中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第29讲 尺规作图（解析版）学案

这是一份中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第29讲 尺规作图（解析版）学案，共25页。学案主要包含了应用角平分线，画已知直线的平行线，垂线，画三角形，通过画图确定圆心等内容，欢迎下载使用。

 中考数学一轮复习讲义
考点二十九：尺规作图
聚焦考点☆温习理解
1．尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺[来源:学科网]
2．基本作图
(1)作一条线段等于已知线段，以及线段的和﹑差；
(2)作一个角等于已知角，以及角的和﹑差；
(3)作角的平分线；
(4)作线段的垂直平分线；
(5)过一点作已知直线的垂线．
3．利用基本作图作三角形
(1)已知三边作三角形；
(2)已知两边及其夹角作三角形；
(3)已知两角及其夹边作三角形；
(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；
(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．
4．与圆有关的尺规作图
(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)；
(2)作三角形的内切圆；
(3)作圆的内接正方形和正六边形．
5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考的常见类型
6．作图的一般步骤
尺规作图的基本步骤：
(1)已知：写出已知的线段和角，画出图形；
(2)求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化；
(3)作法：应用“五种基本作图”，叙述时不需重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹；
(4)证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，必须再根据已知的定义、公理、定理等，结合作法来证明所作出的图形完全符合题设条件；
(5)讨论：研究是不是在任何已知的条件下都能作出图形；在哪些情况下，问题有一个解、多个解或者没有解；
(6)结论：对所作图形下结论．
名师点睛☆典例分类[来源:Z_xx_k.Com]
考点典例一、应用角平分线、线段的垂直平分线性质画图
【例1】(2019·贵州贵阳·3分)如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是(　　)

A．2 B．3 C． D．
【分析】利用基本作图得到CE⊥AB，再根据等腰三角形的性质得到AC＝3，然后利用勾股定理计算CE的长．
【解答】解：由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°，
AC＝AB＝BE+AE＝2+1＝3，
在Rt△ACE中，CE＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)．
【举一反三】
(2018黑龙江绥化一模)如图，为某公园的三个景点，景点和景点之间有一条笔直的小路，现要在小路上建一个凉亭，使景点、景点到凉亭的距离之和等于景点到景点的距离．请用直尺和圆规在所给的图中作出点．(不写作法和证明，只保留作图痕迹)

【答案】作图见解析.
【解析】

考点：作图—应用与设计作图．
考点典例二、画已知直线的平行线，垂线
【例2】(北京市燕山区2018届九年级一模)下面是“经过已知直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.

请回答：该作图依据是__________________________________________________．
【答案】四边相等的四边形是菱形，菱形对边平行， 两点确定一条直线
【解析】四边相等的四边形是菱形，菱形对边平行， 两点确定一条直线。
【点睛】尺规作图经过已知直线外一点作这条直线的平行线，实际上就是基本作图：作一个角等于已知角．
【例3】(2019•山东青岛•4分)请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：∠α，直线l及l上两点A，B．
求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．

【分析】先作∠DAB＝α，再过B点作BE⊥AB，则AD与BE的交点为C点．
【解答】解：如图，△ABC为所作．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【举一反三】
(2017浙江衢州第7题)下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是(　　)

A．① B．② C．③ D．④
【答案】C.

考点：基本作图.
考点典例三、画三角形
【例4】(2018江苏无锡模拟中考题)如图，已知等边△ABC，请用直尺(不带刻度)和圆规，按下列要求作图(不要求写作法，但要保留作图痕迹)：
(1)作△ABC的外心O；
(2)设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F，点H分别在边BC和AC上．

【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析.
【解析】
试题分析：(1)根据垂直平分线的作法作出AB，AC的垂直平分线交于点O即为所求；
(2)过D点作DI∥BC交AC于I，分别以D，I为圆心，DI长为半径作圆弧交AB于E，交AC于H，过E点作EF∥AC交BC于F，过H点作HG∥AB交BC于G，六边形DEFGHI即为所求正六边形．
试题解析：(1)如图所示：点O即为所求．

(2)如图所示：六边形DEFGHI即为所求正六边形．

考点：1.作图—复杂作图；2.等边三角形的性质；3.三角形的外接圆与外心．
【点睛】(1)作三角形包括：①已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；②已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；③已知三角形的三边，求作三角形；
(2)求作三角形的关键是确定三角形的顶点；而求作直角三角形时，一般先作出直角，然后根据条件作出所求的图形．
【举一反三】
已知：线段a、c和∠β(如图)，利用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠β．(不写作法，保留作图痕迹)．

