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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.3 诱导公式第二课时教案及反思
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.3 诱导公式第二课时教案及反思，共8页。教案主要包含了内容和内容解析，教学支持条件分析，目标检测设计等内容，欢迎下载使用。
一、内容和内容解析
1．内容
“诱导公式”包括5组公式，即诱导公式二至六，本单元的知知识结构如下图所示：
本单元分为两课时完成，本节课为第一课时，主要探究诱导公式二、三、四，并围绕圆的对称性提出要研究的相关问题，形成研究的思路．
2．内容解析
我们知道，任意角的三角函数的定义是借助于单位圆得出的，之后又借助于圆的几何性质得出了三角函数的部分性质，即同角三角函数的基本关系．圆有丰富的性质，对称性是圆的重要性质，如果用三角函数表示单位圆上点的坐标，就可将这些对称性表示为三角函数之间的关系，从而得到三角函数的诱导公式．
角的基本构成元素就是顶点、始边、终边，在三角函数这一章的研究中，为了方便，使角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，因此变化的只有角的终边．首先从形的角度，研究圆的对称性，假设任意角的终边与单位圆的交点为，点关于圆心或特殊直线的对称点为，根据单位圆上这两个点的对称性，可以写出以为终边的角与角的关系．接下来从数的角度，利用三角函数的定义，建立对称点坐标之间的关系，得到三角函数之间的关系即诱导公式．
由此可见诱导公式的本质就是圆的对称性的代数表示．对于，还可以从旋转对称的角度认知它们，与从轴对称认知的本质一致，而这样认知与诱导公式一，及后续的两角差的余弦公式的研究就一致了．因此这种变式为后续利用旋转对称性探究两角差的余弦作了铺垫．
可见，本单元是培养学生发现和提出问题、分析和解決问题，发展学生直观想象核心素养的很好的载体．
在数学史上，求三角函数值曾经是一个重要而困难的问题．数学家制作了锐角三角函数值表，并通过公式，将任意角转化为锐角进行计算．现在，我们可以利用计算工具方便地求任意角的三角函数值，所以利用这些公式的“求值”已不是重点，但是研究这些公式时使用的数学思想方法，在解決三角函数的各种问题中却依然有重要作用．在本单元中，利用诱导公式解決问题，重要的是观察计算对象的特征，选择合适的诱导公式，确定恰当的求解路线，并实施计算求解问题．因此本单元是培养学生数学运算核心素养的很好的载体．
因此本单元的教学重点是：利用圆的对称性探究诱导公式，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明．
此外，为了使学生尽快熟悉并形成使用弧度制的习惯，在诱导公式中全部采用了弧度制．
二、目标和目标解析
1．目标
（1）经历诱导公式的探究过程，积累应用类比、转化、数形结合等方法研究三角函数性质的经验，提升直观想象核心素养．
（2）初步应用诱导公式解決问题，积累解题经验，提升数学运算核心素养．
2．目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）在平面直角坐标系中，给出任意角的终边与单位圆的交点，结合单位圆的特殊对称性——关于原点对称和特殊直线对称，学生能分别画出相应的对称点，并利用圆的对称性给出坐标间的关系，利用三角函数的定义，用角表示两个点的坐标，并能求出以为终边的角与角的坐标之间的关系，从而建立三角函数之间的关系，即诱导公式．
（2）学生能利用诱导公式进行化简、计算和证明．特别是在遇到比较复杂的问题时，能根据运算对象的特点，选择合适的公式，确定恰当的求解方案，并能正确求解．在解题的基础上，能概括出利用诱导公式求解的一般程序．
教学问题诊断分析
本单元就单个知识点而言，比较好理解．但是公式比较多，当学生应用和记忆时会出现困难或者混淆．因此本节课的教学难点之一是：诱导公式的有效识记和应用．
