中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第26讲 三角形（解析版）学案

这是一份中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第26讲 三角形（解析版）学案，共34页。学案主要包含了三角形，全等三角形，等腰三角形，相似三角形，位似三角形等内容，欢迎下载使用。
 中考数学一轮复习讲义
考点二十六：三角形
聚焦考点☆温习理解
一、三角形
1、三角形中的主要线段
(1)三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
(2)在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
(3)从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)。
2、三角形的三边关系定理及推论
(1)三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
(2)三角形三边关系定理及推论的作用：
①判断三条已知线段能否组成三角形
②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
3、三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：
①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。
二、全等三角形
1、三角形全等的判定
三角形全等的判定定理：
(1)边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”)
(2)角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”)
(3)边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。
直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理(斜边、直角边定理)：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)
2.全等三角形的性质：
三、等腰三角形
1、等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。学+科网
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
2、等腰三角形的判定定理及推论：
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称：等角对等边)。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
3、三角形中的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

名师点睛☆典例分类
考点典例一、三角形的性质
【例1】(2019•湖北省荆门市•3分)将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是
(　　)

A．95° B．100° C．105° D．110°
【分析】根据题意求出∠2、∠4，根据对顶角的性质、三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：由题意得，∠2＝45°，∠4＝90°﹣30°＝60°，
∴∠3＝∠2＝45°，
由三角形的外角性质可知，∠1＝∠3+∠4＝105°，
故选：C．

【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
【例2】已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．

【来源】山东省淄博市2018年中考数学试题
【答案】证明见解析
【解析】分析：过点A作EF∥BC，利用EF∥BC，可得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠1+∠2+∠BAC=180°，利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C=180°．
详解：证明：过点A作EF∥BC，


点睛：本题考查了三角形的内角和定理的证明，作辅助线把三角形的三个内角转化到一个平角上是解题的关键．
【举一反三】
1. (2018年山东省滨州市初中学业水平考试数学样题)如图，直线l1∥l2，且分别与△ABC的两边AB、AC相交，若∠A=45°，∠1=65°，则∠2的度数为 ( )

A. 45° B. 65° C. 70° D. 110°
【答案】C

∵∠A=45°，
∴∠3=180°-∠4-∠A=180°-65°-45°=70°，
∴∠2=∠3=70°.
故选C.
2. (安徽省合肥市2018届九年级第五次十校联考)如图，△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，连接BE．若AE=6，DE=5，∠BEC=90°，则△BCE的周长是(　 　)

A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
【答案】B
【解析】试题解析：△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，
是的中点，


∠BEC=90°，

△BCE的周长
故选B.
点睛：三角形的中位线平行于第三边而且等于第三边的一半.
考点典例二、等腰三角形
【例3】(2018湖北黄冈教育网A卷)如图，在中，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为( )

A．4 B．5 C． 6 D．7
【答案】C
【解析】
试题解析：①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；
②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；
③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；
④作AC的垂直平分线交AB于点H，△ACH就是等腰三角形；
⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；
⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI是等腰三角形．

故选C.
考点：等腰三角形.
【点睛】本题考查了画等腰三角形；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
【举一反三】
1. (2018江西中考模拟)已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )条．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B.

考点：等腰三角形的性质.
2. (北京首都师范大学第二附属中学2017-2018学年八年级上学期期中考试数学试题)已知一个等腰三角形的两边长分别是和，则该等腰三角形的周长为( )．
A. B. C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】解：当是腰时，三边长为， ， ．
∵，∴不合题意，故舍去．
当是腰时，三边长为， ， ，∴周长为．
故选A．
考点典例三、全等三角形
【例4】(2019•贵州省安顺市•3分)如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是(　　)

A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC
【解答】解：选项A、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；
选项B、添加AC＝DF可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项C、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．
故选：A．
【举一反三】
如图，点，分别在线段，上，与相交于点，已知，现添加以下哪个条件仍不能判定( )

