沪教版高中一年级 第二学期4.6对数函数的图像与性质导学案

这是一份沪教版高中一年级 第二学期4.6对数函数的图像与性质导学案，共5页。学案主要包含了教学目标，教学重点与难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

【教学目标】
1．理解函数y=sinx（x∈R）没有反函数；理解函数y=sinx， x∈[-，]有反函数；理解反正弦函数y=arcsinx的概念，掌握反正弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[-，].
2．知道反正弦函数y=arcsinx ，x∈[-1，1]的图像.
3．掌握等式sin（arcsinx）=x，x∈[-1，1]和arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1].
4．能够熟练计算特殊值的反正弦函数值，并能用反正弦函数值表示角.
5．会用数形结合等数学思想分析和思考问题.
【教学重点与难点】
教学重点：理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质.
教学难点：反正弦函数的产生和从本质上处理正弦函数的反函数问题.
【教学过程】
一、 情景引入
1．复习
我们学习过反函数，知道，对于函数y=f（x），x∈D，如果对它的值域中的任意一个值y，在定义域D中都有唯一确定的值x与它对应，使y=f（x），这样得到的x关于y的函数叫做y=f（x）的反函数.我们也明确不是任何一个函数都存在反函数.函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的.
2．思考
那么正弦函数是否存在反函数呢？
[说明] 因为对于任一正弦值都有无数个角值与之对应.正弦函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数.
3．讨论
正弦函数不存在反函数.但只要选取某一区间使得在该区间上存在反函数.因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得存在反函数呢？
这个区间的选择依据两个原则：
（1）在所取区间上存在反函数；（2）能取到的一切函数值.
可以选取闭区间，使得在该区间上存在反函数，而这个反函数就是今天要学习的反正弦函数.
二、学习新课
1．概念辨析
（1）反正弦函数的定义：函数y=sinx， x∈[-，]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx，x∈[-1，1].
（2）反正弦函数的性质：
①图像； ②定义域[-1，1]；
③值域[-，]；④奇偶性：奇函数，即arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1]； ⑤单调性：增函数。
[说明]互为反函数的两个函数图像关于直线对称，函数y=sinx，x∈[-，]与函数y=arcsinx，x∈[-1，1]的图像关于直线对称.
2．例题分析
例1．求下列反正弦函数的值：
（1）arcsin；（2）arcsin0；（3）arcsin（-）
解：（1）因为sin=，且∈[-，]，所以arcsin=.
（2）因为sin0=0，且0∈[-，]，所以arcsin0=0.
（3）因为sin（-）=-，且-∈ [-，]，所以arcsin（-）=-.
例2．用反正弦函数值的形式表示下列各式的x：
（1）sinx=，x∈[-，]；
（2）sinx=-，x∈[-，]；
（3）sinx=- ，x∈[-π，0].
解：（1）因为x∈[-，]，由定义，可知x=arcsin；
（2）因为x∈[-，]，由定义，可知x=arcsin（-）=- arcsin；
（3）在区间[-，0] 上，由定义，可知x=arcsin（-）=- arcsin；
在区间[-π，-]上，由诱导公式，可知x=-π+arcsin，满足 sinx=-.因此x= arcsin或x=-π+arcsin.
例3．化简下列各式：
（1）arcsin（sin）；（2）arcsin（sin）；*（3）arcsin（sin20070）
解：（1）因为∈[-，]，设sin=α，所以arcsinα=，即arcsin（sin）=.
（2）因为[-，]，而∈[-，]，且sin=sin，设sin=sin=α，所以arcsin（sin）= arcsin（sin）=
arcsinα=.
（3）因为sin20070=sin（5×3600+2070）=sin2070=sin（1800+270）=-sin270
所以arcsin（sin20070）= arcsin（-sin270）=- arcsin(sin270)=- 270.
例4．求函数f（x）=2arcsin2x的反函数f-1（x），并指出反函数的定义域和值域.
解：设y=2arcsin2x，则= arcsin2x，因为2x∈[-1，1]，arcsin2x∈[-，]，所以x∈[-，]，y∈[-л，л]，根据反正弦函数的定义，得2x=sin，x= sin，将x，y互换，得反函数f-1（x）= sin，定义域是[-л，л]，值域是[-，].
3．问题拓展
例1．证明等式：arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1]
证明：∵x∈[-1，1]，∴ -x∈[-1，1]
∴sin[arcsin（-x）]= -x，sin（-arcsinx）=-sin（arcsinx）=-x
又因为arcsin（-x）∈[-，]，-arcsinx∈[-，]，且正弦函数在[-，]上单调递增，所以arcsin（-x）=-arcsinx，
x∈[-1，1].
[说明]这是证明角相等的问题，两个角仅有同名三角比相等，不能证明这两个角相等，教师应启发学生知道这个数学事实，并举例说明.
例2．设x∈[，]，sinx=，用反正弦函数值表示x.
解：因为x∈[，]，所以（π-x）∈[-，]，又sin（π-x）=sinx，得sin（π-x）=，于是π-x=arcsin，x=π- arcsin.
[说明] 对于用反正弦函数值表示区间[-，]外的角，教材不作要求，但考虑到在解实际问题中常要表示钝角，因此可补充用反正弦函数值表示钝角的练习.
以上两例教师应根据各自学校学生的实际情形进行教学.
三、巩固练习
判断下列各式是否成立?简述理由.
（1）arcsin=；（2）arcsin=；（3）arcsin1=2kл+，k∈Z；（4）arcsin（-）=- arcsin；（5）sin（arcsin）=；（6）arcsin=.
解：（1）式成立；（2）、（4）、（5）各式都不成立，理由是反正弦函数的定义域为[-1，1]；（3）式仅当k=0时成立，k取其他整数时，不成立，理由是反正弦函数的值域为[-，]；（6）式不成立，因为与反正弦函数的定义不符.
四、课堂小结
教师引导学生总结：
（1）反正弦函数的定义；（2）反正弦函数的性质； （3）思考题：求函数f（x）=2π-arcsin2x的反函数f-1（x），并指出反函数的定义域和值域.
五、作业：练习册