为破解这一难点，本节课的教学过程中要充分发挥单位圆的直观作用，提高学生的直观想象核心素养，理解诱导公式的本质：圆的对称性的代数化，三角函数的性质．学生能主动地依托单位圆，想象着它的对称性，就可以准确的记忆诱导公式．对于公式的应用，要提高学生分析问题的能力，即要形成一定的求解程序，提升学生的数学运算素养．
学生在理解诱导公式时，总是有思维定势，以为是锐角，于是导致解题时，通过角所在象限判断诱导公式的符号出错．所以本单元的第二个难点是：诱导公式中角可以是任意角的理解．
为破解这一难点，在推导诱导公式时要充分地应用变式．比如在推导公式二时，点的位置一般选在第一象限，获得公式后，可以变化点的位置，让学生观察：点的位置变化时，点与点的坐标之间的关系．并抽象概括出这两点的坐标之间的关系与点的位置无关．因此公式中的角可以是任意角．在此基础上，配以具体题目，让学生感受这种概括的正确性．
四、教学支持条件分析
本单位可利用作图软件，画图呈现如上所述的对称性，并动态演示当点的位置变化时对称点的坐标与它的坐标之间的关系不变．
教学过程设计
第一课时
（一）创设情境，引出问题
导入语：前面我们学习了三角函数，是借助于单位圆给出的，并根据定义得出了公式一，刻画“周而复始”这种変化规律及其几何意义．之后借助于单位圆的几何特征，获得了同一个角的三个三角函数之间的关系．我们知道，对称性是圆的重要性质，而对称性（如奇偶性）也是函数的重要性质．由此想到，我们可以利用圆的对称性，研究三角函数的性质．
问题1：如图5.3-1，在直角坐标系内，设任意角的终边与单位圆交于点，作关于原点的对称点．
（1）以为终边的角与角有什么关系？
（2）角，的三角函数值之间有什么关系？
师生活动：先由学生独立完成问题1，然后展示，师生帮助一起完善和梳理思路．
如图5.3-2，以为终边的角都是与角终边相同的角，即．因此，只要探究角与的三角函数值之间的关系即可．
设，．因为是点关于原点的对称点，所以．
根据三角函数的定义，得；
．
，
，
．
从而得公式二：
设计意图：初步感受如何将圆的一个特殊的对称性：在坐标系中关于原点对称，代数化，并得到诱导公式二．并以此问题作为研究方法的示范，为进一步提出、分析、解決问题做好奠基工作．
追问1：如果点在第二象限，那么点的坐标与点的坐标之间有什么关系？如果点在轴负半轴上呢？在其他位置呢？据此，公式二中的角的终边可以在什么位置？
师生活动：学生思考后给出解答：不论点在哪里，点的坐标与点的坐标之间的关系都不変，即公式二对任意角都成立．
追问2：探究公式二的过程，可以概括为哪些步骤？每一步蕴含的数学思想是什么？
师生活动：学生思考后给出回答，教师进行归纳：
第一步，根据圆的对称性，建立角之间的联系，从形的角度入手研究．
第二步，建立坐标之间的关系．将形的关系代数化，并从不同的角度进行表示，体现了数形结合的思想方法．
第三步，根据等量代换，得到三角函数之间的关系，即公式二，体现了联系性．
追问3：角还可以看作是角的终边经过怎样的变换得到的？
师生活动：学生思考后给出回答：按逆时针方向旋转角得到的．
设计意图：追问1旨在帮助学生理解角的任意性，追问2旨在提炼方法，追问3则渗透圆的旋转对称性，为后面几个公式的探索在方法上做好铺垫．
（二）类比探索，整体认知
问题2：借助于平面直角坐标系，类比问题1你能说出单位圆上点的哪些特殊对称点？并按照如上问题1总结得到的求解步骤，尝试求出相应的关系式．
师生活动：首先由学生独立思考，尽量多地写出点的对称点，然后展示交流，之后再将之代数化，最后得到相应的诱导公式．学生的回答可能会超越教科书中的研究内容，如果是学生自己想到的，可以顺其自然保留，但是不作进一步的要求．如果学生没有想到，教师不需要增加．学生首先想到的应该是点关于坐标轴的对称点；之后关于特殊直线的对称点，比如；教师启发之后会想到经过两次对称得到的对称点．
学生可能的答案有单位圆上点的特殊对称点：第一类，点关于轴、轴的对称点；第二类，点关于特殊直线的对称点，如，；第三类，点关于轴的对称点，再关于特殊直线的对称点，或者点轴关于特殊直线的对称点，再关于坐标轴的对称点等等．
接下来，针对如上结论，从第一类到第三类依次解決，本课时可以先解決第一类．
如图5.3-3，作关于轴的对称点，以为终边的角都是与角终边相同的角，即．因此，只要探究角与的三角函数值之间的关系即可．
设，因为是点关于轴的对称点，所以．
根据三角函数的定义，得；
．
，
，
．
从而得公式三：
