中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第04讲 因式分解（解析版）学案

中考数学一轮复习讲义

考点四:因式分解

聚焦考点☆温习理解

1、因式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

2、因式分解的常用方法

(1)提公因式法：

(2)运用公式法：

(3)分组分解法：

(4)十字相乘法：

3、因式分解的一般步骤：

(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。

(2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式

(3)分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式，这样才算分解彻底；学科+网

(4)注意因式分解中的范围，如x4-4=(x2+2)(x2-2)在实数范围内分解因式，继续进行分解：x4-4=(x2+2)(x2-2)=(x2+2)(x+)(x-),题目不作说明，表明是在有理数范围内因式分解.[来源:学科网ZXXK]

(5)分解要彻底。作为结果的代数式的最后运算必须是乘法；要分解到每个因式都不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，并且同类项合并完毕，若有重因式应写成幂的形式．这些统称分解彻底．

名师点睛☆典例分类

考点典例一、提取公因式

【例1】(2019湖南常德3分)若x2+x＝1，则3x4+3x3+3x+1的值为　4　．

【分析】把所求多项式进行变形，代入已知条件，即可得出答案．

【解答】解：∵x2+x＝1，

∴3x4+3x3+3x+1＝3x2(x2+x)+3x+1＝3x2+3x+1＝3(x2+x)+1＝3+1＝4；

故答案为：4．

【点评】本题考查了提公因式法因式分解的应用；把所求多项式进行灵活变形是解题的关键．

【举一反三】

1. 分解因式：2a3b﹣4a2b2+2ab3=_____．

【来源】四川省宜宾市2018年中考数学试题

【答案】2ab(a﹣b)2．

点睛：本题考查提公因式法，公式法分解因式，难点在于提取公因式后要继续进行二次分解因式

2. (天津市和平区 汇文中学 2018年九年级数学中考夯基卷)因式分解：x3-xy2=________________.

【答案】x(x+y)(x-y)

【解析】试题解析：原式

故答案为：

考点典例二、公式法

【例2】(2019•湖北省咸宁市•3分)若整式x2+my2(m为常数，且m≠0)能在有理数范围内分解因式，则m的值可以是　﹣1　(写一个即可)．

【分析】令m＝﹣1，使其能利用平方差公式分解即可．

【解答】解：令m＝﹣1，整式为x2﹣y2＝(x+y)(x﹣y)．

故答案为：﹣1(答案不唯一)．

【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

．

【举一反三】

1．(2018福建泉州中考模拟)把多项式分解因式，正确的结果是(　　)

A. 4a2+4a+1=(2a+1)2    B. a2﹣4b2=(a﹣4b)(a+b)

C. a2﹣2a﹣1=(a﹣1)2    D. (a﹣b)(a+b)=a2﹣b2

【答案】A．

考点：分解因式.

2. (2018年湖北省黄梅濯港镇中心学校数学中考模拟试题)分解因式：x3y﹣xy=　   　．

【答案】xy(x+1)(x﹣1)

3. 分解因式：2x3﹣6x2+4x=__________．

【来源】山东省淄博市2018年中考数学试题

【答案】2x(x﹣1)(x﹣2)．

【解析】分析：首先提取公因式2x，再利用十字相乘法分解因式得出答案．

详解：2x3﹣6x2+4x

=2x(x2﹣3x+2)

=2x(x﹣1)(x﹣2)．

故答案为：2x(x﹣1)(x﹣2)．

点睛：此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．

考点典例三、提取公因式与公式法综合运用

【例3】(2019•山东威海•3分)分解因式：2x2﹣2x+＝　2(x﹣)2　．

【分析】直接提取公因式2，再利用公式法分解因式即可．

【解答】解：原式＝2(x2﹣x+)

＝2(x﹣)2．

故答案为：2(x﹣)2．

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．

【举一反三】

1．(2017贵州黔东南州第13题)在实数范围内因式分解：x5﹣4x=　   　．

【答案】x(x2+2)(x+)(x﹣)

【解析】

试题解析：原式=x(x4﹣22)，

=x(x2+2)(x2﹣2)

=x(x2+2)(x+)(x﹣)，

考点：实数范围内分解因式．

2. (2019•湖北省荆门市•3分)下列运算不正确的是(　　)

A．xy+x﹣y﹣1＝(x﹣1)(y+1) 

