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中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第13讲 一次函数（解析版）学案
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这是一份中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第13讲 一次函数（解析版）学案，共38页。学案主要包含了三象限，y随x的增大而增大；，四象限，y随x的增大而减小，四象限，确定一次函数解析式，一次函数的应用等内容，欢迎下载使用。
中考数学一轮复习讲义
考点十三：一次函数
聚焦考点☆温习理解
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，如果(k，b是常数，k0)，那么y叫做x的一次函数。
特别地，当一次函数中的b为0时，(k为常数，k0)。这时，y叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像
所有一次函数的图像都是一条直线；一次函数的图像是经过点(0，b)的直线；正比例函数的图像是经过原点(0，0)的直线。
k，b与函数图象所在象限：
y=kx时(即b等于0，y与x成正比，此时的图象是是一条经过原点的直线)
当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
y=kx+b(k,b为常数，k≠0)时：
当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限。
当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过一，三，四象限。
当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，四象限。
当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过二，三，四象限。
当b>0时，直线必通过一、二象限；
当b<0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=0时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。
这时，当k>0时，直线只通过一、三象限，不会通过二、四象限。当k<0时，直线只通过二、四象限，不会通过一、三象限。
3、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式(k0)中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式(k0)中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。
4、一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积
直线y=kx+b与x轴的交点坐标为(，0)，与y轴的交点坐标为(0，b);直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S△=｜｜·｜b｜=.
名师点睛☆典例分类
考点典例一、求函数自变量的取值范围
【例1】函数y=中自变量x的取值范围是( )
A. x≥-1且x≠1 B. x≥-1 C. x≠1 D. -1≤x＜1
【来源】湖北省黄冈市2018年中考数学试题
【答案】A
点睛：本题考查了函数自变量的取值范围问题，判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆．
【举一反三】
1. 函数中自变量的取值范围是( )
A. B. C. 且x≠3 D.
【来源】湖南省娄底市2018年中考数学试题
【答案】C
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
2. 使得代数式有意义的x的取值范围是__________．
【来源】2018年甘肃省武威市(凉州区)中考数学试题
【答案】
【点评】考查二次根式和分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零,分式有意义的条件是分母不为零.
考点典例二、函数的图象
【例2】(2019•甘肃庆阳•3分)如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．
【解答】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3．
∴AB•BC＝3，即AB•BC＝12．
当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，
∴AB+BC＝7．
则BC＝7﹣AB，代入AB•BC＝12，得AB2﹣7AB+12＝0，解得AB＝4或3，
因为AB＜AD，即AB＜BC，
所以AB＝3，BC＝4．
故选：B．
【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．
【举一反三】
1. (安徽省2018届初中毕业班 第4次十校联考)如图甲，A、B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB．点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位的速度匀速运动，回到点A运动结束．设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么如图乙图象中可能表示y与x的函数关系的是( )
A. ① B. ④ C. ①或③ D. ②或④
【答案】C
【解析】试题解析: 当点P顺时针旋转时，图象是③，当点P逆时针旋转时，图象是①，
故答案为①③.
故选：C．
2. (辽宁省辽河油田欢喜岭第二初级中学2017-2018学年九年级下学期第三次模拟考试)如图，矩形ABCD的对角线交于点O,∠BOC=60°,AD=3,动点P从点A出发，沿折线AD-DO以每秒1个单位长的速度运动到点O停止。设运动时间为秒，，则y与x的函数图象大致为( )
A. A B. B C. C D. D
【答案】A
∴BC=3，
∵矩形ABCD的对角线交于点O，∠BOC=60°，
∴△BOC是等边三角形，OB=OC=BC=3，
∵△BOC≌△AOD，
∴∠ADO=∠AOD=60°，DO=AO=3，
在Rt△OAF中，∠AOF=30°，OA=3，AF=，
∴由勾股定理得OF=，
在Rt△DOE中，∠ODE=30°，OD=3，
∴OE=，
由勾股定理得DE=，
∴DC=2DE=，
在Rt△DCG中，∠CDG=30°，DC=，
∴CG=，
当0⩽x<3时，y=S△POC=S△ACD−S△APO−S△PDC=×3×−×⋅x−×(3−x) =x，
即y是x的正比例函数，
当3
故选：A.
点睛：此题考查动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力.用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图.
考点典例三、一次函数和正比例函数的图象和性质
【例3】(2019•扬州)若点P在一次函数的图象上，则点P一定不在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】一次函数y=-x+4中k=-1<0，b>0，所以一次函数y=-x+4的图象经过一、二、四象限，又点P在一次函数y=-x+4的图象上，所以点P一定不在第三象限，故选C．
【举一反三】
1. 将直线向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为( )
A. B. C. D.
【来源】湖南省娄底市2018年中考数学试题
【答案】A
【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
2.(2018年黄冈启黄中学中考模拟) 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是( )
A．B． C．D．
【答案】B．
【解析】
试题分析：∵有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4(kb+1)＞0，解得kb＜0，
A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；
B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；
C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；[来源:学科网ZXXK]
D．k＞0，b=0，即kb=0，故D不正确；
故选B．
考点：1．根的判别式；2．一次函数的图象．
考点典例四、确定一次函数解析式
【例4】(2019•上海)在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知一次函数的图象平行于直线y＝x，且经过点A(2，3)，与x轴交于点B．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标．
【分析】(1)设一次函数的解析式为y＝kx+b，解方程即可得到结论；
(2)求得一次函数的图形与x轴的解得为B(﹣4，0)，根据两点间的距离公式即可得到结论．
【解答】解：(1)设一次函数的解析式为：y＝kx+b，
∵一次函数的图象平行于直线y＝x，
∴k＝，
∵一次函数的图象经过点A(2，3)，
∴3＝+b，
∴b＝2，
∴一次函数的解析式为y＝x+2；
(2)由y＝x+2，令y＝0，得x+2＝0，
∴x＝﹣4，
∴一次函数的图形与x轴的解得为B(﹣4，0)，
∵点C在y轴上，
∴设点C的坐标为(0，y)，
∵AC＝BC，
∴＝，
∴y＝﹣，
经检验：y＝﹣是原方程的根，
∴点C的坐标是(0，﹣)．
【点评】本题考查了两直线相交与平行问题，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．
【举一反三】
1. 如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，⊙O经过A，B两点，已知AB=2，则的值为__________．
【来源】江苏省连云港市2018年中考数学试题
【答案】
【解析】分析：由图形可知：△OAB是等腰直角三角形，AB=2，可得A，B两点坐标，利用待定系数法可求k和b的值，进而得到答案．
详解：由图形可知：△OAB是等腰直角三角形，OA=OB
∵AB=2，OA2+OB2=AB2，
∴OA=OB=，
∴A点坐标是(，0)，B点坐标是(0，)，
∵一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
∴将A，B两点坐标带入y=kx+b，得k=-1，b=，
∴=-.
