中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第08讲 一元二次方程（解析版）学案

这是一份中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第08讲 一元二次方程（解析版）学案，共21页。学案主要包含了一元二次方程及有关概念，一元二次方程的解法，一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的应用等内容，欢迎下载使用。
 中考数学一轮复习讲义
考点八：一元二次方程
聚焦考点☆温习理解
一、一元二次方程及有关概念
1. 一元二次方程：只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程.
2. 一般形式:ax2+bx+c=0(其中a、b、c为常数，a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数.
3. 一元二次方程必须具备三个条件：(1)必须是整式方程；(2)必须只含有1个未知数；(3)所含未知数的最高次数是2.
【温馨提示】在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0.因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程.
4. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
二、一元二次方程的解法：
解一元二次方程的基本思想——转化，即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.
直接开平方法；配方法；公式法；因式分解法.
三、一元二次方程的根的判别式
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)：
(1)b2－4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)b2－4ac＝0⇔方程有两个的实数根；
(3)b2－4ac＜0⇔方程没有实数根．
四、一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝，x1x2＝．
五、一元二次方程的应用
1. 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程(组)解应用题的步骤相同，即审、设、列、解、验答五步.
2. 列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：
(1)增长率等量关系:
A.增长率＝×100%；
B.设a为原来量，m为平均增长率,n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)n=b;当m为平均下降率，n为下降次数，b为下降后的量时，则有a(1-m)n=b.
(2)利润等量关系:
A.利润＝售价-成本；
B.利润率＝利润成本×100%.
(3)面积问题

名师点睛☆典例分类
考点典例一、解一元二次方程
【例1】(2018江苏省句容市月考)解下列方程：(有指定方法必须用指定方法)
(1)(配方法)； (2)(公式法)
(3)． (4)．
【答案】(1)x1=1，x2=；(2)x1=, x2=；(3)x1=3，x2=；(4)x1=-5，x2=4.
【解析】试题分析：(1)利用配方法进行求解即可；
(2)利用公式法进行求解即可；
(3)利用因式分解法进行求解即可；
(4)整理到一般式后再利用因式分解法进行求解即可.
试题解析：(1)，
，
，
，
，
，
∴x1=1，x2=；

(3)，
(x-3)(x-3+4x)=0，
x-3=0或5x-3=0，
∴x1=3，x2=；
(4)，
整理得：x2+x-20=0，
(x+5)(x-4)=0，
x+5=0或x-4=0 ，
∴x1=-5，x2=4.
考点：解一元二次方程.
【点睛】一元二次方程有四种解法:因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法.
(1)若一元二次方程缺少常数项,且方程的右边为0,可考虑用因式分解法求解;
(2)若一元二次方程缺少一次项,可考虑用因式分解法或直接开平方法求解;
(3)若一元二次方程的二次项系数为1,且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时,可考虑用配方法求解;
(4)若用以上三种方法都不容易求解时,可考虑用公式法求解.
【举一反三】
1. (2018天津市宁河区联考)方程2x(x-3)=7(3-x)的根是( )
A. x=3 B. x= C. x1=3，x2= D. x1=3，x2=-
【答案】D
【解析】2x(x-3)=7(3-x)，2x(x-3)+7(x-3)=0，(x-3)(2x+7)=0，∴x1=3，x2=，故选D.
考点：解一元二次方程.
2. (2017山东德州第15题)方程3x(x-1)=2(x-1)的根是
【答案】x1=1，x2=-.

考点:解一元二次方程---因式分解法.
考点典例二、配方法
【例2】用配方法把代数式3x－2x2－2化为a(x＋m)2＋n的形式，并说明不论x取何值，这个代数式的值总是负数．并求出当x取何值时，这个代数式的值最大．
【答案】证明见解析；，-.
【解析】
试题分析：先利用配方法得到3x-2x2-2=-2(x-)2-，再根据非负数的性质得到-2(x-)2-＜0，即不论x取何值，3x-2x2-2的值总是负数，易得当x=时，这个代数式的值最大．
试题解析：3x-2x2-2
=-2x2+3x-2
=-2(x2-x)-2
=-2(x2-x+-)-2
=-2(x-)2-，
∵(x-)2≥0，
∴-2(x-)2≤0，
∴-2(x-)2-＜0，
∴不论x取何值，3x-2x2-2的值总是负数，
且当x=时，这个代数式的值最大，最大值为-．
考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
【点睛】(1)代数式的配方是一种重要的数学方法，它既是恒等变形的重要手段，又是研究相等关系，讨论不等关系的常用方法．在配方前，先将二次项系数－2提出来，使括号中的二次项系数化为1，然后通过配方分离出一个完全平方式．(2)注意与方程的配方的区别．
【举一反三】
(2018山东省临沂市郯城县中考模拟)用配方法解下列方程，配方正确的是(　　)
A. 2y2﹣4y﹣4=0可化为(y﹣1)2=4 B. x2﹣2x﹣9=0可化为(x﹣1)2=8
C. x2+8x﹣9=0可化为(x+4)2=16 D. x2﹣4x=0可化为(x﹣2)2=4
【答案】D.

