新教材(辅导班)高一数学寒假讲义09《6.2.4向量的数量积》课时(原卷版)学案

这是一份新教材(辅导班)高一数学寒假讲义09《6.2.4向量的数量积》课时(原卷版)学案，共9页。

知识点一 向量的夹角
知识点二 向量数量积的概念
知识点三 投影向量
如图1，设a，b是两个非零向量，eq \(AB,\s\up16(→))=a，eq \(CD,\s\up16(→))=b，我们考虑如下的变换：过eq \(AB,\s\up16(→))的起点A和终点B，分别作eq \(CD,\s\up16(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq \(A1B1,\s\up16(→))，我们称上述变换为向量a向向量beq \(□,\s\up4(01))投影，eq \(A1B1,\s\up16(→))叫做向量a在向量b上的eq \(□,\s\up4(02))投影向量．
如图2，我们可以在平面内任取一点O，作eq \(OM,\s\up16(→))=a，eq \(ON,\s\up16(→))=b.过点M作直线ON的垂线，
垂足为M1，则eq \(OM1,\s\up16(→))就是向量a在向量b上的投影向量．
知识点四 向量的数量积的性质和运算律
(1)向量的数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
①a·e=e·a=eq \(□,\s\up4(01))|a|csθ.
②a⊥b⇔eq \(□,\s\up4(02))a·b=0.
③当a与b同向时，a·b=eq \(□,\s\up4(03))|a||b|.
当a与b反向时，a·b=eq \(□,\s\up4(04))－|a||b|.
④a·a=eq \(□,\s\up4(05))|a|2或|a|=eq \r(a·a)=eq \r(a2).
⑤csθ=eq \(□,\s\up4(06))eq \f(a·b,|a||b|).
⑥|a·b|eq \(□,\s\up4(07))≤|a||b|.
(2)向量数量积的运算律
①eq \(□,\s\up4(08))a·b=b·a(交换律)．
②(λa)·b=eq \(□,\s\up4(09))λ(a·b)=eq \(□,\s\up4(10))a·(λb)(结合律)．
③eq \(□,\s\up4(11))(a＋b)·c=a·c＋b·c(分配律)．
1．对数量积的理解
(1)求a，b的数量积需知道三个量，即|a|，|b|及a，b的夹角，这三个量有时并不是直接给出来的，需根据题意去巧妙求解．
(2)两个向量的数量积是两个向量之间的运算，其结果不再是向量，而是数量，它的符号由夹角确定，当夹角为锐角或0时，符号为正；当夹角为钝角或π时，符号为负；当夹角为直角时，其值为零．
向量的投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．
(3)两个向量a，b的数量积与代数中两个数a，b的乘积ab是两码事，但表面看来又有点相似，因此要注意两个向量a，b的数量积是记作a·b，中间的实心小圆点不能省略，也不能把实心小圆点用乘号“×”代替，写成a×b.
2．要灵活掌握向量数量积的性质
(1)a⊥b⇔a·b=0，既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算．
(2)a·a=a2=|a|2与|a|=eq \r(|a|2)=eq \r(a2)也用来求向量的模，以实现实数运算与向量运算的相互转化．
(3)用csθ=eq \f(a·b,|a||b|)求两向量的夹角，且夹角的取值与a·b的符号有关．
设两个非零向量a与b的夹角为θ，则
当θ=0时，csθ=1，a·b=|a||b|；
当θ为锐角时，csθ>0，a·b>0；
当θ为钝角时，csθ<0，a·b<0；
当θ为直角时，csθ=0，a·b=0；
当θ=π时，csθ=－1，a·b=－|a||b|.
(4)|a·b|≤|a||b|可以用来通过构造向量来证明不等式问题或解决最值问题．
(5)①向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c=b·c，但得不到a=b.
②(a·b)c≠a(b·c)．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a·b=a·c且a≠0，则b=c.( )
(2)若a·b=0，则a=0或b=0.( )
(3)若a⊥b，则a·b=0.( )
(4)向量a在b上的投影向量是一个模等于|acsθ|(θ是a与b的夹角)，方向与b相同或相反的一个向量．( )
2．做一做
(1)若向量a，b的夹角为30°，则向量－a，－b的夹角为( )
A．60° B．30° C．120° D．150°
(2)已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|=2，|b|=eq \r(3)，则向量a和向量b的数量积a·b=________.
(3)已知向量a，b满足|b|=2，a与b的夹角为60°，设b在a上的投影向量是c，则|c|=________.
(4)若向量a，b的夹角为120°，|a|=1，|b|=3，则|5a－b|=________.
