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中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第12讲 位置与坐标（解析版）学案
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这是一份中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第12讲 位置与坐标（解析版）学案，共21页。学案主要包含了三象限夹角平分线上x与y相等，图形的坐标变化与对称，点的平移，点的坐标规律等内容，欢迎下载使用。
中考数学一轮复习讲义
考点十二：位置与坐标
聚焦考点☆温习理解
1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。学科#网
注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念
点的坐标用(a，b)表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，(a，b)和(b，a)是两个不同点的坐标。
3、各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)在第一象限
点P(x,y)在第二象限
点P(x,y)在第三象限
点P(x,y)在第四象限
4、坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上，x为任意实数
点P(x,y)在y轴上，y为任意实数
点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为(0，0)
5、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数
6、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
7、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数
点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数
点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数
8、点到坐标轴及原点的距离
(1)点P(x,y)到x轴的距离等于
(2)点P(x,y)到y轴的距离等于
(3)点P(x,y)到原点的距离等于
9、点的平移
点P(x,y)沿x轴向右(或向左)平移m个单位后对应点的坐标是(x±m,y)；点P(x,y)沿y轴向上(或向下)平移n个单位后对应点的坐标是(x,y±n).
名师点睛☆典例分类
考点典例一、确定位置
【例1】(2019•台湾)如图的坐标平面上有原点O与A、B、C、D四点．若有一直线l通过点(–3，4)且与y轴垂直，则l也会通过下列哪一点？
A．A B．B
C．C D．D
【答案】D
【解析】如图所示：有一直线L通过点(–3，4)且与y轴垂直，故L也会通过D点．故选D．
【名师点睛】此题主要考查了点的坐标，正确结合平面直角坐标系分析是解题关键．
【举一反三】
1. (2018北京市昌平区二模) 如图，将北京市地铁部分线路图置于正方形网格中，若设定崇文门站的坐标为(0，-1)，雍和宫站的坐标为(0，4)，则西单站的坐标为( )
A. (0，5) B. (5，0) C. (0，-5) D. (-5，0)
【答案】D
考点：点的坐标
2.如图是某市区四个景点或单位(A为商店，C为工人文化宫，F为牌坊，G为市汽车站)的大致平面图．可将方格的边长看作是一个单位长度．
(1)请你建立适当的直角坐标系，分别写出这四个地点的坐标．
(2)在商店A处有游客甲和游客乙，甲按线路A→D→E→F步行到达牌坊；乙按A→B→C步行到达工人文化宫，若一个单位长度代表100米，你能比较一下两人哪个走的路程较多吗？说明理由．
【答案】(1)A(2，2)，C(0，0)，F(0，4)，G(2.5，4)；(2)乙走的路程较多．
【解析】
试题分析：(1)以C为坐标原点建立平面直角坐标系，然后分别写出各点的坐标即可；
(2)根据平面直角坐标系求出甲、乙二人所走的路程，然后比较即可得解．
试题解析：(1)建立平面直角坐标系如图所示，A(2，2)，C(0，0)，F(0，4)，G(2.5，4)；
(2)甲所走路程：3×100=300米，
乙所走路程：4×100=400米，
∵300＜400，
∴乙走的路程较多．
考点：坐标确定位置．
考点典例二、平面直角坐标系
【例2】(2019•山东省济宁市 •3分)已知点P(x，y)位于第四象限，并且x≤y+4(x，y为整数)，写出一个符合上述条件的点P的坐标 (1，﹣2)(答案不唯一) ．
【考点】点的坐标
【分析】直接利用第四象限内点的坐标特点得出x，y的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：∵点P(x，y)位于第四象限，并且x≤y+4(x，y为整数)，
∴x＞0，y＜0，
∴当x＝1时，1≤y+4，
解得：0＞y≥﹣3，
∴y可以为：﹣2，
故写一个符合上述条件的点P的坐标可以为：(1，﹣2)(答案不唯一)．
故答案为：(1，﹣2)(答案不唯一)．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确把握横纵坐标的符号是解题关键．
【举一反三】
1. (2018山东省临沂市中考模拟)已知点P(x+3，x﹣4)在x轴上，则x的值为( )
A. 3 B. ﹣3 C. ﹣4 D. 4
【答案】B
【解析】试题解析：∵P点坐标为(x+3，x-4)，且点P在x轴上，
∴x-4=0，
解得x=4，
故选B．
考点：点的坐标；探究型．
2.(2018山东省菏泽中考模拟)如果点P(2x+6，x﹣4)在平面直角坐标系的第四象限内，那么x的取值范围在数轴上可表示为( )学￥科网
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得 ，解得-3
考点典例三、图形的坐标变化与对称
【例3】(2019，四川巴中，4分)在平面直角坐标系中，已知点A(﹣4，3)与点B关于原点对称，则点B的坐标为( )
A．(﹣4，﹣3) B．(4，3) C．(4，﹣3) D．(﹣4，3)
【分析】根据关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数解答．
【解答】解：∵点A(﹣4，3)，点A与点B关于原点对称，
∴点B(4，﹣3)．
故选：C．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记“关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数”是解题的关键．
【举一反三】
1．如图，△ABC与△DEF关于y轴对称，已知A(-4，6)，B(-6，2)，E(2，1)，则点D的坐标为( )
A．(-4，6) B．(4，6) C．(-2，1) D．(6，2)
【答案】B.