考点：解一元二次方程.
考点典例三、一元二次方程根的判别式
【例3】(2019•河北省•2分)小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0(a≠0)时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是(　　)
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根
A 【解答】解：∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0(a≠0)时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1，
∴(﹣1)2﹣4+c＝0，
解得：c＝3，
故原方程中c＝5，
则b2﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，
则原方程的根的情况是不存在实数根．
【举一反三】
1. (2019•北京)关于x的方程x2–2x+2m–1=0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
【答案】x1=x2=1．
【解析】∵关于x的方程x2–2x+2m–1=0有实数根，
∴b2–4ac=4–4(2m–1)≥0，解得m≤1，
∵m为正整数，∴m=1，
∴x2–2x+1=0，
则(x–1)2=0，
解得：x1=x2=1．
【名师点睛】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键．
2. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　)
A．k≥0 B．k＞0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1
【答案】A
试题分析：由于方程有两个不相等的实数根，根据△的意义得到△＞0，即(2)2﹣4×1×(﹣1)＞0，解不等式即可．
试题解析：∵方程有两个不相等的实数根，
∴k≥0，且△＞0，即(2)2﹣4×1×(﹣1)＞0，解得k＞﹣1．
∴k的取值范围是k≥0．
故选：A．
点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
考点典例四、一元二次方程根与系数的关系
【例4】(2019•广东广州•3分)关于x的一元二次方程x2﹣(k﹣1)x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若(x1﹣x2+2)(x1﹣x2﹣2)+2x1x2＝﹣3，则k的值(　　)
A．0或2 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2
【分析】由根与系数的关系可得出x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2，结合(x1﹣x2+2)(x1﹣x2﹣2)+2x1x2＝﹣3可求出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△≥0可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而可确定k的值，此题得解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣(k﹣1)x﹣k+2＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2．
∵(x1﹣x2+2)(x1﹣x2﹣2)+2x1x2＝﹣3，即(x1+x2)2﹣2x1x2﹣4＝﹣3，
∴(k﹣1)2+2k﹣4﹣4＝﹣3，
解得：k＝±2．
∵关于x的一元二次方程x2﹣(k﹣1)x﹣k+2＝0有实数根，
∴△＝[﹣(k﹣1)]2﹣4×1×(﹣k+2)≥0，
解得：k≥2﹣1或k≤﹣2﹣1，
∴k＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合(x1﹣x2+2)(x1﹣x2﹣2)+2x1x2＝﹣3，求出k的值是解题的关键．
【举一反三】
1. (2019•湖北省荆门市•3分)已知x1，x2是关于x的方程x2+(3k+1)x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足(x1﹣1)(x2﹣1)＝8k2，则k的值为　1　．
【分析】根据根与系数的关系结合(x1﹣1)(x2﹣1)＝8k2，可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而即可确定k值，此题得解．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+(3k+1)x+2k2+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣(3k+1)，x1x2＝2k2+1．
∵(x1﹣1)(x2﹣1)＝8k2，即x1x2﹣(x1+x2)+1＝8k2，
∴2k2+1+3k+1+1＝8k2，
整理，得：2k2﹣k﹣1＝0，
解得：k1＝﹣，k2＝1．
∵关于x的方程x2+(3k+1)x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，
∴△＝(3k+1)2﹣4×1×(2k2+1)＞0，
解得：k＜﹣3﹣2或k＞﹣3+2，
∴k＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，利用根与系数的关系结合(x1﹣1)(x2﹣1)＝8k2，求出k值是解题的关键．
2. (2019•湖北省鄂州市•3分)关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为(　　)
A． B． C． D．0
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝4，代入代数式计算即可．
【解答】解：∵x1+x2＝4，
∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5，
∴x2＝，
把x2＝代入x2﹣4x+m＝0得：()2﹣4×+m＝0，
解得：m＝，
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝是解题的关键．
考点典例五、一元二次方程的应用
【例5】(2019•四川省达州市•3分)某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是(　　)
A．2500(1+x)2＝9100
B．2500(1+x%)2＝9100
C．2500(1+x)+2500(1+x)2＝9100
D．2500+2500(1+x)+2500(1+x)2＝9100
【分析】分别表示出5月，6月的营业额进而得出等式即可．
【解答】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得：
2500+2500(1+x)+2500(1+x)2＝9100．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题关键．
【举一反三】
1. (2019•广西北部湾经济区•3分)扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为(　　)

