中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第24讲 线段、角与相交线（解析版）学案

这是一份中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第24讲 线段、角与相交线（解析版）学案，共16页。学案主要包含了线段，角与角的计算，相交线，余角与补角等内容，欢迎下载使用。
聚焦考点☆温习理解
一、线段、射线、直线
1．线段的基本性质
在所有连结两点的线中，线段最短．
2．直线的基本性质
经过两点有一条而且只有一条直线．
二、角与角的计算
1．角的基本概念
由两条有公共端点的射线组成的图形叫做角；如果一个角的两边成一条直线，那么这个角叫做平角；等于90°的角是直角；大于直角小于平角的角是钝角，小于直角的角是锐角．
2．角的计算与换算
1周角＝360度，1平角＝180度，1直角＝90度，1度＝60分，1分＝60秒．
3．余角、补角及其性质
(1)互为补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角 .
(2)互为余角：如果两个锐角的和是一个直角，那么这两个角互为余角．
(3)性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等．
4．角平分线
(1)角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．
(2)性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等；角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
三、相交线
1．邻补角、对顶角及其性质
(1)如图所示，直线a，b相交，形成四个角．
图中的邻补角有∠1和∠2，∠1和∠4，∠2和∠3，∠3和∠4；图中的对顶角有∠1和∠3，∠2和∠4.
(2)性质：邻补角互补；对顶角相等．
2．垂线及其性质
(1)垂线：当两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．
(2)性质：①在同一平面内，过一点有一条而且只有一条直线垂直于已知直线；②一般地，连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
(3)直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
3．线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．
名师点睛☆典例分类
考点典例一、线段与直线的性质
【例1】(2019•吉林)曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是
A．两点之间，线段最短
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
【答案】A
【解析】这样做增加了游人在桥上行走的路程，其中蕴含的数学道理是：利用两点之间线段最短，可得出曲折迂回的曲桥增加了游人在桥上行走的路程．故选A．
【名师点睛】此题主要考查了两点之间线段最短，正确将实际问题转化为数学知识是解题关键．
【举一反三】
如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线．能解释这一实际应用的数学知识是( )
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】A．
考点：直线的性质：两点确定一条直线．
【点睛】本题考查了线段的性质，牢记线段的性质是解题关键．
考点典例二、度分秒的换算．
【例2】(2019•浙江湖州•3分)已知∠α＝60°32′，则∠α的余角是( )
A．29°28′B．29°68′C．119°28′D．119°68′
【分析】根据余角的概念进行计算即可．
【解答】解：∵∠α＝60°32′，
∠α的余角是为：90°﹣60°32′＝29°28′，
故选：A．
【点评】本题考查的是余角和补角，如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角．如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．
【举一反三】
1. (河北省唐山市路北区2017-2018学年期末)计算：①33°52′+21°54′=________；
②18.18°=________°________′________″．
【答案】 55°46′； 18； 10； 48
【解析】试题解析：①原式
②
故答案为：①②
【点睛】①根据度分秒的加法：相同单位相加，满60时向上一单位进1，可得答案；
②根据大单位化小单位乘以进率，可得答案．
3．(重庆市秀山县2017-2018学年七年级上学期八校联考)计算：48°39′+67°33′= ______ ．
【答案】116°12′
【解析】原式=48°39′+67°33′=115°72′=116°12′.
即答案为：116°12′.
