得＝ya＋3(1－y)b，②由①②，得解得x＝，y＝，∴＝a＋b.(2)证明：∵＝，＝＝，＝(＋)＝，∴＝－＝，＝－＝，∴＝6，又∵与有公共点M，∴L，M，N三点共线．15．已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值；若不存在，请说明理由．解：由题设知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.因为a，b不共线，所以有解得t＝.故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上．