故答案为：-.
点睛：本题主要考查图形的分析运用和待定系数法求解析，找出A，B两点的坐标对解题是关键之举．
2. (新疆乌鲁木齐市第九十八中学2018届九年级下学期第一次模拟)在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到 .
(1)求直线的解析式；
(2)若直线与直线l相交于点C，求的面积.
【答案】(1)；(2)
试题解析：解：(1)由直线l： 分别交x轴，y轴于点A、B．可知：A(3，0)，B(0，4)．∵△AOB绕点O顺时针旋转90°而得到△A′OB′，∴△AOB≌△A′OB′，故A′(0，﹣3)，B′(4，0)．
设直线A′B′的解析式为y=kx+b(k≠0，k，b为常数)
∴，解得： ，∴直线A′B′的解析式为；
(2)由题意得： ，解得： ，∴C(，﹣)，又A′B=3+4=7，∴S△A′BC==．
考点典例五、一次函数的应用
【例5】(2019•湖州)某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米.甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校义骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校.已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米.设甲步行的时间为(分)，图1中线段和折线分别表示甲、乙离开小区的路程(米)与甲步行时间(分)的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离(米)与甲步行时间(分)的函数关系的图象(不完整).根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：
(1)求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；
(2)求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；
(3)在图2中，画出当时关于的函数的大致图象．(温馨提示：请画在答题卷相对应的图上)
【解析】(1)由题意，得：甲步行的速度是(米/分)，
∴乙出发时甲离开小区的路程是(米)．
(2)设直线的解析式为:，
∵直线过点，
∴，
解得，
∴直线的解析式为:，
∴当时，，
∴乙骑自行车的速度是(米/分)．
∵乙骑自行车的时间为(分)，
∴乙骑自行车的路程为(米)．
当时，甲走过的路程是(米)，
∴乙到达还车点时，甲、乙两人之间的距离是(米)．
(3)乙步行的速度为：80-5=75(米/分)，
乙到达学校用的时间为：25+(2700-2400)÷75=29(分)，
当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象如图所示．
【举一反三】
1. (2018黄冈中考模拟)一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地，一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地，两车之间的距离(千米)与行驶时间(小时)的对应关系如图所示：
(1)甲乙两地相距多远？
(2)求快车和慢车的速度分别是多少？
(3)求出两车相遇后与之间的函数关系式；
(4)何时两车相距千米.
【答案】(1)600千米；(2)快车速度为90千米/小时，慢车速度为60千米/小时；(3)；(4)两车2小时或6小时时，两车相距300千米．
【解析】
试题分析：(1)由图象容易得出答案；
(2)由题意得出慢车速度为=60(千米/小时)；设快车速度为x千米/小时，由图象得出方程，解方程即可；
(3)求出相遇的时间和慢车行驶的路程，即可得出答案；
(4)分两种情况，由题意得出方程，解方程即可．
试题解析：(1)由图象得：甲乙两地相距600千米；
(2)由题意得：慢车总用时10小时，
∴慢车速度为=60(千米/小时)；
想和快车速度为x千米/小时，
由图象得：60×4+4x=600，解得：x=90，
∴快车速度为90千米/小时，慢车速度为60千米/小时；
(3)由图象得：(小时)，60×=400(千米)，
时间为小时时快车已到达甲地，此时慢车走了400千米，
∴两车相遇后y与x的函数关系式为 ；
(4)设出发x小时后，两车相距300千米．
①当两车没有相遇时，
由题意得：60x+90x=600﹣300，解得：x=2；
②当两车相遇后，
由题意得：60x+90x=600+300，解得：x=6；
即两车2小时或6小时时，两车相距300千米．
考点：一次函数的应用．
2. 某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式.方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元.
设小明计划今年夏季游泳次数为(为正整数).
(Ⅰ)根据题意，填写下表：
游泳次数
10
15
20
…
方式一的总费用(元)
150
175
…
方式二的总费用(元)
90
135
…
(Ⅱ)若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多？
(Ⅲ)当时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由.
【来源】天津市2018年中考数学试题
【答案】(Ⅰ)200，，180，.(Ⅱ)小明选择方式一游泳次数比较多. (Ⅲ)当时，有，小明选择方式二更合算；当时，有，小明选择方式一更合算.
【解析】分析：(Ⅰ)根据题意得两种付费方式 ，进行填表即可；
(Ⅱ)根据(1)知两种方式的关系，列出方程求解即可；
(Ⅲ)当时，作差比较即可得解.
点睛：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．
课时作业☆能力提升
一、选择题
1. (2018山东省滨州市中考模拟)函数自变量x的取值范围是( )
A. 全体实数 B. x＞0 C. x≥0且x≠1 D. x＞1
【答案】C
【解析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式两部分. 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解.
解：根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，得，
解得x≥0且x≠1，
故选C．
考点：函数解析式有意义的条件.
2. (2019山东临沂)下列关于一次函数y＝kx+b(k＜0，b＞0)的说法，错误的是( )
A．图象经过第一、二、四象限 B．y随x的增大而减小
C．图象与y轴交于点(0，b) D．当x＞时，y＞0
【答案】D．
【解析】解：∵y＝kx+b(k＜0，b＞0)，
∴图象经过第一、二、四象限，A正确；
∵k＜0，∴y随x的增大而减小，B正确；
令x＝0时，y＝b，∴图象与y轴的交点为(0，b)，∴C正确；
令y＝0时，x＝，当x＞时，y＜0；D不正确；
故选：D．
3. 在平面直角坐标系中，过点(1,2)作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【来源】江苏省宿迁市2018年中考数学试卷
【答案】C
【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴交点问题，三角形的面积等，解本题的关键是确定出直线y=kx+b与x轴、y轴的交点坐标.
