新教材(辅导班)高一数学寒假讲义09《6.2.4向量的数量积》课时(含解析) 学案

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知识点一 向量的夹角
知识点二 向量数量积的概念
知识点三 投影向量
如图1，设a，b是两个非零向量，eq \(AB,\s\up16(→))=a，eq \(CD,\s\up16(→))=b，我们考虑如下的变换：过eq \(AB,\s\up16(→))的起点A和终点B，分别作eq \(CD,\s\up16(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq \(A1B1,\s\up16(→))，我们称上述变换为向量a向向量beq \(□,\s\up4(01))投影，eq \(A1B1,\s\up16(→))叫做向量a在向量b上的eq \(□,\s\up4(02))投影向量．
如图2，我们可以在平面内任取一点O，作eq \(OM,\s\up16(→))=a，eq \(ON,\s\up16(→))=b.过点M作直线ON的垂线，
垂足为M1，则eq \(OM1,\s\up16(→))就是向量a在向量b上的投影向量．
知识点四 向量的数量积的性质和运算律
(1)向量的数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
①a·e=e·a=eq \(□,\s\up4(01))|a|csθ.
②a⊥b⇔eq \(□,\s\up4(02))a·b=0.
③当a与b同向时，a·b=eq \(□,\s\up4(03))|a||b|.
当a与b反向时，a·b=eq \(□,\s\up4(04))－|a||b|.
④a·a=eq \(□,\s\up4(05))|a|2或|a|=eq \r(a·a)=eq \r(a2).
⑤csθ=eq \(□,\s\up4(06))eq \f(a·b,|a||b|).
⑥|a·b|eq \(□,\s\up4(07))≤|a||b|.
(2)向量数量积的运算律
①eq \(□,\s\up4(08))a·b=b·a(交换律)．
②(λa)·b=eq \(□,\s\up4(09))λ(a·b)=eq \(□,\s\up4(10))a·(λb)(结合律)．
③eq \(□,\s\up4(11))(a＋b)·c=a·c＋b·c(分配律)．
1．对数量积的理解
(1)求a，b的数量积需知道三个量，即|a|，|b|及a，b的夹角，这三个量有时并不是直接给出来的，需根据题意去巧妙求解．
(2)两个向量的数量积是两个向量之间的运算，其结果不再是向量，而是数量，它的符号由夹角确定，当夹角为锐角或0时，符号为正；当夹角为钝角或π时，符号为负；当夹角为直角时，其值为零．
向量的投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．
(3)两个向量a，b的数量积与代数中两个数a，b的乘积ab是两码事，但表面看来又有点相似，因此要注意两个向量a，b的数量积是记作a·b，中间的实心小圆点不能省略，也不能把实心小圆点用乘号“×”代替，写成a×b.
2．要灵活掌握向量数量积的性质
(1)a⊥b⇔a·b=0，既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算．
(2)a·a=a2=|a|2与|a|=eq \r(|a|2)=eq \r(a2)也用来求向量的模，以实现实数运算与向量运算的相互转化．
(3)用csθ=eq \f(a·b,|a||b|)求两向量的夹角，且夹角的取值与a·b的符号有关．
设两个非零向量a与b的夹角为θ，则
当θ=0时，csθ=1，a·b=|a||b|；
当θ为锐角时，csθ>0，a·b>0；
当θ为钝角时，csθ<0，a·b<0；
当θ为直角时，csθ=0，a·b=0；
当θ=π时，csθ=－1，a·b=－|a||b|.
(4)|a·b|≤|a||b|可以用来通过构造向量来证明不等式问题或解决最值问题．
(5)①向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c=b·c，但得不到a=b.
②(a·b)c≠a(b·c)．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a·b=a·c且a≠0，则b=c.( )
(2)若a·b=0，则a=0或b=0.( )
(3)若a⊥b，则a·b=0.( )
(4)向量a在b上的投影向量是一个模等于|acsθ|(θ是a与b的夹角)，方向与b相同或相反的一个向量．( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．做一做
(1)若向量a，b的夹角为30°，则向量－a，－b的夹角为( )
A．60° B．30° C．120° D．150°
(2)已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|=2，|b|=eq \r(3)，则向量a和向量b的数量积a·b=________.