题型一 平面向量数量积的概念
例1 (1)已知a，b，c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数是( )
①|a·b|=|a||b|⇔a∥b；
②a，b反向⇔a·b=－|a||b|；
③a⊥b⇔|a＋b|=|a－b|；
④|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|.
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知|a|=5，|b|=2，若：①a∥b； ②a⊥b； ③a与b的夹角为30°.
分别求a·b.
(1)求平面向量的数量积的一般步骤
(2)a与b垂直当且仅当a·b=0.
(3)非零向量a与b共线当且仅当a·b=±|a||b|.
(1)已知下列命题：
①若a2＋b2=0，则a=b=0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b=0，则|a·c|=|b·c|；③|a||b|0，则a与b的夹角为锐角．
其中判断正确的是________．
(2)给出下列命题：
①在△ABC中，若eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))<0，则△ABC是锐角三角形；
②在△ABC中，若eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))>0，则△ABC是钝角三角形；
③△ABC是直角三角形⇔eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))=0.
其中，正确命题的序号是________．
题型二 投影向量
例2 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=2，∠ABC=30°，D为BC的中点．
(1)求eq \(BA,\s\up16(→))在eq \(CD,\s\up16(→))上的投影向量；
(2)求eq \(CD,\s\up16(→))在eq \(BA,\s\up16(→))上的投影向量．
求一个向量在另一个向量上的投影向量时，关键是作出恰当的垂线，根据题意确定向量的模及两向量的夹角．
在△ABC中，已知|eq \(AB,\s\up16(→))|=|eq \(AC,\s\up16(→))|=6，且eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(AC,\s\up16(→))=18，则eq \(BA,\s\up16(→))在eq \(BC,\s\up16(→))上的投影向量为________(用eq \(BC,\s\up16(→))表示)．
题型三 平面向量数量积的运算
例3 (1)已知|a|=4，|b|=5，且向量a与b的夹角为60°，求(2a＋3b)·(3a－2b)；
(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，求eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(AC,\s\up16(→)).
向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及两个向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，eq \(BA,\s\up16(→))·eq \(CA,\s\up16(→))=4，eq \(BF,\s\up16(→))·eq \(CF,\s\up16(→))=－1，则eq \(BE,\s\up16(→))·eq \(CE,\s\up16(→))的值是________．
题型四 与向量模有关的计算
例4 已知向量a，b的夹角为60°，且|a|=2，|b|=1，若c=2a－b，d=a＋2b，求：
(1)c·d；
(2)|c＋2d|.
求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2=|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a=a2=|a|2或|a|=eq \r(a2)，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
已知|a|=|b|=5，向量a与b的夹角为eq \f(π,3)，求|a＋b|，|a－b|.
题型五 两向量的夹角问题
例5 已知|a|=2，|b|=1，a与b的夹角为60°，求向量m=2a＋b与向量n=a－4b的夹角的余弦值．
求向量a与b夹角的思路
(1)求向量夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算csθ=eq \f(a·b,|a||b|)，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．
(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算csθ的值．
已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)=－6，且|a|=1，|b|=2，则a与b的夹角为________．
题型六 两向量的垂直问题
例6 已知向量a，b不共线，且|2a＋b|=|a＋2b|，求证：(a＋b)⊥(a－b)．
又a与b不共线，a＋b≠0，a－b≠0，∴(a＋b)⊥(a－b)．
求(证明)两向量垂直的基本步骤
(1)计算a·b的值；
(2)若为零，则a⊥b，否则不垂直．
已知|a|=1，|b|=2，a－b与a垂直，求当k为何值时，(ka－b)⊥(a＋2b)?
1．已知非零向量a，b，若a＋2b与a－2b互相垂直，则eq \f(|a|,|b|)=( )
A.eq \f(1,4) B．4 C.eq \f(1,2) D．2
2．在△ABC中，若eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \(AB,\s\up16(→))2=0，则eq \(BC,\s\up16(→))在eq \(BA,\s\up16(→))上的投影向量为( )
A.eq \(BA,\s\up16(→)) B.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up16(→)) C.eq \(AC,\s\up16(→)) D.eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up16(→))
3．已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，(a－b)·b=0，那么向量a与b的夹角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．已知△ABC是边长为eq \r(2)的等边三角形，则eq \(BC,\s\up16(→))·eq \(CA,\s\up16(→))＋eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))=________.
5．已知|a|=1，a·b=eq \f(1,4)，(a＋b)·(a－b)=eq \f(1,2).
(1)求|b|的值；
(2)求向量a－b与a＋b夹角的余弦值．