【期末必备】第十二章 全等三角形(A·基础巩固)-2021-2022学年八年级数学上学期单元测试卷+期末过关卷(人教版)

第十二章全等三角形(A·基础巩固)

班级：姓名：得分：

总分：150分时间：120分钟

一．选择题（共12小题）

1．下列各图形中，不是全等形的是（　　）

A． B． 

C． D．

【解答】解：观察发现，B、C、D选项的两个图形都可以完全重合，

∴是全等图形，

A选项中两组图画不可能完全重合，

∴不是全等形．

故选：A．

2．下列说法正确的是（　　）

A．所有的等边三角形都是全等三角形 

B．全等三角形是指面积相等的三角形 

C．周长相等的三角形是全等三角形 

D．全等三角形是指形状相同大小相等的三角形

【解答】解：A、所有的等边三角形都是全等三角形，错误；

B、全等三角形是指面积相等的三角形，错误；

C、周长相等的三角形是全等三角形，错误；

D、全等三角形是指形状相同大小相等的三角形，正确．

故选：D．

3．如图，AB与CD交于点O，已知△AOD≌△COB，∠A＝40°，∠COB＝115°，则∠B的度数为（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°

【解答】解：∵△AOD≌△COB，

∴∠C＝∠A＝40°，

由三角形内角和定理可知，∠B＝180°﹣∠BOC﹣∠C＝25°，

故选：A．

4．已知△ABC的六个元素如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中与△ABC全等的是（　　）

A．甲、乙 B．乙、丙 C．只有乙 D．只有丙

【解答】解：已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝58°，∠A＝72°，BC＝a，AB＝c，AC＝b，∠C＝58°，

图甲：只有一条边和AB相等，没有其它条件，不符合三角形全等的判定定理，即和△ABC不全等；

图乙：只有两个角对应相等，还有一条边对应相等，符合三角形全等的判定定理（AAS），即和△ABC全等；

图丙：符合SAS定理，能推出两三角形全等；

故选：B．

5．如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（　　）

A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN

【解答】解：A、∠M＝∠N，符合ASA，能判定△ABM≌△CDN，故A选项不符合题意；

B、AB＝CD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN，故B选项不符合题意；

C、根据条件AM＝CN，MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，不能判定△ABM≌△CDN，故C选项符合题意；

D、AM∥CN，得出∠MAB＝∠NCD，符合AAS，能判定△ABM≌△CDN，故D选项不符合题意．

故选：C．

6．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（　　）去．

A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块

【解答】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，

只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．

故选：B．

7．如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线，这条射线就是角的平分线，在这个操作过程中，运用了三角形全等的判定方法是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS

【解答】解：在△ADC和△ABC中，

，

∴△ADC≌△ABC（SSS），

∴∠DAC＝∠BAC，

∴AC就是∠DAB的平分线．

故选：A．

8．如图，点A、D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝10，AC＝7，则CD的长为（　　）

A．5.5 B．4 C．4.5 D．3

【解答】解：∵AB∥EF，

∴∠A＝∠E，

在△ABC和△EFD中，

，

∴△ABC≌△EFD（ASA），

∴AC＝ED＝7，

∴AD＝AE﹣ED＝10﹣7＝3，

∴CD＝AC﹣AD＝7﹣3＝4．

故选：B．

9．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝（　　）

A．30° B．35° C．45° D．60°

【解答】解：作MN⊥AD于N，

∵∠B＝∠C＝90°，

∴AB∥CD，

∴∠DAB＝180°﹣∠ADC＝70°，

∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，

∴MN＝MC，

∵M是BC的中点，

∴MC＝MB，

∴MN＝MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，

∴∠MAB∠DAB＝35°，

故选：B．

10．如图，AB＝AD，AE平分∠BAD，点C在AE上，则图中全等三角形有（　　）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对

【解答】解：∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE＝∠CAE，

在△ABC和△ADC中，

∴△DAC≌△BAC（SAS），

∴BC＝CD；

在△ABE和△ADE中，

∴△DAE≌△BAE（SAS），

∴BE＝ED；

在△BEC和△DEC中，

∴△BEC≌△DEC（SSS），

故选：B．

11．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）

A．一处 B．两处 C．三处 D．四处

【解答】解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，

∴△ABC内角平分线的交点满足条件；

如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，

过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，

∴PE＝PF，PF＝PD，

∴PE＝PF＝PD，

∴点P到△ABC的三边的距离相等，

∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；

综上，到三条公路的距离相等的点有4个，

∴可供选择的地址有4个．

故选：D．

12．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为60和35，则△EDF的面积为（　　）

A．25 B．5.5 C．7.5 D．12.5

【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，

∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，

∴DF＝DH，

在Rt△ADF和Rt△ADH中，，

∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），

∴SRt△ADF＝SRt△ADH，

在Rt△DEF和Rt△DGH中，

∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），

∴SRt△DEF＝SRt△DGH，

∵△ADG和△AED的面积分别为60和35，

∴35+SRt△DEF＝60﹣SRt△DGH，

∴SRt△DEF．

故选：D．

二．填空题（共4小题）

13．已知△ABC≌△DEF，∠A＝60°，∠F＝50°，点B的对应顶点是点E，则∠B的度数是　70°　．

【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝60°，∠F＝50°，

∴∠D＝∠A＝60°，∠C＝∠F＝50°，

∴∠B＝∠E＝70°．

故答案为：70°．

14．如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD，若∠AFD＝145°，则∠EDF＝　55°　．