如图5.3-4，作关于轴的对称点，以为终边的角都是与角终边相同的角，即．因此，只要探究角与的三角函数值之间的关系即可．
设，因为是点关于轴的对称点，所以．
根据三角函数的定义，得；
．
，
，
．
从而得公式四：
追问4：公式三和公式四中的角的终边可以在什么位置？
预设答案：角是任意角．
设计意图：类比问题1，进一步探索发现．这是个开放式的问题设计，给了学生自主的时空，鼓励他们多角度观察思考，提出问题，并类比问题1进行分析，解決问题．强化将单位圆的对称性代数化这种研究思路．
（三）初步应用，建立程序
例1 利用公式求下列三角函数值：
（1）°； （2）；
（3）； （4）．
追问5：题目中的角与哪个特殊角接近？拆分之后应该选择哪个诱导公式？
师生活动：学生独立完成之后展示交流，注重展示其思考过程，教师帮助规范求解过程．
设计意图：引导学生有序地思考问题，有理地解決问题．
问题3：由例1，你对公式一～四的作用有什么进一步的认识？你能自己归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？
师生活动：学生独立思考总结，之后展示交流．
利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按如下图步骤进行：
设计意图：引导学生梳理求解过程，提炼解题经验，明确从负角转化为锐角的程序，提高自觉地、理性地选择运算公式的能力，提升数学运算素养．
例2 化简：．
追问6：本题与例1的异同是什么？由例1总结出的求解程序在此如何应用？
师生活动：学生独立完成，之后展示交流，注重展示其思考过程，教师帮助规范求解过程．
设计意图：巩固习题的知识和方法，提高学生分析能力和转化能力．
梳理小结，深化理解
问题4：诱导公式与三角函数和圆之间有怎样的关系？你学到了哪些基本知识，获得了怎样的研究问题的经验？
师生活动：学生自主总结，展示交流．
（1）诱导公式是圆的对称性的代数化，是三角函数的性质．
（2）学到了三组诱导公式，研究方法是数形结合，注重联系．
设计意图：帮助学生梳理基本知识，总结研究方法，为进一步的硏究铺路奠基．
（五）布置作业，深入研究
（1）类比第一类问题的解決，即诱导公式二、三和四的探索发现过程，完成第二类和第三类问题．写出你的研究小报告，报告中先写出问题，再写出答案，并在下节课展示交流．
（2）完成教科书191练习，注重应用总结出来的程序．
六、目标检测设计
计算下列三角函数值：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）．
设计意图：检测学生对基本知识和基本运算及基本技能的掌握情况．
一、内容和内容解析
1．内容
“诱导公式”包括5组公式，即诱导公式二至六，本单元的知知识结构如下图所示：
本单元分为两课时完成，本节课为第一课时，主要探究诱导公式二、三、四，并围绕圆的对称性提出要研究的相关问题，形成研究的思路．
2．内容解析
我们知道，任意角的三角函数的定义是借助于单位圆得出的，之后又借助于圆的几何性质得出了三角函数的部分性质，即同角三角函数的基本关系．圆有丰富的性质，对称性是圆的重要性质，如果用三角函数表示单位圆上点的坐标，就可将这些对称性表示为三角函数之间的关系，从而得到三角函数的诱导公式．
角的基本构成元素就是顶点、始边、终边，在三角函数这一章的研究中，为了方便，使角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，因此变化的只有角的终边．首先从形的角度，研究圆的对称性，假设任意角的终边与单位圆的交点为，点关于圆心或特殊直线的对称点为，根据单位圆上这两个点的对称性，可以写出以为终边的角与角的关系．接下来从数的角度，利用三角函数的定义，建立对称点坐标之间的关系，得到三角函数之间的关系即诱导公式．
由此可见诱导公式的本质就是圆的对称性的代数表示．对于，还可以从旋转对称的角度认知它们，与从轴对称认知的本质一致，而这样认知与诱导公式一，及后续的两角差的余弦公式的研究就一致了．因此这种变式为后续利用旋转对称性探究两角差的余弦作了铺垫．
可见，本单元是培养学生发现和提出问题、分析和解決问题，发展学生直观想象核心素养的很好的载体．