考点典例三、角平分线的性质与应用
【例3】(2018年安徽省安顺中考数学监测试卷)如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOE=90°，OF平分∠AOE，∠1=15°30’，则下列结论不正确的是( )
A. ∠2=45° B. ∠1=∠3 C. ∠AOD+∠1=180° D. ∠EOD=75°30＇
【答案】D
故选D．
【举一反三】
(2018年湖北省黄梅濯港镇中心学校数学中考模拟试题)如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H=27°，则∠K=( )
A. 76° B. 78° C. 80° D. 82°
【答案】B
【解析】如图，分别过K、H作AB的平行线MN和RS，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥RS∥MN，
∴∠RHB=∠ABE=∠ABK，∠SHC=∠DCF=∠DCK，∠NKB+∠ABK=∠MKC+∠DCK=180°，
∴∠BHC=180°﹣∠RHB﹣∠SHC=180°﹣(∠ABK+∠DCK)，
∠BKC=180°﹣∠NKB﹣∠MKC=180°﹣(180°﹣∠ABK)﹣(180°﹣∠DCK)=∠ABK+∠DCK﹣180°，
∴∠BKC=360°﹣2∠BHC﹣180°=180°﹣2∠BHC，
又∠BKC﹣∠BHC=27°，
∴∠BHC=∠BKC﹣27°，
∴∠BKC=180°﹣2(∠BKC﹣27°)，
∴∠BKC=78°，
故选：B．
考点典例四、余角与补角
【例3】如图，若l1∥l2，l3∥l4，则图中与∠1互补的角有
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【来源】陕西省2018年中考数学试题
【答案】D
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
【举一反三】
已知∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE．
(1)如图①,当∠BOC=70°时，求∠DOE的度数；
(2)如图②，当射线OC在∠AOB内绕点O旋转时，∠DOE的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数．
【答案】(1)45°；(2)，不变，∠DOE=45°
【解析】
考点：角平分线的性质
课时作业☆能力提升
一、选择题
1.将一副三角尺按如图方式进行摆放 ，∠1、∠2不一定互补的是( )
【答案】D
【解析】
试题分析：根据互余、互补的定义结合图形判断A中∠1与∠2互补；根据互补的定义和平行线的性质可得B中，∠1与∠2互补；根据直角三角形的性质和四边形的内角和可得C中∠1与∠2互补；根据图形可知∠1与∠2都是小于直角的锐角，所有D中的∠1与∠2一定不互补，故选：D.
考点：互补.
2. (2019•浙江湖州)已知∠α=60°32′，则∠α的余角是
A．29°28′B．29°68′C．119°28′D．119°68′
【答案】A
【解析】∵∠α=60°32′，∠α的余角是为：90°﹣60°32′=29°28′，故选A．
【名师点睛】本题考查的是余角和补角，如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角．如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．
4. (2017年河北省石家庄市裕华区中考数学模拟)下列图形中，∠2＞∠1的是( )
A. B. 平行四边形
C. D.
【答案】C
【解析】试题解析：A中∠1与∠2为对顶角，∴∠1=∠2；
B中平行四边形的对角相等，∴∠1=∠2；
C中根据三角形任意一个外角大于与之不相邻的任意一内角，∴∠2＞∠1．
D中根据平行线的性质得到∠1=∠2，
故选C．
5. (2019•湖北十堰)如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1=50°，则∠2=
A．50°B．45°C．40°D．30°
【答案】C
【解析】∵直线AB⊥AC，∴∠2+∠3=90°．
∵∠1=50°，∴∠3=90°﹣∠1=40°，
∵直线a∥b，∴∠1=∠3=40°，
故选C．
【名师点睛】本题考查了平行线的性质，余角角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
6. 如图,将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与互余的是( )
A. 图① B. 图② C. 图③ D. 图④
【来源】山东省德州市2018年中考数学试题
【答案】A
点睛：本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．
7. (2017湖南常德第2题)若一个角为75°，则它的余角的度数为( )
A．285° B．105° C．75° D．15°
【答案】D．
【解析】
试题分析：它的余角=90°﹣75°=15°，故选D．
考点：余角和补角．
8. (2019·山东淄博)如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20°方向行走至点C处，则∠ABC等于
A．130°B．120°C．110°D．100°
【答案】C
【解析】如图：
∵小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，
∴∠DAB=40°，∠CBF=20°，
∵向北方向线是平行的，即AD∥BE，∴∠ABE=∠DAB=40°，
∵∠EBF=90°，∴∠EBC=90°﹣20°=70°，
∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=40°+70°=110°，
故选C．
【名师点睛】本题考查了方向角及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等是解题的关键．
9.如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线.如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为( )
A．50°B．60°C．65°D．70°
【答案】D．
考点：1.角的计算；2.角平分线的定义．
10. (2018黄冈中考模拟)如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是( )
A．120°B．90°C．100°D．30°
【答案】C．
【解析】
试题解析：∠A=∠ACD﹣∠B
=120°﹣20°
=100°，
故选：C．
考点：三角形的外角性质．
11.如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若射线OB与射线OA垂直，则OB的方位角是( )
A．北偏西30°B．北偏西60°C．东偏北30°D．东偏北60°
【答案】B．
【解析】
试题分析：根据垂直，可得∠AOB的度数，根据角的和差，可得答案．
试题解析：∵射线OB与射线OA垂直，
∴∠AOB=90°，
∴∠1=90°-30°=60°，
故射线OB的方位角是北偏西60°，
故选：B．
考点：方向角．
12.将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么，在形成的这个图中与∠α互余的角共有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C．
【解析】
试题分析：由互余的定义、平行线的性质，利用等量代换求解即可．
试题解析：∵斜边与这根直尺平行，
∴∠α=∠2，
又∵∠1+∠2=90°，
∴∠1+∠α=90°，
又∠α+∠3=90°
∴与α互余的角为∠1和∠3．
故选：C．
考点：平行线的性质；余角和补角．
13. (2018•铜仁市)在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，则a与c的距离为( )
A．1cmB．3cmC．5cm或3cmD．1cm或3cm
【答案】C
【解答】解：当直线c在a、b之间时，
∵a、b、c是三条平行直线，
而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，
∴a与c的距离=4﹣1=3(cm)；
当直线c不在a、b之间时，
∵a、b、c是三条平行直线，
而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，
∴a与c的距离=4+1=5(cm)，
综上所述，a与c的距离为3cm或3cm．
故选：C．
14. (2018湖北武汉中考模拟)如图，直线 ，直线与直线分别交于点 ，射线直线，则图中互余的角有 ( )
A． 个 B．个 C． 个 D． 个
【答案】A
【解析】
试题分析：∵射线DF⊥直线c，∴∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，即与∠1互余的角有∠2，∠3，
又∵a∥b，∴∠3=∠5，∠2=∠4，∴与∠1互余的角有∠4，∠5，∴与∠1互余的角有4个，
故选A．
考点：1.平行线的性质；2.余角
15. (2018广西百色中考模拟)如图，为的平分线，下列等式错误的是( )
A． B． C. D．
【答案】C
【解析】
试题分析：∵AM为∠BAC的平分线，
∴ ∠BAC=∠BAM，∠BAM=∠CAM，∠BAM=∠CAM，2∠CAM=∠BAC．
故选C．
考点：角平分线的定义．
16. (2019•广州)一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转α(0°＜α＜90°)，使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为__________．
【答案】
【解析】分情况讨论：
①当DE⊥BC时，∠BAD=75°，∴α=90°﹣∠BAD=15°；
②当AD⊥BC时，∠BAD=45°，即α=45°．
故答案为：15°或45°．
【名师点睛】本题主要考查了垂直的定义，旋转的定义以及一副三角板的各个角的度数，理清定义是解答本题的关键．
17.(重庆市江津区2017-2018学年七年级下学期期末) 如图，线段，点为中点，点为中点，在线段上取点，使，则线段的长为_________.
【答案】1cm或5cm
(2)如图2，当点E在点C的左侧时，
∵线段，点为中点，
∴AC=BC=6，
又∵点为中点， ，
∴CD=3，CE=2，
∴DE=CD+CE=3+2=5.
综上所述，DE的长为1或5.
点睛：题目中没有说明点E在点C的哪一侧，因此必须分两种情况讨论：(1)点E在点C的右侧；(2)点E在点C的左侧.
18. (浙江省宁波市李兴贵中学2017-2018学年七年级上册期末模拟)已知∠AOE是平角，OD平分∠COE，OB平分∠AOC，∠DOE：∠BOC=2：3，求∠DOC，∠BOC的度数．
【答案】∠DOC=36°，∠BOC=54°
【解析】试题分析：利用平角的定义结合角平分线的性质得出∠BOC= 12 ∠AOC，∠DOC= 12 ∠COE，进而利用∠DOE：∠BOC=2：3求出答案．
试题解析：如图所示： ∵∠AOE是平角，OD平分∠COE，OB平分∠AOC，
∴∠BOC= ∠AOC，∠DOC= ∠COE，
∴∠BOD= (∠AOC+∠COE)=90°，
∵∠DOE：∠BOC=2：3，
∴∠DOC：∠BOC=2：3，
∴∠DOC= ×90°=36°，
∠BOC= ×90°=54°．