4. (浙江省平阳县2017-2018学年九年级第一学期第二次阶段检测)如图，放置的， ， ，…都是边长为2的等边三角形，边在轴上，点， ， ，…都在直线上，则的坐标是( )
A. (2017，2017) B. (2017,2017)C. (2017,2018) D. (2017,2019)
【答案】D
【解析】试题分析：过B1向x轴作垂线B1C，垂足为C，
由题意可得：A(0，2)，AO∥A1B1，∠B1OC＝30°，
∴CO＝OB1cos30°＝，
∴B1的横坐标为： ，则A1的横坐标为： ，
连接AA1，可知所有三角形顶点都在直线AA1上，
∵点B1，B2，B3，…都在直线y＝上，AO＝2，
∴直线AA1的解析式为：y＝＋2，
∴y＝＋2＝3，
∴A1(，3)，
同理可得出：A2的横坐标为： ，
∴y＝＋2＝4，
∴A2(，4)，
∴A3(，5)，
…
A2017(，2019)．
故选D．
点睛：本题为规律型题目，利用等边三角形和直角三角形的性质求得B1的坐标，从而总结出点的坐标的规律是解题的关键．
5. (2019山东聊城)如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A(4，4)，点C在边AB上，且，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为( )
A．(2，2) B．(，) C．(，) D．(3，3)
【答案】C．
【解析】解：∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A(4，4)，
∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，
∵，点D为OB的中点，∴BC＝3，OD＝BD＝2，
∴D(0，2)，C(4，3)，
作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，
则此时，四边形PDBC周长最小，E(0，2)，
∵直线OA 的解析式为y＝x，
设直线EC的解析式为y＝kx+b，∴，
解得：，∴直线EC的解析式为y＝x+2，
解得，，∴P(，)，
故选：C．
6. (2017内蒙古通辽第10题)如图，点在直线上方，且，于，若线段，，，则与的函数关系图象大致是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：∵PC⊥AB于C，∠APB=90°，
∴∠ACP=∠BCP=90°，
∴∠APC+∠BPC=∠APC+∠PAC=90°，
∴∠PAC=∠BPC，
∴△APC∽△PBC，
∴ ，
∵AB=6，AC=x，
∴BC=6﹣x，
∴PC2=x(6﹣x)，
∴PC=，
∴y=AB•PC=3=3，
故选：D．
考点：动点问题的函数图象
7. (2018海南中考模拟)以坐标原点为圆心，作半径为2的圆，若直线与相交，则的取值范围是( )
A． B． C. D．
【答案】D
【解析】
则若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣2＜b＜2．故选D
考点：1.直线与圆的位置关系；2.一次函数图象与系数的关系．
8.(2019四川眉山)如图，一束光线从点A(4，4)出发，经y轴上的点C反射后经过点B
(1，0)，则点C的坐标是( )
A．(0，) B．(0，) C．(0，1) D．(0，2)
【答案】B．
【解析】解：如图所示，延长AC交 x轴于点D．
∵这束光线从点A(4，4)出发，经y轴上的点C反射后经过点B(1，0)，
∴设C(0，c)，由反射定律可知，
∠1＝∠OCD
∴∠OCB＝∠OCD
∵CO⊥DB于O
∴∠COD＝∠BOC
∴△COD≌△COB(ASA)
∴OD＝OB＝1
∴D(﹣1，0)
设直线AD的解析式为y＝kx+b，则将点A(4，4)，点D(﹣1，0)代入得
，∴
∴直线AD为y＝
∴点C坐标为(0，)．
故选：B．
二、填空题.
8. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式组的解集为__________．
【来源】2018年甘肃省武威市(凉州区)中考数学试题
【答案】
【点评】考查一次函数与一次不等式，会数形结合是解题的关键.
9. 两地相距的路程为240千米，甲、乙两车沿同一线路从地出发到地，分别以一定的速度匀速行驶，甲车先出发40分钟后，乙车才出发.途中乙车发生故障，修车耗时20分钟，随后，乙车车速比发生故障前减少了10千米/小时(仍保持匀速前行)，甲、乙两车同时到达地.甲、乙两车相距的路程(千米)与甲车行驶时间(小时)之间的关系如图所示，求乙车修好时，甲车距地还有____________千米.
【来源】【全国省级联考】2018年重庆市中考数学试卷(A卷)
【答案】90
【解析】【分析】观察图象可知甲车40分钟行驶了30千米，由此可求出甲车速度，再根据甲车行驶小时时与乙车的距离为10千米可求得乙车的速度，从而可求得乙车出故障修好后的速度，再根据甲、乙两车同时到达B地，设乙车出故障前走了t1小时，修好后走了t2小时，根据等量关系甲车用了小时行驶了全程，乙车行驶的路程为60t1+50t2=240，列方程组求出t2，再根据甲车的速度即可知乙车修好时甲车距B地的路程.
【详解】甲车先行40分钟()，所行路程为30千米，
因此甲车的速度为(千米/时)，
设乙车的初始速度为V乙，则有
，
解得：(千米/时)，
因此乙车故障后速度为：60-10=50(千米/时)，
设乙车出故障前走了t1小时，修好后走了t2小时，则有
，解得：，
45×2=90(千米)，
故答案为：90.
【点评】 本题考查了一次函数的实际应用，难度较大，求出速度后能从题中找到必要的等量关系列方程组进行求解是关键.
10. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为________．
【来源】浙江省温州市2018年中考数学试卷
【答案】
把y=0代入 y = − x + 4 得出x=,
∴A(,0);
∴OA=,
点睛: 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，(k≠0，且k，b为常数)的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是(-，0)；与y轴的交点坐标是(0，b)．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．也考查了菱形的性质.学科&网
11.一次函数y=kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，则的值是
【答案】2或-7
【解析】
试题分析：由于k的符号不能确定，故应对k＞0和k＜0两种情况进行解答．
试题解析：当k＞0时，此函数是增函数，
∵当1≤x≤4时，3≤y≤6，
∴当x=1时，y=3；当x=4时，y=6，
∴，
解得，
∴=2；
当k＜0时，此函数是减函数，
∵当1≤x≤4时，3≤y≤6，
∴当x=1时，y=6；当x=4时，y=3，
∴，
解得，
∴=-7．
考点：一次函数的性质．
12. 已知点A是直线y=x+1上一点，其横坐标为﹣ ，若点B与点A关于y轴对称，则点B的坐标为_____．
【来源】四川省宜宾市2018年中考数学试题
【答案】(,)
【解析】分析：利用待定系数法求出点A坐标，再利用轴对称的性质求出点B坐标即可；
详解：由题意A(-，)，
∵A、B关于y轴对称，
∴B(，)，
故答案为(，)．
点睛：本题考查一次函数的应用、轴对称的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13. (2018湖北孝感汉川中考模拟)如图，将直线 沿轴向下平移后的直线恰好经过点 ，且与轴交于点，在 轴上存在一点使得的值最小，则点的坐标为 ．
【答案】(，0)
【解析】
试题分析：如图所示，作点B关于x轴对称的点B'，连接AB'，交x轴于P，则点P即为所求，
设直线y=﹣x沿y轴向下平移后的直线解析式为y=﹣x+a，
把A(2，﹣4)代入可得，a=﹣2，
∴平移后的直线为y=﹣x﹣2，
令x=0，则y=﹣2，即B(0，﹣2)
∴B'(0，2)，
设直线AB'的解析式为y=kx+b，
把A(2，﹣4)，B'(0，2)代入可得， ，解得 ，
∴直线AB'的解析式为y=﹣3x+2，
令y=0，则x= ，∴P(，0).