考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
2. (2018湖北武汉元调)点关于轴对称的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】B.
【解析】
试题解析：根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得：
点A(-3，2)关于y轴对称的坐标为(3，2).
故选B.
考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标特征
考点典例四、点的平移
【例4】(2019，山东枣庄，3分)在平面直角坐标系中，将点A(1，﹣2)向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是( )
A．(﹣1，1) B．(﹣1，﹣2) C．(﹣1，2) D．(1，2)
【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可．
【解答】解：∵将点A(1，﹣2)向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，
∴点A′的横坐标为1﹣2＝﹣1，纵坐标为﹣2+3＝1，
∴A′的坐标为(﹣1，1)．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【举一反三】
1. (2019•山东临沂•3分)在平面直角坐标系中，点P(4，2)关于直线x＝1的对称点的坐标是 (﹣2，2) ．
【分析】先求出点P到直线x＝1的距离，再根据对称性求出对称点P′到直线x＝1的距离，从而得到点P′的横坐标，即可得解．
【解答】解：∵点P(4，2)，
∴点P到直线x＝1的距离为4﹣1＝3，∴点P关于直线x＝1的对称点P′到直线x＝1的距离为3，
∴点P′的横坐标为1﹣3＝﹣2，
∴对称点P′的坐标为(﹣2，2)．
故答案为：(﹣2，2)．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，根据轴对称性求出对称点到直线x＝1的距离，从而得到横坐标是解题的关键，作出图形更形象直观．
2. (2018湖南长沙中考模拟)在平面直角坐标系中，把点向左平移一个单位得到点，则点的坐标为 ．
【答案】(1，3)．
【解析】
试题分析：由点A(2，3)向左平移1个单位长度，可得点A′的横坐标为2﹣1=1，纵坐标不变，即A′的坐标为(1，3)．
考点：坐标的平移.
考点典例五、点的坐标规律
【例5】(2019•湖北天门•3分)如图，在平面直角坐标系中，四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点C1，C2，C3，…都在直线y＝x+上，且∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，OA1＝1，则点C6的坐标是 (97，32) ．
【分析】根据菱形的边长求得A1.A2.A3…的坐标然后分别表示出C1.C2.C3…的坐标找出规律进而求得C6的坐标．
【解答】解：∵OA1＝1，
∴OC1＝1，
∴∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，
∴C1的纵坐标为：sin60°•OC1＝，横坐标为cos60°•OC1＝，
∴C1(，)，
∵四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，
∴A1C2＝2，A2C3＝4，A3C4＝8，…，
∴C2的纵坐标为：sin60°•A1C2＝，代入y＝x+求得横坐标为2，
∴C2(，2，)，
C3的纵坐标为：sin60°•A2C3＝4，代入y＝x+求得横坐标为11，
∴C3(11，4)，
∴C4(23，8)，
C5(47，16)，
∴C6(97，32)；
故答案为(97，32)．
【点评】本题是对点的坐标变化规律的考查，主要利用了菱形的性质，解直角三角形，根据已知点的变化规律求出菱形的边长，得出系列C点的坐标，找出规律是解题的关键．
【举一反三】
1. (新疆乌鲁木齐市第九十八中学2018届九年级下学期第一次模拟考试数学试题)如图，点O(0，0)，B(0，1)是正方形OBB1C的两个顶点，以对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1，再以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2，……，依次下去．则
点B6的坐标____________．
【答案】(-8,0)
所以B6(-8，0)．
解：如图所示
∵正方形OBB1C，
∴OB1=，B1所在的象限为第一象限；
∴OB2=()2，B2在x轴正半轴；
∴OB3=()3，B3所在的象限为第四象限；
∴OB4=()4，B4在y轴负半轴；
∴OB5=()5，B5所在的象限为第三象限；
∴OB6=()6=8，B6在x轴负半轴．
∴B6(-8，0)．
故答案为：(-8，0)．
2. 如图，点，，，均在坐标轴上，且，，若点，的坐标分别为，，则点的坐标为__________．
【来源】贵州省安顺市2018年中考数学试题
【答案】
【解析】分析：根据相似三角形的性质求出P3D的坐标，再根据相似三角形的性质计算求出OP4的长，得到答案．
点睛：本题考查的是相似三角形的判定和性质以及坐标与图形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
课时作业☆能力提升[来源:Z+xx+k.Com]
一、选择题
1. (2018广东东莞中考模拟)在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，.平移线段，得到线段.已知点的坐标为，则点的坐标为( )
A． B． C. D．
【答案】B.