【答案】作图见解析.
【解析】
试题分析：先作∠MBN=∠β，再在∠MBN的两边上分别截取BC=a，AB=c，连接AC即可．
试题解析：

考点：作图—基本作图．
考点典例四、通过画图确定圆心
【例5】(2019•甘肃庆阳•8分)已知：在△ABC中，AB＝AC．
(1)求作：△ABC的外接圆．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝　25π　．

【分析】(1)作线段AB，BC的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O即为所求．
(2)在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题．
【解答】解：(1)如图⊙O即为所求．

(2)设线段BC的垂直平分线交BC于点E．
由题意OE＝4，BE＝EC＝3，
在Rt△OBE中，OB＝＝5，
∴S圆O＝π•52＝25π．
故答案为25π．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【举一反三】
(浙江省杭州市余杭区2018届九年级上学期期中) 如图，(1)作△ABC的外接⊙O(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若AB=6cm，AC=BC=5cm，求⊙O的半径．

【答案】(1)(1)作图见解析；(2)
【解析】试题分析：(1)作线段AB于BC的垂直平分线相交于点O，则点O即为圆心，OA为半径，作△ABC的外接圆即可；
(2)先根据勾股定理求出CD的长，设OC=OA=r，则OD=CD-r，在Rt△AOD中，利用勾股定理求出r的值即可．
试题解析：(1)如图，⊙O即为所求；

(2)∵AB=6cm，AC=BC=5cm，
∴AD=AB=3cm，
∴CD==4cm．
设OC=OA=r，则OD=4-r，
在Rt△AOD中，
∵AD2+OD2=OA2，即32+(4-r)2=r2，解得r=．
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1．(2018广西贺州中考模拟)如图，△ABC中，AB＞AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是( )

A．∠DAE=∠B B．∠EAC=∠C C．AE∥BC D．∠DAE=∠EAC
【答案】D．
【解析】
试题分析：根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE=∠B，故A选项正确，∴AE∥BC，故C选项正确，∴∠EAC=∠C，故B选项正确，∵AB＞AC，∴∠C＞∠B，∴∠CAE＞∠DAE，故D选项错误，故选D．
考点：作图—复杂作图；平行线的判定与性质；三角形的外角性质．
2．(2017-2018学年江苏盐城东台市第二教育联盟初二上10月考)用尺规作图，不能作出唯一直角三角形的是( )
A．已知两条直角边 B．已知两个锐角
C．已知一直角边和直角边所对的一锐角 D．已知斜边和一直角边
【答案】B．

考点：作图——复杂作图．
3．(2019•北京)已知锐角∠AOB，如图，
(1)在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作 ，交射线OB于点D，连接CD；
(2)分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；
(3)连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是

A．∠COM=∠COD B．若OM=MN．则∠AOB=20°
C．MN∥CD D．MN=3CD
【答案】D
【解析】由作图知CM=CD=DN，∴∠COM=∠COD，故A选项正确；

∵OM=ON=MN，∴△OMN是等边三角形，∴∠MON=60°，
∵CM=CD=DN，∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故B选项正确；
∵∠MOA=∠AOB=∠BON=20°，∴∠OCD=∠OCM=80°，∴∠MCD=160°，
又∠CMN=∠AON=20°，∴∠MCD+∠CMN=180°，∴MN∥CD，故C选项正确；
∵MC+CD+DN>MN，且CM=CD=DN，∴3CD>MN，故D选项错误，故选D．
【名师点睛】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．
4．(2019•河北)根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．故选C．
【名师点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)．也考查了三角形的外心．
5．(2017湖北随州)如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是(　　)

A. 以点F为圆心，OE长为半径画弧
B. 以点F为圆心，EF长为半径画弧
C. 以点E为圆心，OE长为半径画弧
D. 以点E为圆心，EF长为半径画弧[来源:学|科|网]
【答案】D
【解析】解：用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧．故选D．
6．(浙江省温州市鹿城区第二十三中学2018学年八年级期中)如图，用尺规作图作“一个角等于已知角”的原理是：因为,所以.由这种作图方法得到的和全等的依据是( )

A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS
【答案】A
【解析】根据作图方法可知：D' O' =DO， O' C'=OC，D'C'=DC，根据SSS即可得，故选A.
7．(2018届浙江省杭州市淳安县中考模拟)尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎期中，连当年叱咤风云的拿破仑也不例外，我们可以只用圆规将圆等分。例如可将圆6等分，如图只需在⊙O上任取点A，从点A开始，以⊙O的半径为半径，在⊙O上依次截取点B,C,D,E,F.从而点A,B,C,D,E,F把⊙O六等分。下列可以只用圆规等分的是( )
①两等分 ②三等分 ③四等分 ④五等分