考点：1.最短路线问题；2.一次函数图象与几何变换的运用.
三、解答题。
14. (江西省上饶市鄱阳二中2017届九年级(上)期末)如图，四边形ABCD是平行四边形，点A(1，0)，B(4，1)，C(4，3)，反比例函数的图象经过点D，点P是一次函数y=mx+3﹣4m(m≠0)的图象与该反比例函数图象的一个公共点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)通过计算说明一次函数y=mx+3﹣4m的图象一定过点C；
(3)对于一次函数y=mx+3﹣4m(m≠0)，当y随x的增大而增大时，确定点P的横坐标的取值范围．(不必写过程)
【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)＜x＜4．
试题解析：
解：(1)∵B(4，1)，C(4，3)，
∴BC∥y轴，BC=2，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=2，AD∥y轴，而A(1，0)，
∴D(1，2)，
∴由反比例函数y=的图象经过点D，可得k=1×2=2，
∴反比例函数的解析式为y=.
(2)∵在一次函数y=mx+3﹣4m中，y=m(x-4)+3,当x=4时，y=4m+3﹣4m=3，
∴一次函数y=mx+3﹣4m的图象一定过点C(4，3).
(3)点P的横坐标的取值范围： ＜x＜4．
由点C的横坐标为4，可得F的横坐标为4，
∵一次函数y=mx+3﹣4m的图象一定过点C(4，3)，且y随x的增大而增大，
∴直线y=mx+3﹣4m与双曲线的交点P落在EF之间的双曲线上，
∴点P的横坐标的取值范围是＜x＜4．
15. (2019四川乐山)如图，已知过点的直线与直线：相交于点.
(1)求直线的解析式；
(2)求四边形的面积.
【答案】(1)；(2).
【解析】解：(1)∵点P(1，a)在直线l2：y=2x+4上，
∴2×(-1)+4=a，即，
则的坐标为，
设直线的解析式为：，
那么，
解得： .
∴l1的解析式为：.
(2)∵直线与轴相交于点，
∴的坐标为，
又∵直线与轴相交于点，
∵A点的坐标为，则，
而，
∴.
16. (黑龙江省牡丹江市2018届中考牡丹江管理局北斗星协会一模)一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x(h)，两车之间的距离为y(km)，图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图像回答以下问题：
(1)请在图中的( )内填上正确的值，并写出两车的速度和．
(2)求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(3)请直接写出两车之间的距离不超过15km的时间范围．
【答案】(1)900；225km∕h.(2)yBC=225x-900(4≤x≤6)；(3)
【解析】试题分析：(1)设直线的解析式为： 把点代入，求出解析式，当时， 4小时后两车相遇，即可求出它们的速度和.
分别让解析式中的即可求出两车之间的距离不超过15km的时间范围．
试题解析：(1)设直线的解析式为： 把点代入得：
解得：
直线的解析式为：
当时，
图中括号里应填900，两车的速度和为：
(2)快车与慢车的速度和为：900÷4=225km/h，
慢车的速度为：900÷12=75km/h，
快车的速度为：225−75=150 km/h.
由题意得快车走完全程的时间为：900÷150=6h，
6时时两车之间的距离为：225×(6−4)=450km.
则C(6,450).
设线段BC的解析式为y=kx+b，由题意，得
解得：
则y=225x−900，自变量x的取值范围是
(3)
17. 如图，Rt△OAB的直角边OA在x轴上，顶点B的坐标为(6，8)，直线CD交AB于点D(6，3)，交x轴于点C(12，0)．
(1)求直线CD的函数表达式；
(2)动点P在x轴上从点(﹣10，0)出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，过点P作直线l垂直于x轴，设运动时间为t．
①点P在运动过程中，是否存在某个位置，使得∠PDA=∠B？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②请探索当t为何值时，在直线l上存在点M，在直线CD上存在点Q，使得以OB为一边，O，B，M，Q为顶点的四边形为菱形，并求出此时t的值．
【来源】浙江省衢州市2018年中考数学试卷
【答案】(1)直线CD的解析式为y=﹣x+6；(2)①满足条件的点P坐标为(，0)或(，0)．②满足条件的t的值为或．
详解：(1)设直线CD的解析式为y=kx+b，则有
，
解得，
∴直线CD的解析式为y=﹣x+6．
(2)①如图1中，作DP∥OB，则∠PDA=∠B．
∵DP∥OB，
∴，
∴，
∴，
∴OP=6﹣，
∴P(，0)，
根据对称性可知，当AP=AP′时，P′(，0)，
∴满足条件的点P坐标为(，0)或(，0)．
②如图2中，当OP=OB=10时，作PQ∥OB交CD于Q．
如图3中，当OQ=OB时，设Q(m，﹣m+6)，
点睛：本题考查了一次函数综合题、待定系数法、菱形的判定、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，学会构建一次函数，利用方程组确定两个函数的交点坐标．
15. (2019四川攀枝花)在平面直角坐标系中，已知，动点在的图
像上运动(不与重合)，连接，过点作，交轴于点，连接.
(1)求线段长度的取值范围；
(2)试问：点运动过程中，是否是定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明
理由；
(3)当为等腰三角形时，求点的坐标.
【答案】(1)；(2)是定值，且；
(3)点Q的坐标是或或或.
【解析】解：(1)作，则，∵点在的图像上，
∴，.∵，
∴. ∴.
(2)法一：(共圆法)
①当点在第三象限时，
由，可得、、、四点共圆.
∴.
②当点在第一象的线段上时，
由，可得、、、四点共圆.
∴，又此时.
∴.
③当点在第一象限的线段的延长线上时，
由，可得.
∴、、、四点共圆.
∴.
法二：(相似法)
如图设直线与交于点，
当点在第三象限时，
①由，可得∽.
∴ ，∴∽.
∴.
②当点在第一象限且点在延长线上时，
由，可得.
∴∽，∴.
∴∽. ∴.
③当点在第一象限且点在延长线上时，
由，可得.
∴∽，∴
∴∽ ∴
(3)设，则：，
∵，∴.
∴：.
∴.
∴，，.
①当时，则，
整理得：，解得：.
∴，.
②当时，则.
整理得：，解得：或.