【解析】
试题分析：根据A点的坐标及对应点的坐标可得线段AB向右平移4个单位，然后可得B′点的坐标．
∵A(﹣1，﹣1)平移后得到点A′的坐标为(3，﹣1)，
∴向右平移4个单位，∴B(1，2)的对应点坐标为(1+4，2)，即(5，2)．[来源:学§科§网Z§X§X§K]
故选B．
考点：坐标与图形变化﹣平移.
2. (2018陕西省西安市高新一中模拟)如果点在平面直角坐标系的第四象限内，那么的取值范围是( )．
A. B. C. D. 无解
【答案】A
【解析】解：根据题意得： ，由①得：x＞﹣3；由②得：x＜4，则不等式组的解集为﹣3＜x＜4，故选A．
3. (2019•广西贵港•3分)若点P(m﹣1，5)与点Q(3，2﹣n)关于原点成中心对称，则m+n的值是( )
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【解答】解：∵点P(m﹣1，5)与点Q(3，2﹣n)关于原点对称，
∴m﹣1＝﹣3，2﹣n＝﹣5，
解得：m＝﹣2，n＝7，
则m+n＝﹣2+7＝5．
故选：C．
4. (2017海南第6题)如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是(﹣2，3)，先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再作与△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，则点A的对应点A2的坐标是( )
A.(-3，2) B.(2，-3) C.(1，-2) D.(-1，2)
【答案】B.
【解析】
试题分析：首先利用平移的性质得到△A1B1C1，进而利用关于x轴对称点的性质得到△A2B2C2，即可得出答案．
如图所示：点A的对应点A2的坐标是：(2，﹣3)．故选：B．
考点：平移的性质，轴对称的性质.
5. 小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为x轴，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取1mm，则图中转折点P的坐标表示正确的是( )
A. (5，30) B. (8，10) C. (9，10) D. (10，10)
【来源】浙江省金华市2018年中考数学试题
【答案】C
【解析】分析：先求得点P的横坐标，结合图形中相关线段的和差关系求得点P的纵坐标．
详解：如图，
过点C作CD⊥y轴于D，
∴BD=5，CD=50÷2-16=9，
OA=OD-AD=40-30=10，
∴P(9，10)；
故选C．
点睛：此题考查了坐标确定位置，根据题意确定出DC=9，AO=10是解本题的关键．
6. (2018北京市东城区一模)2017 全英羽毛球公开赛混双决赛，中国组合鲁恺 / 黄雅琼，对阵马来西亚里约奥运亚军陈炳顺/吴柳萤，鲁恺/黄雅琼两名小将的完美配合结果获胜．如图是羽毛球场地示意图，x 轴平行场地的中线，y 轴平行场地的球网线，设定鲁恺的坐标是(3,1)，黄雅琼的坐标是(0,-1)，则坐标原点为( )