A. B. C. D.
【来源】贵州省安顺市2018年中考数学试题
【答案】D

点睛：此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理．
考点典例四、相似三角形
【例5】(2019•海南省)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为(　　)

A. B． C． D．
【答案】B．
【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠QBD＝∠BDQ，得到QB＝QD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC＝＝3，
∵PQ∥AB，
∴∠ABD＝∠BDQ，又∠ABD＝∠QBD，
∴∠QBD＝∠BDQ，
∴QB＝QD，
∴QP＝2QB，
∵PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴＝＝，即＝＝，
解得，CP＝，
∴AP＝CA﹣CP＝

【举一反三】
(2018黑龙江中考模拟)如图，在中，分别为边上的点，，点为边上一点，连接交于点，则下列结论中一定正确的是( )

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：A、∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，故A错误；
B、∵DE∥BC，∴，故B错误；
C、∵DE∥BC，∴，故C正确；
D、∵DE∥BC，∴△AGE∽△AFC，∴，故D错误；
故选C
考点：相似三角形的判定与性质．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用△BDE的面积表示出△ABC的面积是解题的关键．
考点典例五、位似三角形
【例6】(2019•本溪)在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A(4，2)，B(5，0)，以点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为__________．
【答案】(2，1)或(-2，-1)
【解析】以点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，点A的坐标是A(4，2)，
则点A的对应点A1的坐标为(4×，2×)或(-4×，-2×)，即(2，1)或(-2，-1)，故答案为：(2，1)或(-2，-1)．
【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形的面积比等于位似比的平方得出是解题关键．
【举一反三】
(2018甘肃兰州中考模拟)如图，四边形与四边形相似，位似中心点是，，则 .

【答案】
【解析】
试题解析：如图所示：
∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，
∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，
∴，
∴．
考点：位似变换．
考点典例六：直角三角形
【例7】(2019•湖北省鄂州市•3分)如图，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝　　．

【分析】分∠APB＝90°、∠PAB＝90°、∠PBA＝90°三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
【解答】解：∵AO＝OB＝2，
∴当BP＝2时，∠APB＝90°，
当∠PAB＝90°时，∵∠AOP＝60°，
∴AP＝OA•tan∠AOP＝2，
∴BP＝＝2，
当∠PBA＝90°时，∵∠AOP＝60°，
∴BP＝OB•tan∠1＝2，
故答案为：2或2或2．

【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
【例8】(2019浙江丽水8分)如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均在格点上．试按要求画出线段EF(E，F均为格点)，各画出一条即可．

【分析】从图中可得到AC边的中点在格点上设为E，过E作AB的平行线即可在格点上找到F；EC＝，EF＝，FC＝，借助勾股定理确定F点；
【解答】解：如图：
从图中可得到AC边的中点在格点上设为E，过E作AB的平行线即可在格点上找到F，则EG平分BC；
EC＝，EF＝，FC＝，借助勾股定理确定F点，则EF⊥AC；
借助圆规作AB的垂直平分线即可；

【点评】本题考查三角形作图；在格点中利用勾股定理，三角形的性质作平行、垂直、中点是解题的关键．
【举一反三】
1. 在中，，平分，平分，相交于点，且，则__________．

【来源】广东省深圳市2018年中考数学试题
【答案】

【详解】如图，∵AD、BE分别平分∠CAB和∠CBA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠C=90°，∴∠2+∠3=45°，∴∠AFE=45°，
过E作EG⊥AD，垂足为G，
在Rt△EFG中，∠EFG=45°，EF=，∴EG=FG=1，
在Rt△AEG中，AG=AF-FG=4-1=3，∴AE=，
过F分别作FH⊥AC垂足为H， FM⊥BC垂足为M，FN⊥AB垂足为N，易得CH=FH，
设EH=a，则FH2=EF2-EH2=2-a2，
在Rt△AHF中，AH2+HF2=AF2，
即+2-a2=16，
∴a=，
∴CH=FH=，
∴AC=AE+EH+HC=，
故答案为：.