A．(30﹣x)(20﹣x)＝×20×30
B．(30﹣2x)(20﹣x)＝×20×30
C．30x+2×20x＝×20×30
D．(30﹣2x)(20﹣x)＝×20×30
【分析】根据空白区域的面积＝矩形空地的面积可得．
【解答】解：设花带的宽度为xm，则可列方程为(30﹣2x)(20﹣x)＝×20×30，
故选：D．
2. (2018•罗平县一模)某商店从厂家以每件18元购进一批商品出售，若每件售价为a元，则可售出(320﹣10a)件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的25%，若商店要想获得400元利润，则售价应定为每件多少元？需售出这种商品多少件？
【答案】每件商品的售价应定为22元，需要卖出这种商品100件．
试题分析：可根据关键语“若每件售价a元，则每件盈利(a﹣18)元，则可卖出(320﹣10a)件”，根据每件的盈利×销售的件数=获利，即可列出方程求解．
试题解析：设每件商品的售价定为a元，
则(a﹣18)(320﹣10a)=400，
整理得a2﹣50a+616=0，
∴a1=22，a2=28
∵18(1+25%)=22.5，而28＞22.5
∴a=22．
卖出商品的件数为320﹣10×22=100．
答：每件商品的售价应定为22元，需要卖出这种商品100件．
点睛：本题考查了一元二次方程的应用，解题时可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
课时作业☆能力提升
1. 若关于的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为( )
A. B. 1 C. D.
【来源】安徽省2018年中考数学试题
【答案】A
【解析】【分析】整理成一般式后，根据方程有两个相等的实数根，可得△=0，得到关于a的方程，解方程即可得.
【详解】x(x+1)+ax=0，
x2+(a+1)x=0，
由方程有两个相等的实数根，可得△=(a+1)2-4×1×0=0，
解得：a1=a2=-1，
故选A.
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
(1)△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)△＜0⇔方程没有实数根．
2. (2019•湖南怀化•4分)一元二次方程x2+2x+1＝0的解是(　　)
A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝2
【答案】C
【解答】解：∵x2+2x+1＝0，
∴(x+1)2＝0，
则x+1＝0，
解得x1＝x2＝﹣1，
故选：C．
3. 欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取.则该方程的一个正根是( )

A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长
【来源】2018年浙江省舟山市中考数学试题
【答案】B
【解析】【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出AB的长，进而求得AD的长,即可发现结论.

【点评】考查解一元二次方程已经勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.
4. (2017湖北咸宁第6题)已知为常数，点在第二象限，则关于的方程根的情况是()
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D．无法判断
【答案】B．
试题分析：已知点P(a，c)在第二象限，可得a＜0，c＞0，所以ac＜0，即可判定△=b2﹣4ac＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选B．
考点：根的判别式；点的坐标．
5. (2018浙江杭州中考模拟)用配方法解方程时，配方结果正确的是( )
A． B． C． D． [来源:Z.xx.k.Com]
【答案】B．
【解析】
试题解析：∵x2+2x-1=0，
∴x2+2x-1=0，
∴(x+1)2=2．
故选B．
考点：解一元二次方程-配方法．
6．(2019•河北省•2分)小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0(a≠0)时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是(　　)
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根
【答案】A
【解答】解：∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0(a≠0)时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1，
∴(﹣1)2﹣4+c＝0，
解得：c＝3，
故原方程中c＝5，
则b2﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，
则原方程的根的情况是不存在实数根．
7. (2018贵州六盘水中考模拟)三角形的两边的夹角为且满足方程，则第三边长的长是( )[来源:Z#xx#k.Com]
A. B. C. D.
【答案】
试题分析：解方程可a= ，如图所示，在Rt△ACD中，CD=×cos60°=，BD=2-=，AD=×sin60°=，所以,故选A.