A. O B. C. D.
【答案】B
【解析】∵黄雅琼的坐标是(0,-1),
∴原点的位置在黄雅琼正上方一个单位长度处，即点O1为原点；
故选B。
二、填空题：
7. (2019▪湖北黄石▪3分)如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB边的中点是坐标原点O，将正方形绕点C按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B'的坐标是( )
A．(﹣1，2) B．(1，4) C．(3，2) D．(﹣1，0)
【答案】C
【解答】解：如图所示，
由旋转得：CB'＝CB＝2，∠BCB'＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，且O是AB的中点，
∴OB＝1，
∴B'(2+1，2)，即B'(3，2)，
故选：C．
8. 正方形、、、…按如图所示的方式放置.点、、、…和点、、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是__________．(为正整数)
【来源】贵州省安顺市2018年中考数学试题
【答案】
【解析】分析：由图和条件可知A1(0，1)A2(1，2)A3(3，4)，B1(1，1)，B2(3，2)，Bn的横坐标为An+1的横坐标，纵坐标为An的纵坐标，又An的横坐标数列为An=2n-1-1，所以纵坐标为(2n-1)，然后就可以求出Bn的坐标为[A(n+1)的横坐标，An的纵坐标]．
详解：由图和条件可知A1(0，1)A2(1，2)A3(3，4)，B1(1，1)，B2(3，2)，
∴Bn的横坐标为An+1的横坐标，纵坐标为An的纵坐标，
又An的横坐标数列为An=2n-1-1，所以纵坐标为2n-1，
∴Bn的坐标为[A(n+1)的横坐标，An的纵坐标]=(2n-1，2n-1)．
故答案为：(2n-1，2n-1)．
点睛：本题主要考查函数图象上点的坐标特征及正方形的性质，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加(或倍数)情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
9. (2019甘肃省陇南市)中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点(0，﹣2)，“马”位于点(4，﹣2)，则“兵”位于点 (﹣1，1) ．
【答案】(﹣1，1)．
【解答】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于(﹣1，1)．
故答案为：(﹣1，1)．
10. (安徽省合肥市庐阳区2018届九年级第一次模拟考试)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A(﹣3，4)，B(﹣4，2)，C(﹣2，1)， △ABC绕原点顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，△A1B1C1向左平移2个单位，再向下平移5个单 位得到△A2B2C2．
(1)画出△A1B1Cl和△A2B2C2；
(2)P(a，b)是△ABC的AC边上一点，△ABC经旋转、平移后点P的对应点分别为P1、P2，请写出点P1、P2的坐标．
【答案】(1)见解析 (2) P1 (b，-a), P2(b-2，-a-5)
解：(1)如图所示，△A1B1C1和A2B2C2即为所求；
(2)由图可得：P1 (b，-a), P2(b-2，-a-5)学科*网
11. (安徽六安市舒城古碑镇中心学校 2018年九年级数学中考模拟)在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标是A(－7，1)，B(1，1)，C(1，7)．线段DE的端点坐标是D(7，－1)，E(－1，－7)．
(1)试说明如何平移线段AC，使其与线段ED重合；
(2)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转，使AC的对应边为DE，请直接写出点B的对应点F的坐标；
(3)画出(2)中的△DEF，并和△ABC同时绕坐标原点O逆时针旋转90°.画出旋转后的图形．
【答案】(1)将线段AC先向右平移6个单位；(2)F(－1,－1).
试题解析：(1)将线段AC先向右平移6个单位，再向下平移8个单位．(其它平移方式也可以)；
(2)根据A，C对应点的坐标即可得出F(﹣l，﹣1)；
(3)画出如图所示的正确图形．
考点：1.作图-旋转变换；2.作图-平移变换．
12. (2018年江苏省徐州市中考数学模拟试卷(一))我们知道对于x轴上的任意两点A(x1，0)，B(x2，0)，有AB=|x1﹣x2|，而对于平面直角坐标系中的任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为Pl，P2两点间的直角距离，记作d(P1，P2)，即d(P1，P2)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．
(1)已知O为坐标原点，若点P坐标为(1，3)，则d(O，P)= ；
(2)已知O为坐标原点，动点P(x，y)满足d(O，P)=2，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；
(3)试求点M(2，3)到直线y=x+2的最小直角距离．
【答案】(1)4；(2)图形见解析；(3)点M(2，3)到直线y=x+2的直角距离为1．
(2)∵O为坐标原点，动点P(x，y)满足d(O，P)，
∴|0﹣x|+|0﹣y|=|x|+|y|=2，
所有符合条件的点P组成的图形如图所示；
(3)∵d=|x﹣2|+|y﹣3|=|x﹣2|+|x+2﹣3|=|x﹣2|+|x﹣1|
∴x可取一切实数，|x﹣2|+|x﹣1|表示数轴上实数x所对应的点到1和2所对应的点的距离之和，其最小值为1．
∴点M(2，3)到直线y=x+2的直角距离为1．
【点睛】本题主要考查新定义问题，能正确地审题、分析题意是解题的关键.
13. (2017山东烟台第16题)如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1.与是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点都在格点上，则点的坐标是 .
【答案】(﹣2，)
考点：位似变换；坐标与图形性质．
14. (2017贵州六盘水第22题)如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上.
(1)画出关于原点成中心对称的，并直接写出各顶点的坐标.
(2)求点旋转到点的路径(结果保留).
【答案】(1) ;(2) .
试题分析：(1)利用中心对称画出图形并写出坐标；(2)利用弧线长计算公式计算点旋转到点的路径．
试题解析：
(1)图形如图所示，
(2)由图可知，OB=,
∴=.