A. ② B. ①② C. ①②③ D. ①②③④
【答案】D
【解析】经过圆心的直径可将圆周两等分；画一条直径，以直径的一个端点为圆心，以圆的半径为半径画弧，与原有圆有两个交点，这两个交点与直径另一个端点就是圆的三等分点；画两条互相垂直的直径就可以将圆四等分；五等分圆如下图所示：

8．((2019•长春)如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点．使，则符合要求的作图痕迹是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵且，∴，∴，
∴点是线段中垂线与的交点，故选B．
【名师点睛】考核知识点：线段垂直平分线．理解线段垂直平分线性质是关键．
9．(浙江省丽水市青田县八校联盟2018届九年级上学期第二次教学效果调研)已知线段AB,下列尺规作图中,PQ与AB的交点O不一定是AB的中点的是( )

A. A B. B C. C D. D
【答案】C
10．(2018湖北十堰中考模拟)如图，在中，尺规作图如下：分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线，交于点,连接，则下列结论正确的是( )

A．平分 B．垂直平分
C. 垂直平分 D．平分
【答案】C
【解析】
试题分析：根据线段垂直平分线的作法可得，GH垂直平分线段EF．
故选：C．
考点：1、作图—基本作图；2、线段垂直平分线的性质
11．(2019•潍坊)如图，已知．按照以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于，两点，连接；②分别以点，为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接，；③连接交于点．下列结论中错误的是

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由作图步骤可得：是的角平分线，∴∠COE=∠DOE，
∵OC=OD，OE=OE，OM=OM，
∴△COE≌△DOE，∴∠CEO=∠DEO，
∵∠COE=∠DOE，OC=OD，∴CM=DM，OM⊥CD，
∴S四边形OCED=S△COE+S△DOE=，
但不能得出，
∴A、B、D选项正确，不符合题意，C选项错误，符合题意，故选C．
【名师点睛】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)是解题的关键．
12．(2019•宁夏)如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则__________．

【答案】
【解析】由作法得平分，
∵，，∴，
∴，∴，
在中，，∴，
∴．故答案为：．
【名师点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)．
13．(2018年北京怀柔初三数学二模)下面是一道确定点P位置的尺规作图题的作图过程.
如图，直线L1与L2相交于点O，A,B是L2上两点，点P是直线L1上的点，且∠APB=30°，请在图中作出符合条件的点P.

作法：如图，
(1)以AB为边在L2上方作等边△ABC；
(2)以C 为圆心，AB长为半径作⊙C交直线L1于P1，P2两点.
则P1、P2就是所作出的符合条件的点P.

请回答:该作图的依据是______________________________________________________.
【答案】一条弧所对圆周角的度数是圆心角度数的一半.
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∴∠AP1B=30°，∠AP2B=30°
依据是：一条弧所对圆周角的度数是圆心角度数的一半.
14. 如图，在四边形中，∥,=2,为的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留作图痕迹)
(1)在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；
(2)在图2中，若BA=BD, 画出△ABD的AD边上的高 .

【来源】江西省2018年中等学校招生考试数学试题
【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析.

【详解】(1)如图AF是△ABD的BD边上的中线；

(2)如图AH是△ABD的AD边上的高.

【点睛】本题考查了利用无刻度的直尺按要求作图，结合题意认真分析图形的成因是解题的关键.
15. (2019•金华)如图，在的方格中，的顶点均在格点上，试按要求画出线段EF(E，F均为格点)，各画出一条即可．

【解析】如图所示：

16. (2019•吉林)图①，图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A、B、C、D均为格点，按下列要求画图：
(1)在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点；
(2)在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H为格点，∠CGD=∠CHD=90°．

【解析】(1)如图，菱形AEBF即为所求．
(2)如图，四边形CGDH即为所求．

【名师点睛】本题考查作图﹣应用与设计，菱形的判定和性质，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
31．(2019•武汉)如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．
(1)如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF=DC．
(2)如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD=∠BGC．
(3)如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM=AB．

【解析】(1)如图所示，线段AF即为所求．
(2)如图所示，点G即为所求．
(3)如图所示，线段EM即为所求．

【名师点睛】本题考查了作图﹣应用与设计作图，平行线四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，对顶角的性质，正确的作出图形是解题的关键．
17.(2017贵州六盘水第25题)如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点.
(1)利用尺规作图，确定当最小时点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹).
(2)求的最小值.