考点：一元二次方程；勾股定理.
8.( 2019•山东省聊城市•3分)若关于x的一元二次方程(k﹣2)x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为(　　)
A．k≥0 B． k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥且k≠2
【答案】D
【解答】解：(k﹣2)x2﹣2kx+k﹣6＝0，
∵关于x的一元二次方程(k﹣2)x2﹣2kx+k＝6有实数根，
∴，
解得：k≥且k≠2．
故选：D．



9. 关于的方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是__________．
【来源】江苏省扬州市2018年中考数学试题
【答案】且
【解析】分析：根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△=4-12m＞0且m≠0，求出m的取值范围即可．
详解：∵一元二次方程mx2-2x+3=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0且m≠0，
∴4-12m＞0且m≠0，
∴m＜且m≠0，
故答案为：m＜且m≠0．
点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c为常数)根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．学科#网
10. 一元二次方程的两根为, ,则的值为____________ .
【来源】江西省2018年中等学校招生考试数学试题
【答案】2

【点睛】本题考查了一元二次方程根的意义，一元二次方程根与系数的关系等，熟练掌握相关内容是解题的关键.
11.(2018安徽省淮南市中考模拟)方程x2+3x+1=0的解是x1=______,x2=______．
【答案】
【解析】a=1，b=3，c=1，
△=b2﹣4ac=9-4=5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴x==
∴x1= ，x2=.
考点：解一元二次方程．
12.(2018苏科版南京栖霞区期末模拟)如果－－8=0，则的值是________．
【答案】4或－2
【解析】 ，
，
所以： 或，
故答案为：4或-2.
考点：解一元二次方程.
13.(2018届江苏省灌云县西片九年级上学期第二次月考)已知关于x的方程 x2﹣2x+k=0.
(1)若原方程有实数根，求k的取值范围？
(2)选取一个你喜欢的非零整数值作为k的值，使原方程有实数根，并解方程．
【答案】(1)k≤1；(2)答案不唯一.

考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系.
14. 已知关于的一元二次方程.
(1)试证明：无论取何值此方程总有两个实数根；
(2)若原方程的两根，满足，求的值.
【来源】湖北省孝感市2018年中考数学试题
【答案】(1)证明见解析；(2)-2.
【解析】分析：(1)将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=(2p+1)2≥0，由此即可证出：无论p取何值此方程总有两个实数根；
(2)根据根与系数的关系可得出x1+x2=5、x1x2=6-p2-p，结合x12+x22-x1x2=3p2+1，即可求出p值．
详解：(1)证明：原方程可变形为x2-5x+6-p2-p=0．
∵△=(-5)2-4(6-p2-p)=25-24+4p2+4p=4p2+4p+1=(2p+1)2≥0，
∴无论p取何值此方程总有两个实数根；
(2)∵原方程的两根为x1、x2，
∴x1+x2=5，x1x2=6-p2-p．
又∵x12+x22-x1x2=3p2+1，
∴(x1+x2)2-3x1x2=3p2+1，
∴52-3(6-p2-p)=3p2+1，
∴25-18+3p2+3p=3p2+1，
∴3p=-6，
∴p=-2．
点睛：本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：(1)牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；(2)根据根与系数的关系结合x12+x22-x1x2=3p2+1，求出p值．
15. 某地年为做好“精准扶贫”，投入资金万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，年在年的基础上增加投入资金万元.
(1)从年到年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
(2)在年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于万元用于优先搬迁租房奖励，规定前户(含第户)每户每天奖励元，户以后每户每天奖励元，按租房天计算，求年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励.
【来源】贵州省安顺市2018年中考数学试题
【答案】(1)从年到年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为；(2)年该地至少有户享受到优先搬迁租房奖励.
【解析】分析：(1)设年平均增长率为x，根据：2015年投入资金给×(1+增长率)2=2017年投入资金，列出方程求解可得；
(2)设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据：前1000户获得的奖励总数+1000户以后获得的奖励总和≥500万，列不等式求解可得．
详解：(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为，根据题意得
，
解得：或(舍)，
答：从年到年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为；
(2)设年该地有户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意得，
∵，∴，
，
解得：.
答：年该地至少有户享受到优先搬迁租房奖励.
点睛：本题主要考查一元二次方程与一元一次不等式的应用，由题意准确抓住相等关系并据此列出方程或不等式是解题的关键．
16. (2018•泸县校级一模)已知：关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0．
(1)不解方程：判断方程的根的情况；
(2)若△ABC为等腰三角形，BC=5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．
【答案】(1) 无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．(2)权13或17．
∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
(2)∵△＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，
∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根．
将x=5代入原方程，得：25﹣20m+4m2﹣1=0，
解得：m1=2，m2=3．
当m=2时，原方程为x2﹣8x+15=0，
解得：x1=3，x2=5，
∵3、5、5能够组成三角形，
∴该三角形的周长为3+5+5=13；
当m=3时，原方程为x2﹣12x+35=0，
解得：x1=5，x2=7，
∵5、5、7能够组成三角形，
∴该三角形的周长为5+5+7=17．
综上所述：此三角形的周长为13或17．
点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：(1)牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；(2)代入x=5求出m值．
17. 在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造.
(1) 原计划是今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化和里程数至少是多少千米？
(2) 到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值.2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1 : 2，且里程数之比为2 : 1，为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入.经测算：从今年6月起至年底，如果政府投入经费在2017年的基础上增加10a%(a>0)，并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值.
【来源】【全国省级联考】2018年重庆市中考数学试卷(A卷)
【答案】(1)40千米；(2)10.