考点：坐标与图形变化-旋转(中心对称)；弧线长计算公式．[来源:学_科_网]
中考数学一轮复习讲义
考点十二：位置与坐标
聚焦考点☆温习理解
1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。学科#网
注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念
点的坐标用(a，b)表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，(a，b)和(b，a)是两个不同点的坐标。
3、各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)在第一象限
点P(x,y)在第二象限
点P(x,y)在第三象限
点P(x,y)在第四象限
4、坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上，x为任意实数
点P(x,y)在y轴上，y为任意实数
点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为(0，0)
5、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数
6、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
7、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数
点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数
点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数
8、点到坐标轴及原点的距离
(1)点P(x,y)到x轴的距离等于
(2)点P(x,y)到y轴的距离等于
(3)点P(x,y)到原点的距离等于
9、点的平移
点P(x,y)沿x轴向右(或向左)平移m个单位后对应点的坐标是(x±m,y)；点P(x,y)沿y轴向上(或向下)平移n个单位后对应点的坐标是(x,y±n).
名师点睛☆典例分类
考点典例一、确定位置
【例1】(2019•台湾)如图的坐标平面上有原点O与A、B、C、D四点．若有一直线l通过点(–3，4)且与y轴垂直，则l也会通过下列哪一点？
A．A B．B
C．C D．D
【答案】D
【解析】如图所示：有一直线L通过点(–3，4)且与y轴垂直，故L也会通过D点．故选D．
【名师点睛】此题主要考查了点的坐标，正确结合平面直角坐标系分析是解题关键．
【举一反三】
1. (2018北京市昌平区二模) 如图，将北京市地铁部分线路图置于正方形网格中，若设定崇文门站的坐标为(0，-1)，雍和宫站的坐标为(0，4)，则西单站的坐标为( )
A. (0，5) B. (5，0) C. (0，-5) D. (-5，0)
【答案】D
考点：点的坐标
2.如图是某市区四个景点或单位(A为商店，C为工人文化宫，F为牌坊，G为市汽车站)的大致平面图．可将方格的边长看作是一个单位长度．
(1)请你建立适当的直角坐标系，分别写出这四个地点的坐标．
(2)在商店A处有游客甲和游客乙，甲按线路A→D→E→F步行到达牌坊；乙按A→B→C步行到达工人文化宫，若一个单位长度代表100米，你能比较一下两人哪个走的路程较多吗？说明理由．
【答案】(1)A(2，2)，C(0，0)，F(0，4)，G(2.5，4)；(2)乙走的路程较多．
【解析】
试题分析：(1)以C为坐标原点建立平面直角坐标系，然后分别写出各点的坐标即可；
(2)根据平面直角坐标系求出甲、乙二人所走的路程，然后比较即可得解．
试题解析：(1)建立平面直角坐标系如图所示，A(2，2)，C(0，0)，F(0，4)，G(2.5，4)；
(2)甲所走路程：3×100=300米，
乙所走路程：4×100=400米，
∵300＜400，
∴乙走的路程较多．
考点：坐标确定位置．
考点典例二、平面直角坐标系
【例2】(2019•山东省济宁市 •3分)已知点P(x，y)位于第四象限，并且x≤y+4(x，y为整数)，写出一个符合上述条件的点P的坐标 (1，﹣2)(答案不唯一) ．
【考点】点的坐标
【分析】直接利用第四象限内点的坐标特点得出x，y的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：∵点P(x，y)位于第四象限，并且x≤y+4(x，y为整数)，
∴x＞0，y＜0，
∴当x＝1时，1≤y+4，
解得：0＞y≥﹣3，
∴y可以为：﹣2，
故写一个符合上述条件的点P的坐标可以为：(1，﹣2)(答案不唯一)．
故答案为：(1，﹣2)(答案不唯一)．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确把握横纵坐标的符号是解题关键．
【举一反三】
1. (2018山东省临沂市中考模拟)已知点P(x+3，x﹣4)在x轴上，则x的值为( )
A. 3 B. ﹣3 C. ﹣4 D. 4
【答案】B
【解析】试题解析：∵P点坐标为(x+3，x-4)，且点P在x轴上，
∴x-4=0，
解得x=4，
故选B．
考点：点的坐标；探究型．
2.(2018山东省菏泽中考模拟)如果点P(2x+6，x﹣4)在平面直角坐标系的第四象限内，那么x的取值范围在数轴上可表示为( )学￥科网
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得 ，解得-3
考点典例三、图形的坐标变化与对称
【例3】(2019，四川巴中，4分)在平面直角坐标系中，已知点A(﹣4，3)与点B关于原点对称，则点B的坐标为( )
A．(﹣4，﹣3) B．(4，3) C．(4，﹣3) D．(﹣4，3)
【分析】根据关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数解答．
【解答】解：∵点A(﹣4，3)，点A与点B关于原点对称，
∴点B(4，﹣3)．
故选：C．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记“关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数”是解题的关键．
【举一反三】
1．如图，△ABC与△DEF关于y轴对称，已知A(-4，6)，B(-6，2)，E(2，1)，则点D的坐标为( )
A．(-4，6) B．(4，6) C．(-2，1) D．(6，2)
【答案】B.