【点睛】本题考查了角平分线的性质，勾股定理的应用等，综合性质较强，正确添加辅助线是解题的关键.
2. 如图，在边长为4的等边中，，分别为，的中点，于点，为的中点，连接，则的长为__________．

【来源】天津市2018年中考数学试题
【答案】
【解析】分析：连接DE，根据题意可得ΔDEG是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解DG的长.
详解：连接DE，


点睛：本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟练运用性质是解题的关键.
课时作业☆能力提升
一、选择题
1. (2019•徐州)下列长度的三条线段，能组成三角形的是
A．，， B．，，12
C．，， D．，，
【答案】D
【解析】∵，∴，，不能组成三角形，故选项A错误，
∵，∴，，不能组成三角形，故选项B错误，
∵，∴，，不能组成三角形，故选项C错误，
∵，∴，，能组成三角形，故选项D正确，故选D．
【名师点睛】本题考查了三角形三边关系，解答本题的关键是明确三角形两边之和大于第三边．
2. (2018甘肃中考模拟)如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是(　　)

A．120° B．90° C．100° D．30°
【答案】C．
【解析】
试题解析：∠A=∠ACD﹣∠B
=120°﹣20°
=100°，
故选：C．
考点：三角形的外角性质．
3. (2019•河南)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD=4，BC=3．分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为

A．2 B．4 C．3 D．
【答案】A
【解析】如图，连接FC，则AF=FC．

∵AD∥BC，∴∠FAO=∠BCO．
在△FOA与△BOC中，，∴△FOA≌△BOC(ASA)，
∴AF=BC=3，∴FC=AF=3，FD=AD-AF=4-3=1．
在△FDC中，∵∠D=90°，∴CD2+DF2=FC2，∴CD2+12=32，∴CD=2．故选A．
4. 如图，已知在△ABC中，∠BAC＞90°，点D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是(　　)

A. AE=EF B. AB=2DE
C. △ADF和△ADE的面积相等 D. △ADE和△FDE的面积相等
【来源】浙江省湖州市2018年中考数学试题
【答案】C
【解析】分析：先判断出△BFC是直角三角形，再利用三角形的外角判断出A正确，进而判断出AE=CE，得出CE是△ABC的中位线判断出B正确，利用等式的性质判断出D正确．
详解：如图，连接CF，


由折叠知，EF=CE，
∴AE=CE，
∵BD=CD，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE，故B正确，
∵AE=CE，
∴S△ADE=S△CDE，
由折叠知，△CDE≌△△FDE，
∴S△CDE=S△FDE，
∴S△ADE=S△FDE，故D正确，
∴C选项不正确，
故选：C．
点睛：此题主要考查了折叠的性质，直角三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，作出辅助线是解本题的关键．
5. 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为(    )

A. 20 B. 24 C. D.
【来源】浙江省温州市2018年中考数学试卷
【答案】B

点睛: 本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，求出小正方形的边长是解题的关键.
6. (2019•南通)如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．

【答案】70
【解析】∵∠ABC=90°，AB=AC，∴∠CBF=180°–∠ABC=90°，∠ACB=45°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=25°，∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°，故答案为：70．
【名师点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题
7. (吉林省实验中学2018年九年级第二学期第一次模拟数学试卷)已知在中，BC=6，AC=， A=30°，则AB的长是________________.
【答案】12或6
【解析】根据题意画出图形如下图所示，则由题意可知：图中，AC=，CB1=CB2=6，∠A=30°，
过点C作CD⊥AB于点D，
∴∠CDA=∠CDB2=90°，
∵AC=，∠A=30°，CB1=CB2，
∴CD=，AD=，DB1=DB2=，
∴AB=AD-DB1=9-3=6或AB=AD+DB2=9+3=12.
故答案为：6或12.