当时，点与重合，舍去，
∴. ∴.
③当时，
则.
整理得：，解得：.
∴.
综上，点Q的坐标是或或或.
中考数学一轮复习讲义
考点十三：一次函数
聚焦考点☆温习理解
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，如果(k，b是常数，k0)，那么y叫做x的一次函数。
特别地，当一次函数中的b为0时，(k为常数，k0)。这时，y叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像
所有一次函数的图像都是一条直线；一次函数的图像是经过点(0，b)的直线；正比例函数的图像是经过原点(0，0)的直线。
k，b与函数图象所在象限：
y=kx时(即b等于0，y与x成正比，此时的图象是是一条经过原点的直线)
当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
y=kx+b(k,b为常数，k≠0)时：
当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限。
当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过一，三，四象限。
当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，四象限。
当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过二，三，四象限。
当b>0时，直线必通过一、二象限；
当b<0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=0时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。
这时，当k>0时，直线只通过一、三象限，不会通过二、四象限。当k<0时，直线只通过二、四象限，不会通过一、三象限。
3、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式(k0)中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式(k0)中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。
4、一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积
直线y=kx+b与x轴的交点坐标为(，0)，与y轴的交点坐标为(0，b);直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S△=｜｜·｜b｜=.
名师点睛☆典例分类
考点典例一、求函数自变量的取值范围
【例1】函数y=中自变量x的取值范围是( )
A. x≥-1且x≠1 B. x≥-1 C. x≠1 D. -1≤x＜1
【来源】湖北省黄冈市2018年中考数学试题
【答案】A
点睛：本题考查了函数自变量的取值范围问题，判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆．
【举一反三】
1. 函数中自变量的取值范围是( )
A. B. C. 且x≠3 D.
【来源】湖南省娄底市2018年中考数学试题
【答案】C
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
2. 使得代数式有意义的x的取值范围是__________．
【来源】2018年甘肃省武威市(凉州区)中考数学试题
【答案】
【点评】考查二次根式和分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零,分式有意义的条件是分母不为零.
考点典例二、函数的图象
【例2】(2019•甘肃庆阳•3分)如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．
【解答】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3．
∴AB•BC＝3，即AB•BC＝12．
当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，
∴AB+BC＝7．
则BC＝7﹣AB，代入AB•BC＝12，得AB2﹣7AB+12＝0，解得AB＝4或3，
因为AB＜AD，即AB＜BC，
所以AB＝3，BC＝4．
故选：B．
【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．
【举一反三】
1. (安徽省2018届初中毕业班 第4次十校联考)如图甲，A、B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB．点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位的速度匀速运动，回到点A运动结束．设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么如图乙图象中可能表示y与x的函数关系的是( )
A. ① B. ④ C. ①或③ D. ②或④
【答案】C
【解析】试题解析: 当点P顺时针旋转时，图象是③，当点P逆时针旋转时，图象是①，
故答案为①③.
故选：C．
2. (辽宁省辽河油田欢喜岭第二初级中学2017-2018学年九年级下学期第三次模拟考试)如图，矩形ABCD的对角线交于点O,∠BOC=60°,AD=3,动点P从点A出发，沿折线AD-DO以每秒1个单位长的速度运动到点O停止。设运动时间为秒，，则y与x的函数图象大致为( )
A. A B. B C. C D. D
【答案】A
∴BC=3，
∵矩形ABCD的对角线交于点O，∠BOC=60°，
∴△BOC是等边三角形，OB=OC=BC=3，
∵△BOC≌△AOD，
∴∠ADO=∠AOD=60°，DO=AO=3，
在Rt△OAF中，∠AOF=30°，OA=3，AF=，
∴由勾股定理得OF=，
在Rt△DOE中，∠ODE=30°，OD=3，
∴OE=，
由勾股定理得DE=，
∴DC=2DE=，
在Rt△DCG中，∠CDG=30°，DC=，
∴CG=，
当0⩽x<3时，y=S△POC=S△ACD−S△APO−S△PDC=×3×−×⋅x−×(3−x) =x，
即y是x的正比例函数，
当3
故选：A.
点睛：此题考查动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力.用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图.
考点典例三、一次函数和正比例函数的图象和性质
【例3】(2019•扬州)若点P在一次函数的图象上，则点P一定不在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】一次函数y=-x+4中k=-1<0，b>0，所以一次函数y=-x+4的图象经过一、二、四象限，又点P在一次函数y=-x+4的图象上，所以点P一定不在第三象限，故选C．
【举一反三】
1. 将直线向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为( )
A. B. C. D.
【来源】湖南省娄底市2018年中考数学试题
【答案】A
【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
2.(2018年黄冈启黄中学中考模拟) 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是( )
A．B． C．D．
【答案】B．
【解析】
试题分析：∵有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4(kb+1)＞0，解得kb＜0，
A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；
B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；
C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；[来源:学科网ZXXK]
D．k＞0，b=0，即kb=0，故D不正确；
故选B．
考点：1．根的判别式；2．一次函数的图象．
考点典例四、确定一次函数解析式
【例4】(2019•上海)在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知一次函数的图象平行于直线y＝x，且经过点A(2，3)，与x轴交于点B．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标．
【分析】(1)设一次函数的解析式为y＝kx+b，解方程即可得到结论；
(2)求得一次函数的图形与x轴的解得为B(﹣4，0)，根据两点间的距离公式即可得到结论．
【解答】解：(1)设一次函数的解析式为：y＝kx+b，
∵一次函数的图象平行于直线y＝x，
∴k＝，
∵一次函数的图象经过点A(2，3)，
∴3＝+b，
∴b＝2，
∴一次函数的解析式为y＝x+2；
(2)由y＝x+2，令y＝0，得x+2＝0，
∴x＝﹣4，
∴一次函数的图形与x轴的解得为B(﹣4，0)，
∵点C在y轴上，
∴设点C的坐标为(0，y)，
∵AC＝BC，
∴＝，
∴y＝﹣，
经检验：y＝﹣是原方程的根，
∴点C的坐标是(0，﹣)．
【点评】本题考查了两直线相交与平行问题，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．
【举一反三】
1. 如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，⊙O经过A，B两点，已知AB=2，则的值为__________．
【来源】江苏省连云港市2018年中考数学试题
【答案】
【解析】分析：由图形可知：△OAB是等腰直角三角形，AB=2，可得A，B两点坐标，利用待定系数法可求k和b的值，进而得到答案．
详解：由图形可知：△OAB是等腰直角三角形，OA=OB
∵AB=2，OA2+OB2=AB2，
∴OA=OB=，
∴A点坐标是(，0)，B点坐标是(0，)，
∵一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
∴将A，B两点坐标带入y=kx+b，得k=-1，b=，
∴=-.