考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
2. (2018湖北武汉元调)点关于轴对称的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】B.
【解析】
试题解析：根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得：
点A(-3，2)关于y轴对称的坐标为(3，2).
故选B.
考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标特征
考点典例四、点的平移
【例4】(2019，山东枣庄，3分)在平面直角坐标系中，将点A(1，﹣2)向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是( )
A．(﹣1，1) B．(﹣1，﹣2) C．(﹣1，2) D．(1，2)
【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可．
【解答】解：∵将点A(1，﹣2)向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，
∴点A′的横坐标为1﹣2＝﹣1，纵坐标为﹣2+3＝1，
∴A′的坐标为(﹣1，1)．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【举一反三】
1. (2019•山东临沂•3分)在平面直角坐标系中，点P(4，2)关于直线x＝1的对称点的坐标是 (﹣2，2) ．
【分析】先求出点P到直线x＝1的距离，再根据对称性求出对称点P′到直线x＝1的距离，从而得到点P′的横坐标，即可得解．
【解答】解：∵点P(4，2)，
∴点P到直线x＝1的距离为4﹣1＝3，∴点P关于直线x＝1的对称点P′到直线x＝1的距离为3，
∴点P′的横坐标为1﹣3＝﹣2，
∴对称点P′的坐标为(﹣2，2)．
故答案为：(﹣2，2)．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，根据轴对称性求出对称点到直线x＝1的距离，从而得到横坐标是解题的关键，作出图形更形象直观．
2. (2018湖南长沙中考模拟)在平面直角坐标系中，把点向左平移一个单位得到点，则点的坐标为 ．
【答案】(1，3)．
【解析】
试题分析：由点A(2，3)向左平移1个单位长度，可得点A′的横坐标为2﹣1=1，纵坐标不变，即A′的坐标为(1，3)．
考点：坐标的平移.
考点典例五、点的坐标规律
【例5】(2019•湖北天门•3分)如图，在平面直角坐标系中，四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点C1，C2，C3，…都在直线y＝x+上，且∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，OA1＝1，则点C6的坐标是 (97，32) ．
【分析】根据菱形的边长求得A1.A2.A3…的坐标然后分别表示出C1.C2.C3…的坐标找出规律进而求得C6的坐标．
【解答】解：∵OA1＝1，
∴OC1＝1，
∴∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，
∴C1的纵坐标为：sin60°•OC1＝，横坐标为cos60°•OC1＝，
∴C1(，)，
∵四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，
∴A1C2＝2，A2C3＝4，A3C4＝8，…，
∴C2的纵坐标为：sin60°•A1C2＝，代入y＝x+求得横坐标为2，
∴C2(，2，)，
C3的纵坐标为：sin60°•A2C3＝4，代入y＝x+求得横坐标为11，
∴C3(11，4)，
∴C4(23，8)，
C5(47，16)，
∴C6(97，32)；
故答案为(97，32)．
【点评】本题是对点的坐标变化规律的考查，主要利用了菱形的性质，解直角三角形，根据已知点的变化规律求出菱形的边长，得出系列C点的坐标，找出规律是解题的关键．
【举一反三】
1. (新疆乌鲁木齐市第九十八中学2018届九年级下学期第一次模拟考试数学试题)如图，点O(0，0)，B(0，1)是正方形OBB1C的两个顶点，以对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1，再以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2，……，依次下去．则
点B6的坐标____________．
【答案】(-8,0)
所以B6(-8，0)．
解：如图所示
∵正方形OBB1C，
∴OB1=，B1所在的象限为第一象限；
∴OB2=()2，B2在x轴正半轴；
∴OB3=()3，B3所在的象限为第四象限；
∴OB4=()4，B4在y轴负半轴；
∴OB5=()5，B5所在的象限为第三象限；
∴OB6=()6=8，B6在x轴负半轴．
∴B6(-8，0)．
故答案为：(-8，0)．
2. 如图，点，，，均在坐标轴上，且，，若点，的坐标分别为，，则点的坐标为__________．
【来源】贵州省安顺市2018年中考数学试题
【答案】
【解析】分析：根据相似三角形的性质求出P3D的坐标，再根据相似三角形的性质计算求出OP4的长，得到答案．
点睛：本题考查的是相似三角形的判定和性质以及坐标与图形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
课时作业☆能力提升[来源:Z+xx+k.Com]
一、选择题
1. (2018广东东莞中考模拟)在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，.平移线段，得到线段.已知点的坐标为，则点的坐标为( )
A． B． C. D．
【答案】B.