在数学史上，求三角函数值曾经是一个重要而困难的问题．数学家制作了锐角三角函数值表，并通过公式，将任意角转化为锐角进行计算．现在，我们可以利用计算工具方便地求任意角的三角函数值，所以利用这些公式的“求值”已不是重点，但是研究这些公式时使用的数学思想方法，在解決三角函数的各种问题中却依然有重要作用．在本单元中，利用诱导公式解決问题，重要的是观察计算对象的特征，选择合适的诱导公式，确定恰当的求解路线，并实施计算求解问题．因此本单元是培养学生数学运算核心素养的很好的载体．
因此本单元的教学重点是：利用圆的对称性探究诱导公式，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明．
此外，为了使学生尽快熟悉并形成使用弧度制的习惯，在诱导公式中全部采用了弧度制．
二、目标和目标解析
1．目标
（1）经历诱导公式的探究过程，积累应用类比、转化、数形结合等方法研究三角函数性质的经验，提升直观想象核心素养．
（2）初步应用诱导公式解決问题，积累解题经验，提升数学运算核心素养．
2．目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）在平面直角坐标系中，给出任意角的终边与单位圆的交点，结合单位圆的特殊对称性——关于原点对称和特殊直线对称，学生能分别画出相应的对称点，并利用圆的对称性给出坐标间的关系，利用三角函数的定义，用角表示两个点的坐标，并能求出以为终边的角与角的坐标之间的关系，从而建立三角函数之间的关系，即诱导公式．
（2）学生能利用诱导公式进行化简、计算和证明．特别是在遇到比较复杂的问题时，能根据运算对象的特点，选择合适的公式，确定恰当的求解方案，并能正确求解．在解题的基础上，能概括出利用诱导公式求解的一般程序．
教学问题诊断分析
本单元就单个知识点而言，比较好理解．但是公式比较多，当学生应用和记忆时会出现困难或者混淆．因此本节课的教学难点之一是：诱导公式的有效识记和应用．
为破解这一难点，本节课的教学过程中要充分发挥单位圆的直观作用，提高学生的直观想象核心素养，理解诱导公式的本质：圆的对称性的代数化，三角函数的性质．学生能主动地依托单位圆，想象着它的对称性，就可以准确的记忆诱导公式．对于公式的应用，要提高学生分析问题的能力，即要形成一定的求解程序，提升学生的数学运算素养．
学生在理解诱导公式时，总是有思维定势，以为是锐角，于是导致解题时，通过角所在象限判断诱导公式的符号出错．所以本单元的第二个难点是：诱导公式中角可以是任意角的理解．
为破解这一难点，在推导诱导公式时要充分地应用变式．比如在推导公式二时，点的位置一般选在第一象限，获得公式后，可以变化点的位置，让学生观察：点的位置变化时，点与点的坐标之间的关系．并抽象概括出这两点的坐标之间的关系与点的位置无关．因此公式中的角可以是任意角．在此基础上，配以具体题目，让学生感受这种概括的正确性．
四、教学支持条件分析
本单位可利用作图软件，画图呈现如上所述的对称性，并动态演示当点的位置变化时对称点的坐标与它的坐标之间的关系不变．
教学过程设计
第一课时
（一）创设情境，引出问题
导入语：前面我们学习了三角函数，是借助于单位圆给出的，并根据定义得出了公式一，刻画“周而复始”这种変化规律及其几何意义．之后借助于单位圆的几何特征，获得了同一个角的三个三角函数之间的关系．我们知道，对称性是圆的重要性质，而对称性（如奇偶性）也是函数的重要性质．由此想到，我们可以利用圆的对称性，研究三角函数的性质．
问题1：如图5.3-1，在直角坐标系内，设任意角的终边与单位圆交于点，作关于原点的对称点．
（1）以为终边的角与角有什么关系？
（2）角，的三角函数值之间有什么关系？
师生活动：先由学生独立完成问题1，然后展示，师生帮助一起完善和梳理思路．
如图5.3-2，以为终边的角都是与角终边相同的角，即．因此，只要探究角与的三角函数值之间的关系即可．
设，．因为是点关于原点的对称点，所以．
根据三角函数的定义，得；
．
，
，
．
从而得公式二：
设计意图：初步感受如何将圆的一个特殊的对称性：在坐标系中关于原点对称，代数化，并得到诱导公式二．并以此问题作为研究方法的示范，为进一步提出、分析、解決问题做好奠基工作．
追问1：如果点在第二象限，那么点的坐标与点的坐标之间有什么关系？如果点在轴负半轴上呢？在其他位置呢？据此，公式二中的角的终边可以在什么位置？