故答案为：-.
点睛：本题主要考查图形的分析运用和待定系数法求解析，找出A，B两点的坐标对解题是关键之举．
2. (新疆乌鲁木齐市第九十八中学2018届九年级下学期第一次模拟)在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到 .
(1)求直线的解析式；
(2)若直线与直线l相交于点C，求的面积.
【答案】(1)；(2)
试题解析：解：(1)由直线l： 分别交x轴，y轴于点A、B．可知：A(3，0)，B(0，4)．∵△AOB绕点O顺时针旋转90°而得到△A′OB′，∴△AOB≌△A′OB′，故A′(0，﹣3)，B′(4，0)．
设直线A′B′的解析式为y=kx+b(k≠0，k，b为常数)
∴，解得： ，∴直线A′B′的解析式为；
(2)由题意得： ，解得： ，∴C(，﹣)，又A′B=3+4=7，∴S△A′BC==．
考点典例五、一次函数的应用
【例5】(2019•湖州)某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米.甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校义骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校.已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米.设甲步行的时间为(分)，图1中线段和折线分别表示甲、乙离开小区的路程(米)与甲步行时间(分)的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离(米)与甲步行时间(分)的函数关系的图象(不完整).根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：
(1)求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；
(2)求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；
(3)在图2中，画出当时关于的函数的大致图象．(温馨提示：请画在答题卷相对应的图上)
【解析】(1)由题意，得：甲步行的速度是(米/分)，
∴乙出发时甲离开小区的路程是(米)．
(2)设直线的解析式为:，
∵直线过点，
∴，
解得，
∴直线的解析式为:，
∴当时，，
∴乙骑自行车的速度是(米/分)．
∵乙骑自行车的时间为(分)，
∴乙骑自行车的路程为(米)．
当时，甲走过的路程是(米)，
∴乙到达还车点时，甲、乙两人之间的距离是(米)．
(3)乙步行的速度为：80-5=75(米/分)，
乙到达学校用的时间为：25+(2700-2400)÷75=29(分)，
当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象如图所示．
【举一反三】
1. (2018黄冈中考模拟)一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地，一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地，两车之间的距离(千米)与行驶时间(小时)的对应关系如图所示：
(1)甲乙两地相距多远？
(2)求快车和慢车的速度分别是多少？
(3)求出两车相遇后与之间的函数关系式；
(4)何时两车相距千米.
【答案】(1)600千米；(2)快车速度为90千米/小时，慢车速度为60千米/小时；(3)；(4)两车2小时或6小时时，两车相距300千米．
【解析】
试题分析：(1)由图象容易得出答案；
(2)由题意得出慢车速度为=60(千米/小时)；设快车速度为x千米/小时，由图象得出方程，解方程即可；
(3)求出相遇的时间和慢车行驶的路程，即可得出答案；
(4)分两种情况，由题意得出方程，解方程即可．
试题解析：(1)由图象得：甲乙两地相距600千米；
(2)由题意得：慢车总用时10小时，
∴慢车速度为=60(千米/小时)；
想和快车速度为x千米/小时，
由图象得：60×4+4x=600，解得：x=90，
∴快车速度为90千米/小时，慢车速度为60千米/小时；
(3)由图象得：(小时)，60×=400(千米)，
时间为小时时快车已到达甲地，此时慢车走了400千米，
∴两车相遇后y与x的函数关系式为 ；
(4)设出发x小时后，两车相距300千米．
①当两车没有相遇时，
由题意得：60x+90x=600﹣300，解得：x=2；
②当两车相遇后，
由题意得：60x+90x=600+300，解得：x=6；
即两车2小时或6小时时，两车相距300千米．
考点：一次函数的应用．
2. 某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式.方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元.
设小明计划今年夏季游泳次数为(为正整数).
(Ⅰ)根据题意，填写下表：
游泳次数
10
15
20
…
方式一的总费用(元)
150
175
…
方式二的总费用(元)
90
135
…
(Ⅱ)若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多？
(Ⅲ)当时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由.
【来源】天津市2018年中考数学试题
【答案】(Ⅰ)200，，180，.(Ⅱ)小明选择方式一游泳次数比较多. (Ⅲ)当时，有，小明选择方式二更合算；当时，有，小明选择方式一更合算.
【解析】分析：(Ⅰ)根据题意得两种付费方式 ，进行填表即可；
(Ⅱ)根据(1)知两种方式的关系，列出方程求解即可；
(Ⅲ)当时，作差比较即可得解.
点睛：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．
课时作业☆能力提升
一、选择题
1. (2018山东省滨州市中考模拟)函数自变量x的取值范围是( )
A. 全体实数 B. x＞0 C. x≥0且x≠1 D. x＞1
【答案】C
【解析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式两部分. 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解.
解：根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，得，
解得x≥0且x≠1，
故选C．
考点：函数解析式有意义的条件.
2. (2019山东临沂)下列关于一次函数y＝kx+b(k＜0，b＞0)的说法，错误的是( )
A．图象经过第一、二、四象限 B．y随x的增大而减小
C．图象与y轴交于点(0，b) D．当x＞时，y＞0
【答案】D．
【解析】解：∵y＝kx+b(k＜0，b＞0)，
∴图象经过第一、二、四象限，A正确；
∵k＜0，∴y随x的增大而减小，B正确；
令x＝0时，y＝b，∴图象与y轴的交点为(0，b)，∴C正确；
令y＝0时，x＝，当x＞时，y＜0；D不正确；
故选：D．
3. 在平面直角坐标系中，过点(1,2)作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【来源】江苏省宿迁市2018年中考数学试卷
【答案】C
【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴交点问题，三角形的面积等，解本题的关键是确定出直线y=kx+b与x轴、y轴的交点坐标.