【解析】
试题分析：根据A点的坐标及对应点的坐标可得线段AB向右平移4个单位，然后可得B′点的坐标．
∵A(﹣1，﹣1)平移后得到点A′的坐标为(3，﹣1)，
∴向右平移4个单位，∴B(1，2)的对应点坐标为(1+4，2)，即(5，2)．[来源:学§科§网Z§X§X§K]
故选B．
考点：坐标与图形变化﹣平移.
2. (2018陕西省西安市高新一中模拟)如果点在平面直角坐标系的第四象限内，那么的取值范围是( )．
A. B. C. D. 无解
【答案】A
【解析】解：根据题意得： ，由①得：x＞﹣3；由②得：x＜4，则不等式组的解集为﹣3＜x＜4，故选A．
3. (2019•广西贵港•3分)若点P(m﹣1，5)与点Q(3，2﹣n)关于原点成中心对称，则m+n的值是( )
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【解答】解：∵点P(m﹣1，5)与点Q(3，2﹣n)关于原点对称，
∴m﹣1＝﹣3，2﹣n＝﹣5，
解得：m＝﹣2，n＝7，
则m+n＝﹣2+7＝5．
故选：C．
4. (2017海南第6题)如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是(﹣2，3)，先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再作与△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，则点A的对应点A2的坐标是( )
A.(-3，2) B.(2，-3) C.(1，-2) D.(-1，2)
【答案】B.
【解析】
试题分析：首先利用平移的性质得到△A1B1C1，进而利用关于x轴对称点的性质得到△A2B2C2，即可得出答案．
如图所示：点A的对应点A2的坐标是：(2，﹣3)．故选：B．
考点：平移的性质，轴对称的性质.
5. 小明为画一个零件的轴截面，以该轴截面底边所在的直线为x轴，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若坐标轴的单位长度取1mm，则图中转折点P的坐标表示正确的是( )
A. (5，30) B. (8，10) C. (9，10) D. (10，10)
【来源】浙江省金华市2018年中考数学试题
【答案】C
【解析】分析：先求得点P的横坐标，结合图形中相关线段的和差关系求得点P的纵坐标．
详解：如图，
过点C作CD⊥y轴于D，
∴BD=5，CD=50÷2-16=9，
OA=OD-AD=40-30=10，
∴P(9，10)；
故选C．
点睛：此题考查了坐标确定位置，根据题意确定出DC=9，AO=10是解本题的关键．
6. (2018北京市东城区一模)2017 全英羽毛球公开赛混双决赛，中国组合鲁恺 / 黄雅琼，对阵马来西亚里约奥运亚军陈炳顺/吴柳萤，鲁恺/黄雅琼两名小将的完美配合结果获胜．如图是羽毛球场地示意图，x 轴平行场地的中线，y 轴平行场地的球网线，设定鲁恺的坐标是(3,1)，黄雅琼的坐标是(0,-1)，则坐标原点为( )