(3)已知向量a，b满足|b|=2，a与b的夹角为60°，设b在a上的投影向量是c，则|c|=________.
(4)若向量a，b的夹角为120°，|a|=1，|b|=3，则|5a－b|=________.
答案 (1)B (2)3 (3)1 (4)7
题型一 平面向量数量积的概念
例1 (1)已知a，b，c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数是( )
①|a·b|=|a||b|⇔a∥b；
②a，b反向⇔a·b=－|a||b|；
③a⊥b⇔|a＋b|=|a－b|；
④|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|.
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知|a|=5，|b|=2，若：①a∥b； ②a⊥b； ③a与b的夹角为30°.
分别求a·b.
[解析] (1)①∵a·b=|a||b|csθ，∴由|a·b|=|a||b|及a，b均为非零向量可得|csθ|=1，∴θ=0或θ=π，∴a∥b，且以上各步均可逆，故命题①是真命题；
②若a，b反向，则a，b的夹角为π，∴a·b=|a||b|csπ=－|a||b|，且以上各步均可逆，故命题②是真命题；
③当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，则以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形一定为矩形，于是它的两对角线的长度相等，即有|a＋b|=|a－b|.反过来，若|a＋b|=|a－b|，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，∴a⊥b，因此命题③也是真命题；④当|a|=|b|但是a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|a·c|≠|b·c|.反过来，由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|，故命题④是假命题．故选C.
(2)①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°，∴a·b=|a||b|cs0°=5×2×1=10；
若a与b反向，则它们的夹角为180°，∴a·b=|a||b|cs180°=5×2×(－1)=－10.
②当a⊥b时，则它们的夹角为90°，∴a·b=|a||b|cs90°=5×2×0=0.
③当a与b的夹角为30°时，a·b=|a||b|cs30°=5×2×eq \f(\r(3),2)=5eq \r(3).
[答案] (1)C (2)见解析
(1)求平面向量的数量积的一般步骤
(2)a与b垂直当且仅当a·b=0.
(3)非零向量a与b共线当且仅当a·b=±|a||b|.
(1)已知下列命题：
①若a2＋b2=0，则a=b=0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b=0，则|a·c|=|b·c|；③|a||b|0，则a与b的夹角为锐角．
其中判断正确的是________．
(2)给出下列命题：
①在△ABC中，若eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))<0，则△ABC是锐角三角形；
②在△ABC中，若eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))>0，则△ABC是钝角三角形；
③△ABC是直角三角形⇔eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))=0.
其中，正确命题的序号是________．
答案 (1)①② (2)②
解析 (1)对于①，∵a2＋b2=0，∴|a|2＋|b|2=0，∴|a|=|b|=0，∴a=b=0，故①正确；
对于②，∵a＋b=0，∴a与b互为相反向量，设a与c的夹角为θ，则b与c的夹角为π－θ，则a·c=|a||c|csθ，b·c=|b||c|cs(π－θ)=－|b||c|csθ，∴|a·c|=|b·c|，故②正确；
对于③，由于|a·b|=|a||b||csθ|≤|a||b|，故③错误；
对于④，由于a·a·a=|a|2a，其结果为向量，故④错误；
对于⑤，当a与b为同向的非零向量时，a·b=|a||b|cs0=|a||b|>0，但夹角不是锐角，故⑤错误．
(2)利用向量数量积的符号，可以判断向量的夹角是锐角、直角，还是钝角．
①∵eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))<0，∴eq \(BA,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))=－eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))>0，
∴∠B是锐角，但并不能断定其余的两个角也是锐角．
所以推不出△ABC是锐角三角形．
故命题①是假命题．
②∵eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))>0，∴eq \(BA,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))=－eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))<0，
∠B是钝角，因而△ABC是钝角三角形．故命题②是真命题．
③若△ABC是直角三角形，则直角可以是∠A，也可以是∠B，∠C.
而eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))=0仅能保证∠B是直角．故命题③是假命题.
题型二 投影向量
例2 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=2，∠ABC=30°，D为BC的中点．
(1)求eq \(BA,\s\up16(→))在eq \(CD,\s\up16(→))上的投影向量；
(2)求eq \(CD,\s\up16(→))在eq \(BA,\s\up16(→))上的投影向量．
[解] (1)如图，连接AD.