4. (浙江省平阳县2017-2018学年九年级第一学期第二次阶段检测)如图，放置的， ， ，…都是边长为2的等边三角形，边在轴上，点， ， ，…都在直线上，则的坐标是( )
A. (2017，2017) B. (2017,2017)C. (2017,2018) D. (2017,2019)
【答案】D
【解析】试题分析：过B1向x轴作垂线B1C，垂足为C，
由题意可得：A(0，2)，AO∥A1B1，∠B1OC＝30°，
∴CO＝OB1cos30°＝，
∴B1的横坐标为： ，则A1的横坐标为： ，
连接AA1，可知所有三角形顶点都在直线AA1上，
∵点B1，B2，B3，…都在直线y＝上，AO＝2，
∴直线AA1的解析式为：y＝＋2，
∴y＝＋2＝3，
∴A1(，3)，
同理可得出：A2的横坐标为： ，
∴y＝＋2＝4，
∴A2(，4)，
∴A3(，5)，
…
A2017(，2019)．
故选D．
点睛：本题为规律型题目，利用等边三角形和直角三角形的性质求得B1的坐标，从而总结出点的坐标的规律是解题的关键．
5. (2019山东聊城)如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A(4，4)，点C在边AB上，且，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为( )
A．(2，2) B．(，) C．(，) D．(3，3)
【答案】C．
【解析】解：∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A(4，4)，
∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，
∵，点D为OB的中点，∴BC＝3，OD＝BD＝2，
∴D(0，2)，C(4，3)，
作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，
则此时，四边形PDBC周长最小，E(0，2)，
∵直线OA 的解析式为y＝x，
设直线EC的解析式为y＝kx+b，∴，
解得：，∴直线EC的解析式为y＝x+2，
解得，，∴P(，)，
故选：C．
6. (2017内蒙古通辽第10题)如图，点在直线上方，且，于，若线段，，，则与的函数关系图象大致是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：∵PC⊥AB于C，∠APB=90°，
∴∠ACP=∠BCP=90°，
∴∠APC+∠BPC=∠APC+∠PAC=90°，
∴∠PAC=∠BPC，
∴△APC∽△PBC，
∴ ，
∵AB=6，AC=x，
∴BC=6﹣x，
∴PC2=x(6﹣x)，
∴PC=，
∴y=AB•PC=3=3，
故选：D．
考点：动点问题的函数图象
7. (2018海南中考模拟)以坐标原点为圆心，作半径为2的圆，若直线与相交，则的取值范围是( )
A． B． C. D．
【答案】D
【解析】
则若直线y=﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣2＜b＜2．故选D
考点：1.直线与圆的位置关系；2.一次函数图象与系数的关系．
8.(2019四川眉山)如图，一束光线从点A(4，4)出发，经y轴上的点C反射后经过点B
(1，0)，则点C的坐标是( )
A．(0，) B．(0，) C．(0，1) D．(0，2)
【答案】B．
【解析】解：如图所示，延长AC交 x轴于点D．
∵这束光线从点A(4，4)出发，经y轴上的点C反射后经过点B(1，0)，
∴设C(0，c)，由反射定律可知，
∠1＝∠OCD
∴∠OCB＝∠OCD
∵CO⊥DB于O
∴∠COD＝∠BOC
∴△COD≌△COB(ASA)
∴OD＝OB＝1
∴D(﹣1，0)
设直线AD的解析式为y＝kx+b，则将点A(4，4)，点D(﹣1，0)代入得
，∴
∴直线AD为y＝
∴点C坐标为(0，)．
故选：B．
二、填空题.
8. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式组的解集为__________．
【来源】2018年甘肃省武威市(凉州区)中考数学试题
【答案】
【点评】考查一次函数与一次不等式，会数形结合是解题的关键.
9. 两地相距的路程为240千米，甲、乙两车沿同一线路从地出发到地，分别以一定的速度匀速行驶，甲车先出发40分钟后，乙车才出发.途中乙车发生故障，修车耗时20分钟，随后，乙车车速比发生故障前减少了10千米/小时(仍保持匀速前行)，甲、乙两车同时到达地.甲、乙两车相距的路程(千米)与甲车行驶时间(小时)之间的关系如图所示，求乙车修好时，甲车距地还有____________千米.
【来源】【全国省级联考】2018年重庆市中考数学试卷(A卷)
【答案】90
【解析】【分析】观察图象可知甲车40分钟行驶了30千米，由此可求出甲车速度，再根据甲车行驶小时时与乙车的距离为10千米可求得乙车的速度，从而可求得乙车出故障修好后的速度，再根据甲、乙两车同时到达B地，设乙车出故障前走了t1小时，修好后走了t2小时，根据等量关系甲车用了小时行驶了全程，乙车行驶的路程为60t1+50t2=240，列方程组求出t2，再根据甲车的速度即可知乙车修好时甲车距B地的路程.
【详解】甲车先行40分钟()，所行路程为30千米，
因此甲车的速度为(千米/时)，
设乙车的初始速度为V乙，则有
，
解得：(千米/时)，
因此乙车故障后速度为：60-10=50(千米/时)，
设乙车出故障前走了t1小时，修好后走了t2小时，则有
，解得：，
45×2=90(千米)，
故答案为：90.
【点评】 本题考查了一次函数的实际应用，难度较大，求出速度后能从题中找到必要的等量关系列方程组进行求解是关键.
10. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为________．
【来源】浙江省温州市2018年中考数学试卷
【答案】
把y=0代入 y = − x + 4 得出x=,
∴A(,0);
∴OA=,
点睛: 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，(k≠0，且k，b为常数)的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是(-，0)；与y轴的交点坐标是(0，b)．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．也考查了菱形的性质.学科&网
11.一次函数y=kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，则的值是
【答案】2或-7
【解析】
试题分析：由于k的符号不能确定，故应对k＞0和k＜0两种情况进行解答．
试题解析：当k＞0时，此函数是增函数，
∵当1≤x≤4时，3≤y≤6，
∴当x=1时，y=3；当x=4时，y=6，
∴，
解得，
∴=2；
当k＜0时，此函数是减函数，
∵当1≤x≤4时，3≤y≤6，
∴当x=1时，y=6；当x=4时，y=3，
∴，
解得，
∴=-7．
考点：一次函数的性质．
12. 已知点A是直线y=x+1上一点，其横坐标为﹣ ，若点B与点A关于y轴对称，则点B的坐标为_____．
【来源】四川省宜宾市2018年中考数学试题
【答案】(,)
【解析】分析：利用待定系数法求出点A坐标，再利用轴对称的性质求出点B坐标即可；
详解：由题意A(-，)，
∵A、B关于y轴对称，
∴B(，)，
故答案为(，)．
点睛：本题考查一次函数的应用、轴对称的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13. (2018湖北孝感汉川中考模拟)如图，将直线 沿轴向下平移后的直线恰好经过点 ，且与轴交于点，在 轴上存在一点使得的值最小，则点的坐标为 ．
【答案】(，0)
【解析】
试题分析：如图所示，作点B关于x轴对称的点B'，连接AB'，交x轴于P，则点P即为所求，
设直线y=﹣x沿y轴向下平移后的直线解析式为y=﹣x+a，
把A(2，﹣4)代入可得，a=﹣2，
∴平移后的直线为y=﹣x﹣2，
令x=0，则y=﹣2，即B(0，﹣2)
∴B'(0，2)，
设直线AB'的解析式为y=kx+b，
把A(2，﹣4)，B'(0，2)代入可得， ，解得 ，
∴直线AB'的解析式为y=﹣3x+2，
令y=0，则x= ，∴P(，0).