B．x2+y2+z2+xy+yz+zx＝(x+y+z)2 

C．(x+y)(x2﹣xy+y2)＝x3+y3 

D．(x﹣y)3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3

【分析】根据分组分解法因式分解、多项式乘多项式的法则进行计算，判断即可．

【解答】解：xy+x﹣y﹣1＝x(y+1)﹣(y+1)＝(x﹣1)(y+1)，A正确，不符合题意；

x2+y2+z2+xy+yz+zx＝[(x+y)2+(x+z)2+(y+z)2]，B错误，符合题意；

(x+y)(x2﹣xy+y2)＝x3+y3，C正确，不符合题意；

(x﹣y)3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3，D正确，不符合题意；故选：B．

【点评】本题考查的是因式分解、多项式乘多项式，掌握它们的一般步骤、运算法则是解题的关键．

2. (2019黑龙江省绥化3分)下列因式分解正确的是(　　)

A．x2﹣x＝x(x+1) B．a2﹣3a﹣4＝(a+4)(a﹣1) 

C．a2+2ab﹣b2＝(a﹣b)2 D．x2﹣y2＝(x+y)(x﹣y)

答案：D

考点：因式分解

解析：对于A，提公因式后，不应该变号，所以错误，正确的是：x2﹣x＝x(x－1)；

对于B，十字相乘法符号错误，正确的分解：a2﹣3a﹣4＝(a－4)(a＋1)；

对于C，b2项的系数为负，不能用完全平方公式，故错误；

对于D，用平方差公式，正确。

考点典例四、分解因式的应用

【例5】若，则代数式的值为        ．

【答案】1.

【解析】

试题分析：∵，

∴.

【点睛】利用因式分解可以求代数式的值，先将代数式a2-b2-2b进行因式分解含有(a-b)的因式，再进行整体代入即可求出答案.

【举一反三】

1(2017重庆市兼善中学八年级上学期联考)在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式，因式分解的结果是，若取， 时，则各个因式的值为， ， ，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取， 时，用上述方法产生的密码不可能是(　 　)

A.     B.     C.     D.

【答案】B．

考点：因式分解的应用.

2.(2018黄冈中考模拟)如图边长为a、b的矩形的周长为14，面积为10，则a²b+ab²的值为

A.140    B.70  C.35   D.24

【答案】

【解析】

试题分析：由题意可得a+b=7,ab=10,所以=7×10=70.故选B.

考点：分解因式；求代数式的值

3. (2017贵州安顺第14题)已知x+y=，xy=，则x2y+xy2的值为　   　．

【答案】3.

【解析】

试题解析：∵x+y=，xy=，

∴x2y+xy2

=xy(x+y)

=×

=

=3.

考点：因式分解的应用．

课时作业☆能力提升

一．选择题

1. 下列分解因式正确的是(     )

A.     B.

C.     D.

【来源】安徽省2018年中考数学试题

【答案】C

【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底．

2.( 2018广东省汕头中考一模) 分解因式(2x+3)2﹣x2的结果是(　　)

A. 3(x2+4x+3)    B. 3(x2+2x+3)    C. (3x+3)(x+3)    D. 3(x+1)(x+3)

【答案】D.

【解析】

试题分析：(2x+3)2﹣x2

=(2x+3﹣x)(2x+3+x)

=(x+3)(3x+3)

=3(x+3)(x+1)．

故选D．

考点：因式分解.

3.下面的多项式在实数范围内能因式分解的是(    )

A．x2+y2        B．x2﹣y        C．x2+x+1        D．x2﹣2x+1

【答案】D．

考点：实数范围内因式分解．

4.(安徽省合肥市2018届九年级第五次十校联考)把多项式x3－4x因式分解所得的结果是(　 　)

A. x(x2－4)    B. x(x＋4)(x－4)    C. x(x＋2)(x－2)    D. (x＋2)(x－2)

【答案】C

【解析】试题解析：

故选C.

点睛：先提取公因式，再用公式进行因式分解.

5.下列因式分解正确的是(    )

A．      B．     

C．              D．

【答案】A．

考点：1.因式分解和因式分解的意义；2.完全平方公式.

二．填空题

6. (2019•湖北十堰•3分)对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝(a+b)2﹣(a﹣b)2．若(m+2)◎(m﹣3)＝24，则m＝　    　．

【答案】﹣3或4．

【解答】解：根据题意得[(m+2)+(m﹣3)]2﹣[(m+2)﹣(m﹣3)]2＝24，

(2m﹣1)2﹣49＝0，

(2m﹣1+7)(2m﹣1﹣7)＝0，

2m﹣1+7＝0或2m﹣1﹣7＝0，

所以m1＝﹣3，m2＝4．

故答案为﹣3或4．

7. (甘肃省2018年普通高中招生考试数学模拟卷)因式分解：b2－ab＋a－b＝_______．

【答案】(b－a)(b－1)

【解析】b2－ab＋a－b＝b2－b－ab＋a=b(b-1)-a(b-1)=(b-1)(b-a).

故答案是：(b－a)(b－1).