∵D为BC的中点，AB=AC，∴AD⊥BC.设与eq \(CD,\s\up16(→))同方向的单位向量为e.
又BD=DC=eq \r(3)，且eq \(BA,\s\up16(→))与eq \(CD,\s\up16(→))的夹角为150°，∴eq \(BA,\s\up16(→))在eq \(CD,\s\up16(→))上的投影向量为
|eq \(BA,\s\up16(→))|cs150°e=－eq \r(3)e=－eq \r(3)eq \f(\(CD,\s\up16(→)),|\(CD,\s\up16(→))|)=－eq \(CD,\s\up16(→))=eq \(BD,\s\up16(→)).
(2)如图，延长CB至点M，使BM=CD，过点M作AB延长线的垂线MN，并交AB的延长线于点N.
易知eq \(BM,\s\up16(→))=eq \(CD,\s\up16(→))，BN=eq \f(3,2).eq \(CD,\s\up16(→))在eq \(BA,\s\up16(→))上的投影向量即为eq \(BM,\s\up16(→))在eq \(BA,\s\up16(→))上的投影向量．
又MN⊥BN，BN=eq \f(3,2)，eq \(BM,\s\up16(→))与eq \(BA,\s\up16(→))的夹角为150°，故eq \(BM,\s\up16(→))在eq \(BA,\s\up16(→))上的投影向量为eq \(BN,\s\up16(→))=－eq \f(3,4)eq \(BA,\s\up16(→))，
即eq \(CD,\s\up16(→))在eq \(BA,\s\up16(→))上的投影向量为－eq \f(3,4)eq \(BA,\s\up16(→)).
求一个向量在另一个向量上的投影向量时，关键是作出恰当的垂线，根据题意确定向量的模及两向量的夹角．
在△ABC中，已知|eq \(AB,\s\up16(→))|=|eq \(AC,\s\up16(→))|=6，且eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(AC,\s\up16(→))=18，则eq \(BA,\s\up16(→))在eq \(BC,\s\up16(→))上的投影向量为________(用eq \(BC,\s\up16(→))表示)．
答案 eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up16(→))
解析 设∠A=θ，∵eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(AC,\s\up16(→))=|eq \(AB,\s\up16(→))||eq \(AC,\s\up16(→))|csθ=18，
∴csθ=eq \f(1,2)，∴θ=60°.
又∵|eq \(AB,\s\up16(→))|=|eq \(AC,\s\up16(→))|，∴△ABC为等边三角形．
过点A作AD⊥BC交BC于点D.
则BD=DC.故eq \(BA,\s\up16(→))在eq \(BC,\s\up16(→))上的投影向量为eq \(BD,\s\up16(→))，即为eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up16(→)).
题型三 平面向量数量积的运算
例3 (1)已知|a|=4，|b|=5，且向量a与b的夹角为60°，求(2a＋3b)·(3a－2b)；
(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，求eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(AC,\s\up16(→)).
[解] (1)(2a＋3b)·(3a－2b)=6a2－4a·b＋9a·b－6b2=6×42＋
5×4×5×cs60°－6×52=－4.
(2)eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(AC,\s\up16(→))=|eq \(AB,\s\up16(→))||eq \(AC,\s\up16(→))|cs∠BAC=5×4×eq \f(4,5)=16.
[综合探究]
将本例改为：(1)已知|a|=4，|b|=5，且向量a，b的夹角为30°，求(2a＋3b)·(3a－2b)；
(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，求eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→)).
解 (1)(2a＋3b)·(3a－2b)=6a2＋5a·b－6b2=6×42＋5×5×4×cs30°－6×52=50eq \r(3)－54.
(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，故BC=3，
且cs∠ABC=eq \f(3,5)，eq \(AB,\s\up16(→))与eq \(BC,\s\up16(→))的夹角θ=180°－∠ABC，
故eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))=－|eq \(AB,\s\up16(→))||eq \(BC,\s\up16(→))|cs∠ABC=－5×3×eq \f(3,5)=－9.