【答案】(1)详见解析；(2)2.
试题分析：(1)画出A点关于MN的称点,连接B,就可以得到P点; (2)利用得∠AON=∠=60°，又为弧AN的中点,∴∠BON=30°，所以∠ON=90°，再求最小值．
试题解析：
(1)如图，点P即为所求作的点.

(2)由(1)可知，的最小值为的长，
连接,OB、OA
∵A点关于MN的称点，∠AMN=30°，
∴
又∵为的中点
∴
∴
∴
又∵MN=4
∴
在Rt△中，
即的最小值为2.

考点：圆，最短路线问题．
18.(2017江苏盐城第24题)如图，△ABC是一块直角三角板，且∠C=90°，∠A=30°，现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部．
(1)如图①，当圆形纸片与两直角边AC、BC都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO；(不写作法与证明，保留作图痕迹)
(2)如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC=9，圆形纸片的半径为2，求圆心O运动的路径长．

【答案】(1)作图见解析；(2)15+．
【解析】
试题分析：(1)作∠ACB的平分线得出圆的一条弦，再作此弦的中垂线可得圆心O，作射线CO即可；
(2)添加如图所示辅助线，圆心O的运动路径长为C△OO1O2，先求出△ABC的三边长度，得出其周长，证四边形OEDO1、四边形O1O2HG、四边形OO2IF均为矩形、四边形OECF为正方形，得出∠OO1O2=60°=∠ABC、∠O1OO2=90°，从而知△OO1O2∽△CBA，利用相似三角形的性质即可得出答案．
试题解析：(1)如图①所示，射线OC即为所求；


(2)如图，圆心O的运动路径长为C△OO1O2，[来源:学|科|网Z|X|X|K]

过点O1作O1D⊥BC、O1F⊥AC、O1G⊥AB，垂足分别为点D、F、G，
过点O作OE⊥BC，垂足为点E，连接O2B，
过点O2作O2H⊥AB，O2I⊥AC，垂足分别为点H、I，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°、∠A=30°，
∴AC=，AB=2BC=18，∠ABC=60°，
∴C△ABC=9+9+18=27+9，
∵O1D⊥BC、O1G⊥AB，
∴D、G为切点，
∴BD=BG，
在Rt△O1BD和Rt△O1BG中，
∵，
∴△O1BD≌△O1BG(HL)，
∴∠O1BG=∠O1BD=30°，
在Rt△O1BD中，∠O1DB=90°，∠O1BD=30°，
∴BD=，
∴OO1=9-2-2=7-2，
∵O1D=OE=2，O1D⊥BC，OE⊥BC，
∴O1D∥OE，且O1D=OE，
∴四边形OEDO1为平行四边形，
∵∠OED=90°，
∴四边形OEDO1为矩形，
同理四边形O1O2HG、四边形OO2IF、四边形OECF为矩形，
又OE=OF，
∴四边形OECF为正方形，
∵∠O1GH=∠CDO1=90°，∠ABC=60°，
∴∠GO1D=120°，
又∵∠FO1D=∠O2O1G=90°，
∴∠OO1O2=360°-90°-90°=60°=∠ABC，
同理，∠O1OO2=90°，
∴△OO1O2∽△CBA，
∴，即，
∴C△OO1O2=15+，即圆心O运动的路径长为15+．
考点：切线的性质；作图—复杂作图．
19. (2019•哈尔滨)图1、2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上．
(1)在图1中画出以为底边的等腰直角，点在小正方形顶点上；
(2)在图2中画出以为腰的等腰，点在小正方形的顶点上，且的面积为8．

【解析】(1)作的垂直平分线，作以为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点．
(2)以为圆心，为半径作圆，格点即为点．

【名师点睛】本题主要考查了利用线段垂直平分线的性质及圆的性质作图，正确理解题意并知晓作图依据是解题的关键．
26．(2019•济宁)如图，点和点在内部．
(1)请你作出点，使点到点和点的距离相等，且到两边的距离也相等(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)请说明作图理由．

【解析】(1)如图，作∠AOB的角平分线与线段MN的垂直平分线交于P点，即点到点和点的距离相等，且到两边的距离也相等．

(2)理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
【名师点睛】本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本作图的一般步骤、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解题的关键．
20. (2019•湖北武汉•8分)如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．
(1)如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF＝DC．
(2)如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD＝∠BGC．
(3)如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM＝AB．

【分析】(1)作平行四边形AFCD即可得到结论；
(2)根据等腰三角形的性质和对顶角的性质即可得到结论；
(3)作平行四边形AEMB即可得到结论．
【解答】解：(1)如图所示，线段AF即为所求；
(2)如图所示，点G即为所求；
(3)如图所示，线段EM即为所求．