点睛：本题的解题要点是：根据题意画出图形时，需注意∠ABC可能是钝角，也可能是锐角，因此需分这两种情况分别进行讨论解答，解题时不能忽略了其中任何一种情况.
8. ．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件是_____．

【来源】浙江省金华市2018年中考数学试题
【答案】AC=BC．
【解析】分析：添加AC=BC，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC．

点睛：此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角
9. (2019•威海)如图，在四边形中，，连接，．若，，，则__________．

【答案】105
【解析】作于，于，如图所示，

则，∵，，，∴，
∵，∴，，
∴，∴，
∵，∴，∴，故答案为：．
10. (浙师大附属秀洲实验学校2017-2018学年九年级下学期第三次模拟)如图，矩形ABCD中，tan∠BAC=，点E在AB上，点F在CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，且EH∥BC，则AG∶GH∶HC=_______．

【答案】3∶2∶3．

∴EF⊥AC，OE=OF，OG=OH，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°,AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
在△CFO与△AOE中，

∴△CFO≌△AOE，
∴AO=CO，
∴AG=CH，
∵∠CAB=∠CAB,∠AOE=∠B=90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴==tan∠BAC=，

∴AG:GH:HC=3:2:3，
故答案为：3:2:3.
点睛：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用定理是解题的关键.
11. (浙江省宁波市四校2018届九年级上学期12月联考数学试卷)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列三个结论：
①∠BOC=90°+∠A；②设OD＝m，AE＋AF＝n，则S△AEF＝mn；③EF是△ABC的中位线．其中正确的结论是________．

【答案】①

连接AO，过点O作OH⊥AB于H，
∴AO是△ABC的角平分线，
∵OD⊥AC，
∴OH=OD=m，
∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=AE•OH+AF•OD=OD•(AE+AF)=mn；故②错误；
若△ABC是等边三角形，则三线合一，此时EF是△ABC的中位线；故③错误.
故答案为：①.
点睛：此题考查了角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，以及圆与圆的位置关系等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
三．解答题
12. (吉林省长春市2018-7-2018学年度下学期名校调研系列卷——九年级数学综合测试(市命题))如图，点、、、在同一直线上， ⊥， ⊥，连结、，且＝， ＝，求证＝.

【答案】详见解析.

∴∠B=∠E=90°，AC=DF,
∴△ABC△DEF,
∴AB=DE.
13. (2018江苏扬州中考模拟)如图，已知，垂足为，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接.学！科网

(1)线段 ；
(2)求线段的长度.
【答案】(1)4；(2).
【解析】
试题分析：(1)证明△ACD是等边三角形，据此求解；
(2)作DE⊥BC于点E，首先在Rt△CDE中利用三角函数求得DE和CE的长，然后在Rt△BDE中利用勾股定理求解．
试题解析：(1)∵AC=AD，∠CAD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴DC=AC=4．
(2)作DE⊥BC于点E．

∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
又∵AC⊥BC，
∴∠DCE=∠ACB-∠ACD=90°-60°=30°，
∴Rt△CDE中，DE=DC=2，
CE=DC•cos30°=4×，
∴BE=BC-CE=3-2=．
∴Rt△BDE中，BD=．
考点：旋转的性质.
14. (浙师大附属秀洲实验学校2017-2018学年九年级下学期第三次模拟)如图，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ．
(1)求证：△ABP≌△ACQ.
(2)判断△APQ的形状，并说明理由．

【答案】(1)证明见解析；(2)△APQ为等边三角形．证明见解析.
∴ AB=AC．
∵ ∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，
∴ △ABP≌△ACQ(SAS)．
(2)解：△APQ为等边三角形．
证明如下：
∵ △ABP≌△ACQ．
∴ AP=AQ，∠BAP=∠CAQ．
∵ ∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°，
∴ ∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=∠BAP+∠PAC=∠BAC=60°．
∴ △APQ是等边三角形．
15. ．(2018年湖北省武汉市晒湖中学数学中考模拟试题(一))(1)操究发现：如图1，△ABC为等边三角形，点D为AB边上的一点，∠DCE=30°，∠DCF=60°且CF=CD.
①求∠EAF的度数；
②DE与EF相等吗？请说明理由