【详解】(1)设道路硬化的里程数是x千米，则由题意得：
x≥4(50-x)，
解不等式得：x≥40，
答：道路硬化的里程数至少是40千米；
(2)由题意得：
2017年：道路硬化经费为：13万/千米，里程为：30km
道路拓宽经费为：26万/千米，里程为：15km
∴今年6月起：
道路硬化经费为：13(1+a%)万/千米，里程数：40(1+5a%)km，
道路拓宽经费为：26(1+5a%)万/千米，里程数：10(1+8a%)km，
又∵政府投入费用为：780(1+10a%)万元，
∴列方程：13(1+a%)×40(1+5a%)+26(1+5a%)×10(1+8a%)=780(1+10a%)，
令a%=t，方程可整理为：
13(1+t)×40(1+5t)+26(1+5t)×10(1+8t)=780(1+10t)，
520(1+t)(1+5t)+260(1+5t)(1+8t)=780(1+10t)，
化简得：，
2(1+t)(1+5t)+(1+5t)(1+8t)=3 (1+10t)，
10-t=0，
t(10t-1)=0，
∴ (舍去)， ，
∴综上所述： a = 10，
答：a的值为10.
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，解决本题的关键是将道路硬化，道路拓宽的里程数及每千米需要的经费求出.
18.(2019•湖北宜昌•10分)HW公司2018年使用自主研发生产的“QL”系列甲、乙、丙三类芯片共2800万块，生产了2800万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多400万块．这些“QL”芯片解决了该公司2018年生产的全部手机所需芯片的10%．
(1)求2018年甲类芯片的产量；
(2)HW公司计划2020年生产的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯片．从2019年起逐年扩大“QL”芯片的产量，2019年、2020年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数m%，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比m%小1，丙类芯片的产量每年按相同的数量递增.2018年到2020年，丙类芯片三年的总产量达到1.44亿块．这样，2020年的HW公司的手机产量比2018年全年的手机产量多10%，求丙类芯片2020年的产量及m的值．
【考点】一元二次方程应用题．
【分析】(1)设2018年甲类芯片的产量为x万块，由题意列出方程，解方程即可；
(2)2018年万块丙类芯片的产量为3x+400＝1600万块，设丙类芯片的产量每年增加的熟练为y万块，则1600+1600+y+1600+2y＝14400，解得：y＝3200，得出丙类芯片2020年的产量为1600+2×3200＝8000万块，2018年HW公司手机产量为2800÷10%＝28000万部，由题意得出400(1+m%)2+2×400(1+m%﹣1)2+8000＝28000×(1+10%)，设m%＝t，化简得：3t2+2t﹣56＝0，解得：t＝4，或t＝﹣(舍去)，即可得出答案．
【解答】解：(1)设2018年甲类芯片的产量为x万块，
由题意得：x+2x+(x+2x)+400＝2800，解得：x＝400，
答：2018年甲类芯片的产量为400万块；
(2)2018年万块丙类芯片的产量为3x+400＝1600万块，
设丙类芯片的产量每年增加的数量为y万块，
则1600+1600+y+1600+2y＝14400，解得：y＝3200，
∴丙类芯片2020年的产量为1600+2×3200＝8000万块，
2018年HW公司手机产量为2800÷10%＝28000万部，
400(1+m%)2+2×400(1+m%－1)2+8000＝28000×(1+10%)，
设m%＝t，化简得：3t2+2t－56＝0，
解得：t＝4，或t＝－(舍去)，
∴t＝4，∴m%＝4，∴m＝400；
答：丙类芯片2020年的产量为8000万块，m＝400．
归纳：利用一元二次方程解决实际应用问题的关键是根据题干寻找等量关系，从而建立方程；解方程时要注意检验方程的根是否符合实际意义．