高中数学沪教版高中一年级 第二学期4.6对数函数的图像与性质导学案
展开6.3 函数的图像与性质(2)
【教学目标】
1、会用“五点法”画函数的图像.
2、通过画函数的图像,认识、理解、归纳函数的性质.
2、会用图像变换的方法画y=Asin(ωx+)的图像.
3、会求一些与函数相关的函数的振幅、周期、最值、单调区间等.
4、学会通过画图、观察、分析、类比、归纳等方法来探索问题,形成应用数形结合、分类讨论等数学思想分析问题、解决问题的能力,提高创新意识和创造能力.
【教学重点与难点】
函数的图像与性质;
函数的图像的变换顺序.
【教学过程】
引入:
1.函数y=Asinx,xR(A>0且A1)的图像与函数y=sinx,xR的图像关系?
函数y=Asinx,xR(A>0且A1)的图像可以看作把函数y=sinx,xR的图像上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍得到的它的值域[-A, A] 最大值是A, 最小值是-A.若A<0 可先作y=-Asinx的图象 ,再以x轴为对称轴翻折。
2.函数y=sinωx, xR (ω>0且ω1)的图像与函数y=sinx,xR的图像关系?
函数y=sinωx, xR (ω>0且ω1)的图像,可看作把函数y=sinx,xR的图像上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍(纵坐标不变).若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图ω决定了函数的周期
3、讨论函数y=sin(x+)的图像与函数y=sinx的图像又是怎样的关系呢?
例题分析
例1.画出函数的图像
解:列表
x | - | ||||
x+ | 0 | 2 | |||
sin(x+) | 0 | 1 | 0 | –1 | 0 |
描点画图:
x | |||||
x- | 0 | 2 | |||
sin(x–) | 0 | 1 | 0 | –1 | 0 |
通过比较,发现:
(1)函数y=sin(x+)的图像可看作把y=sinx图像上所有的点向左平行移动个单位长度而得到
(2)函数y=sin(x-)的图像可看作把y=sinx图像上所有点向右平行移动个单位长度而得到
一般地,函数y=sin(x+),x∈R(其中≠0)的图像,可以看作把正弦曲线上所有点向左(当>0时)或向右(当<0时=平行移动||个单位长度而得到(用平移法注意讲清方向:“加左”“减右”)
[说明]:y=sin(x+)与y=sinx的图像只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样,这一变换称为相位变换
例2画出函数y=3sin(2x+)的图像
解:(五点法)由T=,得T=π 列表:
x | – | ||||
2x+ | 0 | π | 2π | ||
3sin(2x+) | 0 | 3 | 0 | –3 | 0 |
描点画图:
这种曲线也可由图像变换得到:
即:y=sinx y=sin(x+)
y=sin(2x+) y=3sin(2x+)
一般地,函数y=Asin(ωx+),x∈R(其中A>0,ω>0)的图像,可以看作用下面的方法得到:
先把正弦曲线上所有的点向左(当>0时)或向右(当<0时)平行移动||个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变),再把所得各点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)
另外,注意一些物理量的概念:
A :称为振幅;T=:称为周期;f=:称为频率;
x=0时的相位称为初相
[说明]:由y=sinx的图像变换出y=sin(ωx+)的图像一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵活进行图像变换
途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y=sinx的图像向左(>0)或向右(<0)平移||个单位,再将图像上各点的横坐标变为原来的倍(ω>0),便得y=sin(ωx+)的图像
途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换
先将y=sinx的图像上各点的横坐标变为原来的倍(ω>0),再沿x轴向左(>0)或向右(<0)平移个单位,便得y=sin(ωx+)的图像
例3:已知如图是函数y=2sin(ωx+)其中||<的图像,那么
Aω=,= Bω=, =-
Cω=2,= Dω=2,=-
解:由图可知,点(0,1)和点(,0)都是图像上的点将点(0,1)的坐标代入待定的函数式中,得2sin=1,即sin=,又||<,∴=
又由“五点法”作图可知,点(,0)是“第五点”,所以ωx+=2π,即ω·π+=2π,解之得ω=2,故选C
[说明]:解此题时,若能充分利用图像与函数式之间的联系,则也可用排除法来巧妙求解.
解:观察各选择答案可知,应有ω>0
观察图像可看出,应有T=<2π,∴ω>1 ,故可排除A与B
由图像还可看出,函数y=2sin(ωx+)的图像是由函数y=2sinωx的图像向左移而得到的 ∴>0,又可排除D,故选C
例4.已知函数y=Asin(ωx+)在同一周期内,当x=时函数取得最大值2,当x=时函数取得最小值-2,则该函数的解析式为( )
Ay=2sin(3x-) By=2sin(3x+)
Cy=2sin(+) Dy=2sin(-)
解:由题设可知,所求函数的图像如图所示,点(,2)和点(,-2)都是图像上的点,且由“五点法”作图可知,这两点分别是“第二点”和“第四点”,所以应有:
解得 答案:B
[说明]:由y=Asin(ωx+)的图像求其函数式:
一般来说,在这类由图像求函数式的问题中,如对所求函数式中的A、ω、不加限制(如A、ω的正负,角的范围等),那么所求的函数式应有无数多个不同的形式(这是由于所求函数是周期函数所致),因此这类问题多以选择题的形式出现,我们解这类题的方法往往因题而异,但逆用“五点法”作图的思想却渗透在各不同解法之中
课堂小结
本节课主要研究了由y=sinx的图像变换出y=sin(ωx+)的图像的过程中的平移变换,及三个变换相互关系,它们的规律可概括如下:
两种方法殊途同归
作业:蓝面书
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