新教材(辅导班)高一数学寒假讲义07《6.2.1-2.2平面向量的加减运算》课时(原卷版)学案

6.2.1　向量的加法运算

知识点一　　　向量的加法

(1)向量加法的定义

求两个向量和的运算，叫做向量的加法．

(2)向量加法的运算法则

知识点二　　向量的三角形不等式

对任意两个向量a，b，均有|a＋b|≤|a|＋|b|.

当a，b同向时有|a＋b|＝|a|＋|b|；当a，b反向时有|a＋b|＝||a|－|b||.

知识点三　　　向量加法的运算律

(1)交换律：a＋b＝b＋a；

(2)结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．

1．准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则

(1)两个法则的使用条件不同

三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．

(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．

如图所示：＝＋(平行四边形法则)，又因为＝，

所以＝＋(三角形法则)．

(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”，这个方法可推广到多个向量相加的情形；在使用平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．

2．向量a＋b与非零向量a，b的模及方向的关系

(1)当a与b不共线时，a＋b的方向与a，b的方向都不相同，且|a＋b|＜|a|＋|b|.

(2)当a与b同向时，a＋b，a，b的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|.

(3)当a与b反向时，若|a|≥|b|，则a＋b的方向与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|.

若|a|＜|b|，则a＋b的方向与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个向量相加结果可能是一个数量．(　　)

(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．(　　)

(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．(　　)

2．做一做

(1)对任意四边形ABCD，下列式子中不等于的是(　　)

A.＋      B.＋＋       C.＋＋    D.＋＋

(2)如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|等于(　　)

A．1         B．2       C.        D.

(3)如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b＋c.

题型一  向量的三角形和平行四边形法则

例1　如下图中(1)，(2)所示，试作出向量a与b的和．

(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤

①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合．

②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．

(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤

①平移两个不共线的向量使之共起点．

②以这两个已知向量为邻边作平行四边形．

③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．

(1)如图，已知a，b，求作a＋b；

(2)如图所示，已知向量a，b，c，试作出向量a＋b＋c.

题型二  向量的加法运算

例2　如图，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列三式：

(1)＋＋；   (2)＋＋；   (3)＋＋.

　解决向量加法运算时应关注的两点

(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．

(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.

化简或计算：

(1)＋＋；               (2)＋＋＋＋.

题型三  利用向量加法证明几何问题

例3　已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且＝，＝.

求证：四边形ABCD是平行四边形．

　怎样用向量方法证明几何问题

用向量方法证明几何问题，首先要把几何问题中的边转化成相应的向量，通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系，然后再还原成几何问题．

如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的反向延长线及延长线上取点E，F，使BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形．

题型四  向量加法的实际应用

例4　在水流速度为向东10 km/h的河中，如果要使船实际航行的速度的大小为10 km/h，方向垂直于对岸渡河，求船行驶速度的大小与方向．

　应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤

在某地抗震救灾中，一救护车从A地按北偏东35°的方向行驶800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向行驶800 km送往C地医院，求这辆救护车行驶的路程及两次位移的和．

1．下列等式错误的是(　　)

A．a＋0＝0＋a＝a          B.＋＋＝0

C.＋＝0              D.＋＝＋＋

2．设P是△ABC所在平面内一点，且＋＝＋，则(　　)

A.＋＋＝0     B.＋＝0   C.＋＝0     D.＋＝0

3．若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．

4．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|A|＝1，则|＋|＝________.

5．如图，在正六边形OABCDE中，＝a，＝b，试用向量a，b将，，表示出来．

6.2.2　向量的减法运算

知识点一　　　相反向量

知识点二　　　向量的减法

1．向量减法的运算法则

(1)向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算，可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．

(2)两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得：用平行四边形法则时，如图，两个向量也是共起点，和向量是起点与它们的起点重合的那条对角线()，而差向量是另一条对角线()，方向是从减向量指向被减向量；用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点相重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．

2．非零向量a，b的差向量的三角不等式

(1)当a，b不共线时，如图①，作＝a，＝b，则a－b＝－＝.

(2)当a，b共线且同向时，

若|a|>|b|，则a－b与a，b同向(如图②)，于是|a－b|＝|a|－|b|.

若|a|<|b|，则a－b与a，b反向(如图③)，于是|a－b|＝|b|－|a|.

(3)当a，b共线且反向时，a－b与a同向，与b反向．于是|a－b|＝|a|＋|b|(如图④)．

可见，对任意两个向量，总有向量不等式成立：

||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个向量的差仍是一个向量．(　　)

(2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．(　　)

(3)向量a与向量b的差与向量b与向量a的差互为相反向量．(　　)

(4)相反向量是共线向量．(　　)

2．做一做

(1)非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是(　　)

A．m＝n       B．m＝－n      C．|m|＝|n|        D．方向相反

(2)－＋＝________.

(3)四边形ABCD是边长为1的正方形，则|－|＝________.

题型一  向量的减法运算

例1　化简：

(1)(－)－(－)；      (2)(＋＋)－(－－)．

(1)向量减法运算的常用方法

(2)向量加减法化简的两种形式

①首尾相连且为和；

②起点相同且为差．

做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．

化简下列各式：

(1)－－；      (2)＋－；       (3)－－.

题型二  向量减法的几何意义

例2　如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及.

[结论探究]　若例2条件不变，试用a，b，c表示向量.

　求作两个向量的差向量的两种思路

(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．

(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．

已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量等于(　　)

A．a＋b＋c       B．a－b＋c      C．a＋b－c        D．a－b－c

题型三  向量加法、减法的综合应用

例3　如图，O为△ABC的外心，H为垂心．求证：＝＋＋.

　用几个基本向量表示其他向量的一般步骤

(1)观察待表示的向量位置；

(2)寻找相应的平行四边形或三角形；

(3)运用法则找关系，化简得结果．

如图，已知D，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的中点．求证：＋＋＝0.

1．在菱形ABCD中，下列等式中不成立的是(　　)

A.－＝      B.－＝    C.－＝      D.－＝

2．如图所示，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则－等于(　　)

A.         B.         C.          D.

3．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(　　)

A.＝＋   B.＝－

C.＝－＋   D.＝－－

4．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.

5．已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示.