(2)类比探究：如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点D为AB边上的一点，∠DCE=45°，CF=CD，CF⊥CD，请直接写出下列结果：
①∠EAF的度数
②线段AE，ED，DB之间的数量关系
【答案】(1)①∠EAF=120°；②DE=EF；(2)①∠EAF=90°；②AE2+DB2=DE2．
试题解析：
(1)①∵是等边三角形，



在和中，

∴≌(SAS)，


② 理由如下：



在和中，

∴≌(SAS)，


∴≌(SAS)，


② 理由如下：



在和中，

∴≌(SAS)，

在中，
又


16. (1)操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是__________；位置关系是__________．
(2)类比思考：
如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．
(3)深入研究：
如图③，小明在(2)的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．

【来源】山东省淄博市2018年中考数学试题
【答案】(1)MG=NG； MG⊥NG；(2)成立，MG=NG，MG⊥NG；(3)答案见解析
【解析】分析：(1)利用SAS判断出△ACD≌△AEB，得出CD=BE，∠ADC=∠ABE，进而判断出∠BDC+∠DBH=90°，即：∠BHD=90°，最后用三角形中位线定理即可得出结论；
(2)同(1)的方法即可得出结论；
(3)同(1)的方法得出MG=NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论．
详解：(1)连接BE，CD相较于H，如图1，


(2)连接CD，BE，相较于H，如图2，

同(1)的方法得，MG=NG，MG⊥NG；
(3)连接EB，DC，延长线相交于H，如图3.


点睛：此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解本题的关键．
17. 如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F.
(1)求证：CM=EM；
(2)若∠BAC=50°，求∠EMF的大小；
(3)如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM.

【来源】安徽省2018年中考数学试题
【答案】(1)证明见解析；(2)∠EMF=100°；(3)证明见解析.

【详解】(1)∵M为BD中点，
Rt△DCB中，MC=BD，
Rt△DEB中，EM=BD，
∴MC=ME；
(2)∵∠BAC=50°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°-50°=40°，
∵CM=MB，
∴∠MCB=∠CBM，
∴∠CMD=∠MCB+∠CBM=2∠CBM，
同理，∠DME=2∠EBM，
∴∠CME=2∠CBA=80°，
∴∠EMF=180°-80°=100°；
(3)∵△DAE≌△CEM，CM=EM，
∴AE=EM，DE=CM，∠CME=∠DEA=90°，∠ECM=∠ADE，
∵CM=EM，∴AE=ED，∴∠DAE=∠ADE=45°，
∴∠ABC=45°，∠ECM=45°，
又∵CM=ME=BD=DM，
∴DE=EM=DM，
∴△DEM是等边三角形，
∴∠EDM=60°，
∴∠MBE=30°，
∵CM=BM，∴∠BCM=∠CBM，
∵∠MCB+∠ACE=45°，
∠CBM+∠MBE=45°，
∴∠ACE=∠MBE=30°，
∴∠ACM=∠ACE+∠ECM=75°，

∵CM⊥EM，
∴AN∥CM.

【点睛】本题考查了三角形全等的性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质等，综合性较强，正确添加辅助线、灵活应用相关知识是解题的关键.
18. (2019•黄石)如图，在中，，为边上的点，且，为线段的中点，过点作，过点作，且、相交于点．
(1)求证：；
(2)求证：．

【解析】(1)如图，

∵，∴是等腰三角形，
又∵为的中点，∴，
在和中，
∵为公共角，，
∴．
(2)∵，∴，
∵，∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．