向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及两个向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，eq \(BA,\s\up16(→))·eq \(CA,\s\up16(→))=4，eq \(BF,\s\up16(→))·eq \(CF,\s\up16(→))=－1，则eq \(BE,\s\up16(→))·eq \(CE,\s\up16(→))的值是________．
答案 eq \f(7,8)
解析 解法一：设eq \(BD,\s\up16(→))=a，eq \(DF,\s\up16(→))=b，则eq \(BA,\s\up16(→))·eq \(CA,\s\up16(→))=(a＋3b)·(－a＋3b)=9|b|2－|a|2=4，
eq \(BF,\s\up16(→))·eq \(CF,\s\up16(→))=(a＋b)·(－a＋b)=|b|2－|a|2=－1，解得|a|2=eq \f(13,8)，|b|2=eq \f(5,8)，
则eq \(BE,\s\up16(→))·eq \(CE,\s\up16(→))=(a＋2b)·(－a＋2b)=4|b|2－|a|2=eq \f(7,8).
解法二：设eq \(AB,\s\up16(→))=a，eq \(AC,\s\up16(→))=b，根据题意有
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(BA,\s\up16(→))·\(CA,\s\up16(→))＝a·b＝4，,\(BF,\s\up16(→))·\(CF,\s\up16(→))＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)b－\f(2,3)a))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)a－\f(2,3)b))＝－1，,\(BE,\s\up16(→))·\(CE,\s\up16(→))＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)b－\f(5,6)a))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)a－\f(5,6)b))，))
整理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a·b＝4，,－2a2＋b2＋5a·b＝－9，,\(BE,\s\up16(→))·\(CE,\s\up16(→))＝\f(－5a2＋b2＋26a·b,36)，))于是eq \(BE,\s\up16(→))·eq \(CE,\s\up16(→))=eq \f(\f(5,2)×－9＋\f(27,2)×4,36)=eq \f(7,8).
题型四 与向量模有关的计算
例4 已知向量a，b的夹角为60°，且|a|=2，|b|=1，若c=2a－b，d=a＋2b，求：
(1)c·d；
(2)|c＋2d|.
[解] 因为向量a与b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，
所以a·b=|a||b|cs60°=1，
因为c=2a－b，d=a＋2b.
(1)c·d=(2a－b)·(a＋2b)=2a2＋3a·b－2b2=2|a|2＋3×1－2|b|2=2×22＋3－2×12=9.
(2)因为c＋2d=(2a－b)＋2(a＋2b)=4a＋3b，
(c＋2d)2=(4a＋3b)2=16a2＋24a·b＋9b2=16|a|2＋24×1＋9|b|2=16×22＋24×1＋9×1=97，
所以|c＋2d|2=97，
所以|c＋2d|=eq \r(97).
求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2=|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a=a2=|a|2或|a|=eq \r(a2)，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
已知|a|=|b|=5，向量a与b的夹角为eq \f(π,3)，求|a＋b|，|a－b|.
解 a·b=|a||b|cseq \f(π,3)=5×5×eq \f(1,2)=eq \f(25,2).
|a＋b|= eq \r(a＋b2)= eq \r(|a|2＋2a·b＋|b|2)=eq \r(25＋2×\f(25,2)＋25)=5eq \r(3).
|a－b|= eq \r(a－b2)= eq \r(|a|2－2a·b＋|b|2)=eq \r(25－2×\f(25,2)＋25)=5.
题型五 两向量的夹角问题
例5 已知|a|=2，|b|=1，a与b的夹角为60°，求向量m=2a＋b与向量n=a－4b的夹角的余弦值．
[解] a·b=2×1×cs60°=1，|m|2=|2a＋b|2=4|a|2＋4a·b＋|b|2=4×22＋4×1＋1=21，
|n|2=|a－4b|2=|a|2－8a·b＋16|b|2=22－8×1＋16×1=12，
∴|m|=eq \r(21)，|n|=2eq \r(3)，
m·n=(2a＋b)·(a－4b)=2|a|2－7a·b－4|b|2=2×22－7×1－4×1=－3.
设m，n的夹角为θ，
∵m·n=|m||n|csθ，∴－3=eq \r(21)×2eq \r(3)×csθ，即csθ=－eq \f(\r(7),14).
求向量a与b夹角的思路
(1)求向量夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算csθ=eq \f(a·b,|a||b|)，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．
(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算csθ的值．
已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)=－6，且|a|=1，|b|=2，则a与b的夹角为________．
答案 eq \f(π,3)
解析 设a与b的夹角为θ，依题意有(a＋2b)·(a－b)=a2＋a·b－2b2=－7＋2csθ=－6，所以csθ=eq \f(1,2)，因为0≤θ≤π，故θ=eq \f(π,3).