A. O B. C. D.
【答案】B
【解析】∵黄雅琼的坐标是(0,-1),
∴原点的位置在黄雅琼正上方一个单位长度处，即点O1为原点；
故选B。
二、填空题：
7. (2019▪湖北黄石▪3分)如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB边的中点是坐标原点O，将正方形绕点C按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B'的坐标是( )
A．(﹣1，2) B．(1，4) C．(3，2) D．(﹣1，0)
【答案】C
【解答】解：如图所示，
由旋转得：CB'＝CB＝2，∠BCB'＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，且O是AB的中点，
∴OB＝1，
∴B'(2+1，2)，即B'(3，2)，
故选：C．
8. 正方形、、、…按如图所示的方式放置.点、、、…和点、、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是__________．(为正整数)
【来源】贵州省安顺市2018年中考数学试题
【答案】
【解析】分析：由图和条件可知A1(0，1)A2(1，2)A3(3，4)，B1(1，1)，B2(3，2)，Bn的横坐标为An+1的横坐标，纵坐标为An的纵坐标，又An的横坐标数列为An=2n-1-1，所以纵坐标为(2n-1)，然后就可以求出Bn的坐标为[A(n+1)的横坐标，An的纵坐标]．
详解：由图和条件可知A1(0，1)A2(1，2)A3(3，4)，B1(1，1)，B2(3，2)，
∴Bn的横坐标为An+1的横坐标，纵坐标为An的纵坐标，
又An的横坐标数列为An=2n-1-1，所以纵坐标为2n-1，
∴Bn的坐标为[A(n+1)的横坐标，An的纵坐标]=(2n-1，2n-1)．
故答案为：(2n-1，2n-1)．
点睛：本题主要考查函数图象上点的坐标特征及正方形的性质，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加(或倍数)情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
9. (2019甘肃省陇南市)中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点(0，﹣2)，“马”位于点(4，﹣2)，则“兵”位于点 (﹣1，1) ．
【答案】(﹣1，1)．
【解答】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于(﹣1，1)．
故答案为：(﹣1，1)．
10. (安徽省合肥市庐阳区2018届九年级第一次模拟考试)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A(﹣3，4)，B(﹣4，2)，C(﹣2，1)， △ABC绕原点顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，△A1B1C1向左平移2个单位，再向下平移5个单 位得到△A2B2C2．
(1)画出△A1B1Cl和△A2B2C2；
(2)P(a，b)是△ABC的AC边上一点，△ABC经旋转、平移后点P的对应点分别为P1、P2，请写出点P1、P2的坐标．
【答案】(1)见解析 (2) P1 (b，-a), P2(b-2，-a-5)
解：(1)如图所示，△A1B1C1和A2B2C2即为所求；
(2)由图可得：P1 (b，-a), P2(b-2，-a-5)学科*网
11. (安徽六安市舒城古碑镇中心学校 2018年九年级数学中考模拟)在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标是A(－7，1)，B(1，1)，C(1，7)．线段DE的端点坐标是D(7，－1)，E(－1，－7)．
(1)试说明如何平移线段AC，使其与线段ED重合；
(2)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转，使AC的对应边为DE，请直接写出点B的对应点F的坐标；
(3)画出(2)中的△DEF，并和△ABC同时绕坐标原点O逆时针旋转90°.画出旋转后的图形．
【答案】(1)将线段AC先向右平移6个单位；(2)F(－1,－1).
试题解析：(1)将线段AC先向右平移6个单位，再向下平移8个单位．(其它平移方式也可以)；
(2)根据A，C对应点的坐标即可得出F(﹣l，﹣1)；
(3)画出如图所示的正确图形．
考点：1.作图-旋转变换；2.作图-平移变换．
12. (2018年江苏省徐州市中考数学模拟试卷(一))我们知道对于x轴上的任意两点A(x1，0)，B(x2，0)，有AB=|x1﹣x2|，而对于平面直角坐标系中的任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为Pl，P2两点间的直角距离，记作d(P1，P2)，即d(P1，P2)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．
(1)已知O为坐标原点，若点P坐标为(1，3)，则d(O，P)= ；
(2)已知O为坐标原点，动点P(x，y)满足d(O，P)=2，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；
(3)试求点M(2，3)到直线y=x+2的最小直角距离．
【答案】(1)4；(2)图形见解析；(3)点M(2，3)到直线y=x+2的直角距离为1．
(2)∵O为坐标原点，动点P(x，y)满足d(O，P)，
∴|0﹣x|+|0﹣y|=|x|+|y|=2，
所有符合条件的点P组成的图形如图所示；
(3)∵d=|x﹣2|+|y﹣3|=|x﹣2|+|x+2﹣3|=|x﹣2|+|x﹣1|
∴x可取一切实数，|x﹣2|+|x﹣1|表示数轴上实数x所对应的点到1和2所对应的点的距离之和，其最小值为1．
∴点M(2，3)到直线y=x+2的直角距离为1．
【点睛】本题主要考查新定义问题，能正确地审题、分析题意是解题的关键.
13. (2017山东烟台第16题)如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1.与是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点都在格点上，则点的坐标是 .
【答案】(﹣2，)
考点：位似变换；坐标与图形性质．
14. (2017贵州六盘水第22题)如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上.
(1)画出关于原点成中心对称的，并直接写出各顶点的坐标.
(2)求点旋转到点的路径(结果保留).
【答案】(1) ;(2) .
试题分析：(1)利用中心对称画出图形并写出坐标；(2)利用弧线长计算公式计算点旋转到点的路径．
试题解析：
(1)图形如图所示，
(2)由图可知，OB=,
∴=.
考点：坐标与图形变化-旋转(中心对称)；弧线长计算公式．[来源:学_科_网]
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