考点：1.最短路线问题；2.一次函数图象与几何变换的运用.
三、解答题。
14. (江西省上饶市鄱阳二中2017届九年级(上)期末)如图，四边形ABCD是平行四边形，点A(1，0)，B(4，1)，C(4，3)，反比例函数的图象经过点D，点P是一次函数y=mx+3﹣4m(m≠0)的图象与该反比例函数图象的一个公共点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)通过计算说明一次函数y=mx+3﹣4m的图象一定过点C；
(3)对于一次函数y=mx+3﹣4m(m≠0)，当y随x的增大而增大时，确定点P的横坐标的取值范围．(不必写过程)
【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)＜x＜4．
试题解析：
解：(1)∵B(4，1)，C(4，3)，
∴BC∥y轴，BC=2，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=2，AD∥y轴，而A(1，0)，
∴D(1，2)，
∴由反比例函数y=的图象经过点D，可得k=1×2=2，
∴反比例函数的解析式为y=.
(2)∵在一次函数y=mx+3﹣4m中，y=m(x-4)+3,当x=4时，y=4m+3﹣4m=3，
∴一次函数y=mx+3﹣4m的图象一定过点C(4，3).
(3)点P的横坐标的取值范围： ＜x＜4．
由点C的横坐标为4，可得F的横坐标为4，
∵一次函数y=mx+3﹣4m的图象一定过点C(4，3)，且y随x的增大而增大，
∴直线y=mx+3﹣4m与双曲线的交点P落在EF之间的双曲线上，
∴点P的横坐标的取值范围是＜x＜4．
15. (2019四川乐山)如图，已知过点的直线与直线：相交于点.
(1)求直线的解析式；
(2)求四边形的面积.
【答案】(1)；(2).
【解析】解：(1)∵点P(1，a)在直线l2：y=2x+4上，
∴2×(-1)+4=a，即，
则的坐标为，
设直线的解析式为：，
那么，
解得： .
∴l1的解析式为：.
(2)∵直线与轴相交于点，
∴的坐标为，
又∵直线与轴相交于点，
∵A点的坐标为，则，
而，
∴.
16. (黑龙江省牡丹江市2018届中考牡丹江管理局北斗星协会一模)一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x(h)，两车之间的距离为y(km)，图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图像回答以下问题：
(1)请在图中的( )内填上正确的值，并写出两车的速度和．
(2)求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(3)请直接写出两车之间的距离不超过15km的时间范围．
【答案】(1)900；225km∕h.(2)yBC=225x-900(4≤x≤6)；(3)
【解析】试题分析：(1)设直线的解析式为： 把点代入，求出解析式，当时， 4小时后两车相遇，即可求出它们的速度和.
分别让解析式中的即可求出两车之间的距离不超过15km的时间范围．
试题解析：(1)设直线的解析式为： 把点代入得：
解得：
直线的解析式为：
当时，
图中括号里应填900，两车的速度和为：
(2)快车与慢车的速度和为：900÷4=225km/h，
慢车的速度为：900÷12=75km/h，
快车的速度为：225−75=150 km/h.
由题意得快车走完全程的时间为：900÷150=6h，
6时时两车之间的距离为：225×(6−4)=450km.
则C(6,450).
设线段BC的解析式为y=kx+b，由题意，得
解得：
则y=225x−900，自变量x的取值范围是
(3)
17. 如图，Rt△OAB的直角边OA在x轴上，顶点B的坐标为(6，8)，直线CD交AB于点D(6，3)，交x轴于点C(12，0)．
(1)求直线CD的函数表达式；
(2)动点P在x轴上从点(﹣10，0)出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，过点P作直线l垂直于x轴，设运动时间为t．
①点P在运动过程中，是否存在某个位置，使得∠PDA=∠B？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②请探索当t为何值时，在直线l上存在点M，在直线CD上存在点Q，使得以OB为一边，O，B，M，Q为顶点的四边形为菱形，并求出此时t的值．
【来源】浙江省衢州市2018年中考数学试卷
【答案】(1)直线CD的解析式为y=﹣x+6；(2)①满足条件的点P坐标为(，0)或(，0)．②满足条件的t的值为或．
详解：(1)设直线CD的解析式为y=kx+b，则有
，
解得，
∴直线CD的解析式为y=﹣x+6．
(2)①如图1中，作DP∥OB，则∠PDA=∠B．
∵DP∥OB，
∴，
∴，
∴，
∴OP=6﹣，
∴P(，0)，
根据对称性可知，当AP=AP′时，P′(，0)，
∴满足条件的点P坐标为(，0)或(，0)．
②如图2中，当OP=OB=10时，作PQ∥OB交CD于Q．
如图3中，当OQ=OB时，设Q(m，﹣m+6)，
点睛：本题考查了一次函数综合题、待定系数法、菱形的判定、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，学会构建一次函数，利用方程组确定两个函数的交点坐标．
15. (2019四川攀枝花)在平面直角坐标系中，已知，动点在的图
像上运动(不与重合)，连接，过点作，交轴于点，连接.
(1)求线段长度的取值范围；
(2)试问：点运动过程中，是否是定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明
理由；
(3)当为等腰三角形时，求点的坐标.
【答案】(1)；(2)是定值，且；
(3)点Q的坐标是或或或.
【解析】解：(1)作，则，∵点在的图像上，
∴，.∵，
∴. ∴.
(2)法一：(共圆法)
①当点在第三象限时，
由，可得、、、四点共圆.
∴.
②当点在第一象的线段上时，
由，可得、、、四点共圆.
∴，又此时.
∴.
③当点在第一象限的线段的延长线上时，
由，可得.
∴、、、四点共圆.
∴.
法二：(相似法)
如图设直线与交于点，
当点在第三象限时，
①由，可得∽.
∴ ，∴∽.
∴.
②当点在第一象限且点在延长线上时，
由，可得.
∴∽，∴.
∴∽. ∴.
③当点在第一象限且点在延长线上时，
由，可得.
∴∽，∴
∴∽ ∴
(3)设，则：，
∵，∴.
∴：.
∴.
∴，，.
①当时，则，
整理得：，解得：.
∴，.
②当时，则.
整理得：，解得：或.
当时，点与重合，舍去，
∴. ∴.
③当时，
则.
整理得：，解得：.
∴.
综上，点Q的坐标是或或或.
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