题型六 两向量的垂直问题
例6 已知向量a，b不共线，且|2a＋b|=|a＋2b|，求证：(a＋b)⊥(a－b)．
[证明] ∵|2a＋b|=|a＋2b|，∴(2a＋b)2=(a＋2b)2，
即4a2＋4a·b＋b2=a2＋4a·b＋4b2，∴a2=b2.
∴(a＋b)·(a－b)=a2－b2=0.
又a与b不共线，a＋b≠0，a－b≠0，∴(a＋b)⊥(a－b)．
求(证明)两向量垂直的基本步骤
(1)计算a·b的值；
(2)若为零，则a⊥b，否则不垂直．
已知|a|=1，|b|=2，a－b与a垂直，求当k为何值时，(ka－b)⊥(a＋2b)?
解 因为a－b与a垂直，所以(a－b)·a=0，
所以a2－a·b=0，所以a·b=|a|2=1，
要使得(ka－b)⊥(a＋2b)，只要(ka－b)·(a＋2b)=0，
即k|a|2＋(2k－1)a·b－2|b|2=0，
所以k＋(2k－1)－2×22=0，所以k=3.
1．已知非零向量a，b，若a＋2b与a－2b互相垂直，则eq \f(|a|,|b|)=( )
A.eq \f(1,4) B．4 C.eq \f(1,2) D．2
答案 D
解析 ∵(a＋2b)·(a－2b)=a2－4b2=0，∴|a|=2|b|，∴eq \f(|a|,|b|)=2.
2．在△ABC中，若eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \(AB,\s\up16(→))2=0，则eq \(BC,\s\up16(→))在eq \(BA,\s\up16(→))上的投影向量为( )
A.eq \(BA,\s\up16(→)) B.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up16(→)) C.eq \(AC,\s\up16(→)) D.eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up16(→))
答案 A
解析 ∵0=eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \(AB,\s\up16(→))2=eq \(AB,\s\up16(→))·(eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \(AB,\s\up16(→)))=eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(AC,\s\up16(→))，∴eq \(AB,\s\up16(→))⊥eq \(AC,\s\up16(→))，又eq \(BC,\s\up16(→))与eq \(BA,\s\up16(→))的夹角为锐角，∴eq \(BC,\s\up16(→))在eq \(BA,\s\up16(→))上的投影向量为eq \(BA,\s\up16(→)).故选A.
3．已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，(a－b)·b=0，那么向量a与b的夹角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 C
解析 由题意可得a·b－b2=0，设a与b的夹角为θ，则2csθ=1，csθ=eq \f(1,2)，
又∵θ∈[0，π]，∴θ为60°.
4．已知△ABC是边长为eq \r(2)的等边三角形，则eq \(BC,\s\up16(→))·eq \(CA,\s\up16(→))＋eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))=________.
答案 －2
解析 注意到eq \(BC,\s\up16(→))与eq \(CA,\s\up16(→))，eq \(AB,\s\up16(→))与eq \(BC,\s\up16(→))所成的角都是等边三角形的外角，为120°，
故eq \(BC,\s\up16(→))·eq \(CA,\s\up16(→))＋eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))=2×(eq \r(2)×eq \r(2)×cs120°)=－2.
5．已知|a|=1，a·b=eq \f(1,4)，(a＋b)·(a－b)=eq \f(1,2).
(1)求|b|的值；
(2)求向量a－b与a＋b夹角的余弦值．
解 (1)(a＋b)·(a－b)=a2－b2=eq \f(1,2).
∵|a|=1，∴1－|b|2=eq \f(1,2)，∴|b|=eq \f(\r(2),2).
(2)∵|a＋b|2=a2＋2a·b＋b2=1＋2×eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)=2，
|a－b|2=a2－2a·b＋b2=1－2×eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)=1，
∴|a＋b|=eq \r(2)，|a－b|=1.
令a＋b与a－b的夹角为θ，
则csθ=eq \f(a＋b·a－b,|a＋b||a－b|)=eq \f(\f(1,2),\r(2)×1)=eq \f(\r(2),4)，
即向量a－b与a＋b夹角的余弦值是eq \f(\r(2),4).