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    新教材(辅导班)高一数学寒假讲义09《6.2.4向量的数量积》课时(原卷版)学案

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    这是一份新教材(辅导班)高一数学寒假讲义09《6.2.4向量的数量积》课时(原卷版)学案,共9页。



    知识点一 向量的夹角
    知识点二 向量数量积的概念
    知识点三 投影向量
    如图1,设a,b是两个非零向量,eq \(AB,\s\up16(→))=a,eq \(CD,\s\up16(→))=b,我们考虑如下的变换:过eq \(AB,\s\up16(→))的起点A和终点B,分别作eq \(CD,\s\up16(→))所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到eq \(A1B1,\s\up16(→)),我们称上述变换为向量a向向量beq \(□,\s\up4(01))投影,eq \(A1B1,\s\up16(→))叫做向量a在向量b上的eq \(□,\s\up4(02))投影向量.
    如图2,我们可以在平面内任取一点O,作eq \(OM,\s\up16(→))=a,eq \(ON,\s\up16(→))=b.过点M作直线ON的垂线,
    垂足为M1,则eq \(OM1,\s\up16(→))就是向量a在向量b上的投影向量.
    知识点四 向量的数量积的性质和运算律
    (1)向量的数量积的性质
    设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则
    ①a·e=e·a=eq \(□,\s\up4(01))|a|csθ.
    ②a⊥b⇔eq \(□,\s\up4(02))a·b=0.
    ③当a与b同向时,a·b=eq \(□,\s\up4(03))|a||b|.
    当a与b反向时,a·b=eq \(□,\s\up4(04))-|a||b|.
    ④a·a=eq \(□,\s\up4(05))|a|2或|a|=eq \r(a·a)=eq \r(a2).
    ⑤csθ=eq \(□,\s\up4(06))eq \f(a·b,|a||b|).
    ⑥|a·b|eq \(□,\s\up4(07))≤|a||b|.
    (2)向量数量积的运算律
    ①eq \(□,\s\up4(08))a·b=b·a(交换律).
    ②(λa)·b=eq \(□,\s\up4(09))λ(a·b)=eq \(□,\s\up4(10))a·(λb)(结合律).
    ③eq \(□,\s\up4(11))(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
    1.对数量积的理解
    (1)求a,b的数量积需知道三个量,即|a|,|b|及a,b的夹角,这三个量有时并不是直接给出来的,需根据题意去巧妙求解.
    (2)两个向量的数量积是两个向量之间的运算,其结果不再是向量,而是数量,它的符号由夹角确定,当夹角为锐角或0时,符号为正;当夹角为钝角或π时,符号为负;当夹角为直角时,其值为零.
    向量的投影是一个数量,不是向量,其值可为正,可为负,也可为零.
    (3)两个向量a,b的数量积与代数中两个数a,b的乘积ab是两码事,但表面看来又有点相似,因此要注意两个向量a,b的数量积是记作a·b,中间的实心小圆点不能省略,也不能把实心小圆点用乘号“×”代替,写成a×b.
    2.要灵活掌握向量数量积的性质
    (1)a⊥b⇔a·b=0,既可以用来证明两向量垂直,也可以由垂直进行有关计算.
    (2)a·a=a2=|a|2与|a|=eq \r(|a|2)=eq \r(a2)也用来求向量的模,以实现实数运算与向量运算的相互转化.
    (3)用csθ=eq \f(a·b,|a||b|)求两向量的夹角,且夹角的取值与a·b的符号有关.
    设两个非零向量a与b的夹角为θ,则
    当θ=0时,csθ=1,a·b=|a||b|;
    当θ为锐角时,csθ>0,a·b>0;
    当θ为钝角时,csθ<0,a·b<0;
    当θ为直角时,csθ=0,a·b=0;
    当θ=π时,csθ=-1,a·b=-|a||b|.
    (4)|a·b|≤|a||b|可以用来通过构造向量来证明不等式问题或解决最值问题.
    (5)①向量的数量积不满足消去律:若a,b,c均为非零向量,且a·c=b·c,但得不到a=b.
    ②(a·b)c≠a(b·c).
    1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)
    (1)若a·b=a·c且a≠0,则b=c.( )
    (2)若a·b=0,则a=0或b=0.( )
    (3)若a⊥b,则a·b=0.( )
    (4)向量a在b上的投影向量是一个模等于|acsθ|(θ是a与b的夹角),方向与b相同或相反的一个向量.( )
    2.做一做
    (1)若向量a,b的夹角为30°,则向量-a,-b的夹角为( )
    A.60° B.30° C.120° D.150°
    (2)已知向量a和向量b的夹角为30°,|a|=2,|b|=eq \r(3),则向量a和向量b的数量积a·b=________.
    (3)已知向量a,b满足|b|=2,a与b的夹角为60°,设b在a上的投影向量是c,则|c|=________.
    (4)若向量a,b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3,则|5a-b|=________.
    题型一 平面向量数量积的概念
    例1 (1)已知a,b,c是三个非零向量,则下列命题中真命题的个数是( )
    ①|a·b|=|a||b|⇔a∥b;
    ②a,b反向⇔a·b=-|a||b|;
    ③a⊥b⇔|a+b|=|a-b|;
    ④|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|.
    A.1 B.2 C.3 D.4
    (2)已知|a|=5,|b|=2,若:①a∥b; ②a⊥b; ③a与b的夹角为30°.
    分别求a·b.
    (1)求平面向量的数量积的一般步骤
    (2)a与b垂直当且仅当a·b=0.
    (3)非零向量a与b共线当且仅当a·b=±|a||b|.
    (1)已知下列命题:
    ①若a2+b2=0,则a=b=0;②已知a,b,c是三个非零向量,若a+b=0,则|a·c|=|b·c|;③|a||b|0,则a与b的夹角为锐角.
    其中判断正确的是________.
    (2)给出下列命题:
    ①在△ABC中,若eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))<0,则△ABC是锐角三角形;
    ②在△ABC中,若eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))>0,则△ABC是钝角三角形;
    ③△ABC是直角三角形⇔eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))=0.
    其中,正确命题的序号是________.
    题型二 投影向量
    例2 如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=2,∠ABC=30°,D为BC的中点.
    (1)求eq \(BA,\s\up16(→))在eq \(CD,\s\up16(→))上的投影向量;
    (2)求eq \(CD,\s\up16(→))在eq \(BA,\s\up16(→))上的投影向量.
    求一个向量在另一个向量上的投影向量时,关键是作出恰当的垂线,根据题意确定向量的模及两向量的夹角.
    在△ABC中,已知|eq \(AB,\s\up16(→))|=|eq \(AC,\s\up16(→))|=6,且eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(AC,\s\up16(→))=18,则eq \(BA,\s\up16(→))在eq \(BC,\s\up16(→))上的投影向量为________(用eq \(BC,\s\up16(→))表示).
    题型三 平面向量数量积的运算
    例3 (1)已知|a|=4,|b|=5,且向量a与b的夹角为60°,求(2a+3b)·(3a-2b);
    (2)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4,求eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(AC,\s\up16(→)).
    向量数量积的求法
    (1)求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及两个向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键.
    (2)根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.
    如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,eq \(BA,\s\up16(→))·eq \(CA,\s\up16(→))=4,eq \(BF,\s\up16(→))·eq \(CF,\s\up16(→))=-1,则eq \(BE,\s\up16(→))·eq \(CE,\s\up16(→))的值是________.
    题型四 与向量模有关的计算
    例4 已知向量a,b的夹角为60°,且|a|=2,|b|=1,若c=2a-b,d=a+2b,求:
    (1)c·d;
    (2)|c+2d|.
    求向量的模的常见思路及方法
    (1)求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用a2=|a|2,勿忘记开方.
    (2)a·a=a2=|a|2或|a|=eq \r(a2),可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
    已知|a|=|b|=5,向量a与b的夹角为eq \f(π,3),求|a+b|,|a-b|.
    题型五 两向量的夹角问题
    例5 已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60°,求向量m=2a+b与向量n=a-4b的夹角的余弦值.
    求向量a与b夹角的思路
    (1)求向量夹角的关键是计算a·b及|a||b|,在此基础上结合数量积的定义或性质计算csθ=eq \f(a·b,|a||b|),最后借助θ∈[0,π],求出θ的值.
    (2)在个别含有|a|,|b|与a·b的等量关系式中,常利用消元思想计算csθ的值.
    已知向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为________.
    题型六 两向量的垂直问题
    例6 已知向量a,b不共线,且|2a+b|=|a+2b|,求证:(a+b)⊥(a-b).
    又a与b不共线,a+b≠0,a-b≠0,∴(a+b)⊥(a-b).
    求(证明)两向量垂直的基本步骤
    (1)计算a·b的值;
    (2)若为零,则a⊥b,否则不垂直.
    已知|a|=1,|b|=2,a-b与a垂直,求当k为何值时,(ka-b)⊥(a+2b)?
    1.已知非零向量a,b,若a+2b与a-2b互相垂直,则eq \f(|a|,|b|)=( )
    A.eq \f(1,4) B.4 C.eq \f(1,2) D.2
    2.在△ABC中,若eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))+eq \(AB,\s\up16(→))2=0,则eq \(BC,\s\up16(→))在eq \(BA,\s\up16(→))上的投影向量为( )
    A.eq \(BA,\s\up16(→)) B.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up16(→)) C.eq \(AC,\s\up16(→)) D.eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up16(→))
    3.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,(a-b)·b=0,那么向量a与b的夹角为( )
    A.30° B.45° C.60° D.90°
    4.已知△ABC是边长为eq \r(2)的等边三角形,则eq \(BC,\s\up16(→))·eq \(CA,\s\up16(→))+eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(BC,\s\up16(→))=________.
    5.已知|a|=1,a·b=eq \f(1,4),(a+b)·(a-b)=eq \f(1,2).
    (1)求|b|的值;
    (2)求向量a-b与a+b夹角的余弦值.

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