8．(2018年河南省驻马店市实验中学第一次中考模拟数学试题)将多项式x2y－2xy2＋y3分解因式的结果是_________．

【答案】y(x-y)2

【解析】解：x2y﹣2xy2+y3=y(x2﹣2xy+y2)=y(x﹣y)2．

故答案为：y(x﹣y)2．

9.(2017天津市河东区五十四中中考模拟)分解因式：x2-6x2y+9x2y2=____________.

【答案】x2(3y-1)2

【解析】

试题分析：原式= x2-6x2y+9x2y2=x2(1-6y+9y2)=x2(3y-1)2．
故答案是：x2(3y-1)2．

考点：分解因式.

10. (2018湖北孝感中考模拟) 分解因式：          ．

【答案】2(a﹣1)2．

试题分析：先提取2，再利用完全平方公式分解即可，即原式=2(a2﹣2a+1)=2(a﹣1)2．

考点：提公因式法与公式法的综合运用．

11.(2017辽宁省盘锦市年中考三模)分解因式：(a+5)(a﹣5)+7(a+1)=___________.

【答案】(a﹣2)(a+9)

【解析】

试题分析：原式=a2-25+7a+7= a2+7a-18=(a﹣2)(a+9)

考点：因式分解．

12.(2018年四川南充中考模拟)分解因式：        ．

【答案】.

【解析】

试题分析：.

考点：应用公式法因式分解.

13. (2017广西百色第18题)阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法.

(1)二次项系数；

(2)常数项 验算：“交叉相乘之和”；

(3)发现第③个“交叉相乘之和”的结果，等于一次项系数-1，即，则.像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.仿照以上方法，分解因式：          ．

【答案】(x+3)(3x﹣4)．

【解析】

试题分析：3x2+5x﹣12=(x+3)(3x﹣4)．

考点：因式分解﹣十字相乘法．

14.(2018年武汉四月元调)分解因式：=                  ．

【答案】．

【解析】

试题分析：==．故答案为：．

考点：提公因式法与公式法的综合运用．

15.分解因式：=            .

【答案】.

【解析】

试题分析：.

考点：提公因式法和十字相乘法因式分解.

16．(2018年启黄中学一模)分解因式：2a2b﹣8b=　　　　　　，计算：8x6÷4x2=　　　　　　．

【答案】2b(a+2)(a﹣2)；2x4．

【解析】

试题分析：2a2b﹣8b=2b(a+2)(a﹣2)；8x6÷4x2=2x4．

考点：提公因式法与公式法的综合运用；整式的除法．

17.(2018年荆州市四月调考)已知实数a，b满足ab=3，a﹣b=2，则a2b﹣ab2的值是        ．

【答案】6．

考点：1.求代数式的值；2. 提公因式法因式分解；3.整体思想的应用．

18. 如图，已知大正方形的边长为a＋b＋c，利用图形的面积关系可得：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac.当大正方形的边长为a＋b＋c＋d时，利用图形的面积关系可得：(a＋b＋c＋d)2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2ab＋2ac＋2ad＋2bc＋2bd＋2cd.一般地，n个数的和的平方等于这n个数的平方和加上它们两两乘积的2倍．

根据以上结论解决下列问题：

(1)若a＋b＋c＝6，a2＋b2＋c2＝14，则ab＋bc＋ac＝11；

(2)从－4，－2，－1，3，5这五个数中任取两个数相乘，再把所有的积相加，若和为m，求m的值．

解：∵－4－2－1＋3＋5＝1，

∴两边平方后得(－4－2－1＋3＋5)2＝(－4)2＋(－2)2＋(－1)2＋32＋52＋2m＝55＋2m＝1.

∴m＝(1－55)÷2＝－54÷2＝－27.

14. 如图，已知大正方形的边长为a＋b＋c，利用图形的面积关系可得：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac.当大正方形的边长为a＋b＋c＋d时，利用图形的面积关系可得：(a＋b＋c＋d)2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2ab＋2ac＋2ad＋2bc＋2bd＋2cd.一般地，n个数的和的平方等于这n个数的平方和加上它们两两乘积的2倍．

根据以上结论解决下列问题：

(1)若a＋b＋c＝6，a2＋b2＋c2＝14，则ab＋bc＋ac＝11；

(2)从－4，－2，－1，3，5这五个数中任取两个数相乘，再把所有的积相加，若和为m，求m的值．

解：∵－4－2－1＋3＋5＝1，

∴两边平方后得(－4－2－1＋3＋5)2＝(－4)2＋(－2)2＋(－1)2＋32＋52＋2m＝55＋2m＝1.

∴m＝(1－55)÷2＝－54÷2＝－27.

[来源:学科网][来源:Zxxk.C