【解答】解：∵FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，

∴∠BED＝∠FDC＝90°，

∵BE＝CD，BD＝CF，

∴Rt△BED≌Rt△CDF（HL），

∴∠BDE＝∠CFD，

∵∠AFD＝145°，

∴∠DFC＝35°，

∴∠BDE＝35°，

∴∠EDF＝90°﹣35°＝55°，

故答案为55°．

15．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2，则△ABD的面积是　5　．

【解答】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，

∴点D到AB的距离＝CD＝2，

∴△ABD的面积是5×2÷2＝5．

故答案为：5．

16．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝6，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为　18　．

【解答】解：∵AD＝AD，且∠DAB＝90°，

∴将△ACD绕点A逆时针旋转90°，AD与AB重合，得到△ABE．

∴∠ABE＝∠D，AC＝AE．

根据四边形内角和360°，可得∠D+∠ABC＝180°

∴∠ABE+∠ABC＝180°．

∴C、B、E三点共线．

∴△ACE是等腰直角三角形．

∵四边形ABCD面积＝△ACE面积AC262＝18；

故答案为：18．

三．解答题（共20小题）

17．如图所示，△ABE≌△ACD，∠B＝70°，∠AEB＝75°，求∠CAE的度数．

解：∵△ABE≌△ACD，

∴∠C＝∠B＝70°，

∴∠CAE＝∠AEB﹣∠C＝5°．

18．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BC＝BD．

证明：∵∠ABD+∠4＝180°∠ABC+∠3＝180°，且∠3＝∠4，

∴∠ABD＝∠ABC

在△ADB和△ACB中，

，

∴△ADB≌△ACB（ASA），

∴BD＝BC．

19．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠CAE＝∠BAD．

求证：∠B＝∠D．

证明：∵∠CAE＝∠BAD，

∴∠CAE+∠EAB＝∠BAD+∠EAB，

∴∠BAC＝∠DAE，

在△ABC和△ADE中，

，

∴△ABC≌△ADE（SAS），

∴∠B＝∠D．

20．如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．

（1）求证：△ABC≌△DEF；

（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．

（1）证明：∵AB∥DE，

∴∠ABC＝∠DEF，

在△ABC与△DEF中

∴△ABC≌△DEF；

（2）∵△ABC≌△DEF，

∴BC＝EF，

∴BF+FC＝EC+FC，

∴BF＝EC，

∵BE＝10m，BF＝3m，

∴FC＝10﹣3﹣3＝4m．

21．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：

①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；

②沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处；

③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；

④测得DE的长为5米．

求：（1）河的宽度是多少米？

（2）请你证明他们做法的正确性．

（1）解：河的宽度是5m；

（2）证明：由作法知，BC＝DC，∠ABC＝∠EDC＝90°，

在Rt△ABC和Rt△EDC中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA），

∴AB＝ED，

即他们的做法是正确的．

22．如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF＝AC，FD＝CD．求证：

（1）△BFD≌△ACD；

（2）BE⊥AC．

证明：（1）∵AD为△ABC的边BC上的高，

∴△BDF和△ADC为直角三角形．

∴∠BDF＝∠ADC＝90°．

在Rt△BFD和Rt△ACD中，，

∴Rt△△BFD≌Rt△ACD（HL）；

（2）∵△BDF≌△ADC，

∴∠DBF＝∠DAC．

∵∠AFE与∠BFD是对顶角，

∴∠BDF＝∠AEF＝90°，

∴BE⊥AC．

23．如图①，点A，E，F，C在同一条直线上，且AE＝CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝CD．

（1）若EF与BD相交于点G，则EG与FG相等吗？请说明理由；

（2）若将图①中△DEC沿AC移动到如图②所示的位置，其余条件不变，则（1）中的结论是否仍成立？不必说明理由．

解：（1）EG＝FG，理由如下：

∵AE＝CF，

∴AE+EF＝CF+EF，

即AF＝CE，

∵DE⊥AC，BF⊥AC，

∴∠AFB＝∠CED＝90°，

在Rt△ABF和Rt△CDE中，

，

∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），

∴BF＝DE，

在△DEG和△BFG中，

，

∴△DEG≌△BFG（AAS），

∴EG＝FG；

（2）（1）中的结论仍成立，理由如下：

同（1）得：Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），

∴BF＝DE，

在△DEG和△BFG中，

，

∴△DEG≌△BFG（AAS），

∴EG＝FG．

24．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：

（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是　　

A．SSSB．SASC．AASD．HL

（2）求得AD的取值范围是　C　

A．6＜AD＜8     B．6≤AD≤8     C．1＜AD＜7      D．1≤AD≤7

【方法感悟】

解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．

【问题解决】

（3）如图2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE．

（1）解：∵在△ADC和△EDB中，，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

故答案为：B；

（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，

∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，

∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，

∴1＜AD＜7，

故答案为：C．

（3）证明：如图，延长AE到F，使EF＝AE，连接DF，

∵AE是△ABD的中线

∴BE＝ED，

在△ABE与△FDE中，，

∴△ABE≌△FDE（SAS），

∴AB＝DF，∠BAE＝∠EFD，

∵∠ADB是△ADC的外角，

∴∠DAC+∠ACD＝∠ADB＝∠BAD，

∴∠BAE+∠EAD＝∠BAD，∠BAE＝∠EFD，

∴∠EFD+∠EAD＝∠DAC+∠ACD，

∴∠ADF＝∠ADC，

∵AB＝DC，

∴DF＝DC，

在△ADF与△ADC中，，

∴△ADF≌△ADC（SAS）

∴∠C＝∠AFD＝∠BAE．