师生活动：学生思考后给出解答：不论点在哪里，点的坐标与点的坐标之间的关系都不変，即公式二对任意角都成立．
追问2：探究公式二的过程，可以概括为哪些步骤？每一步蕴含的数学思想是什么？
师生活动：学生思考后给出回答，教师进行归纳：
第一步，根据圆的对称性，建立角之间的联系，从形的角度入手研究．
第二步，建立坐标之间的关系．将形的关系代数化，并从不同的角度进行表示，体现了数形结合的思想方法．
第三步，根据等量代换，得到三角函数之间的关系，即公式二，体现了联系性．
追问3：角还可以看作是角的终边经过怎样的变换得到的？
师生活动：学生思考后给出回答：按逆时针方向旋转角得到的．
设计意图：追问1旨在帮助学生理解角的任意性，追问2旨在提炼方法，追问3则渗透圆的旋转对称性，为后面几个公式的探索在方法上做好铺垫．
（二）类比探索，整体认知
问题2：借助于平面直角坐标系，类比问题1你能说出单位圆上点的哪些特殊对称点？并按照如上问题1总结得到的求解步骤，尝试求出相应的关系式．
师生活动：首先由学生独立思考，尽量多地写出点的对称点，然后展示交流，之后再将之代数化，最后得到相应的诱导公式．学生的回答可能会超越教科书中的研究内容，如果是学生自己想到的，可以顺其自然保留，但是不作进一步的要求．如果学生没有想到，教师不需要增加．学生首先想到的应该是点关于坐标轴的对称点；之后关于特殊直线的对称点，比如；教师启发之后会想到经过两次对称得到的对称点．
学生可能的答案有单位圆上点的特殊对称点：第一类，点关于轴、轴的对称点；第二类，点关于特殊直线的对称点，如，；第三类，点关于轴的对称点，再关于特殊直线的对称点，或者点轴关于特殊直线的对称点，再关于坐标轴的对称点等等．
接下来，针对如上结论，从第一类到第三类依次解決，本课时可以先解決第一类．
如图5.3-3，作关于轴的对称点，以为终边的角都是与角终边相同的角，即．因此，只要探究角与的三角函数值之间的关系即可．
设，因为是点关于轴的对称点，所以．
根据三角函数的定义，得；
．
，
，
．
从而得公式三：
如图5.3-4，作关于轴的对称点，以为终边的角都是与角终边相同的角，即．因此，只要探究角与的三角函数值之间的关系即可．
设，因为是点关于轴的对称点，所以．
根据三角函数的定义，得；
．
，
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．
从而得公式四：
追问4：公式三和公式四中的角的终边可以在什么位置？
预设答案：角是任意角．
设计意图：类比问题1，进一步探索发现．这是个开放式的问题设计，给了学生自主的时空，鼓励他们多角度观察思考，提出问题，并类比问题1进行分析，解決问题．强化将单位圆的对称性代数化这种研究思路．
（三）初步应用，建立程序
例1 利用公式求下列三角函数值：
（1）°； （2）；
（3）； （4）．
追问5：题目中的角与哪个特殊角接近？拆分之后应该选择哪个诱导公式？
师生活动：学生独立完成之后展示交流，注重展示其思考过程，教师帮助规范求解过程．
设计意图：引导学生有序地思考问题，有理地解決问题．
问题3：由例1，你对公式一～四的作用有什么进一步的认识？你能自己归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？
师生活动：学生独立思考总结，之后展示交流．
利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按如下图步骤进行：
设计意图：引导学生梳理求解过程，提炼解题经验，明确从负角转化为锐角的程序，提高自觉地、理性地选择运算公式的能力，提升数学运算素养．
例2 化简：．
追问6：本题与例1的异同是什么？由例1总结出的求解程序在此如何应用？
师生活动：学生独立完成，之后展示交流，注重展示其思考过程，教师帮助规范求解过程．
设计意图：巩固习题的知识和方法，提高学生分析能力和转化能力．
梳理小结，深化理解
问题4：诱导公式与三角函数和圆之间有怎样的关系？你学到了哪些基本知识，获得了怎样的研究问题的经验？
师生活动：学生自主总结，展示交流．
（1）诱导公式是圆的对称性的代数化，是三角函数的性质．
（2）学到了三组诱导公式，研究方法是数形结合，注重联系．
设计意图：帮助学生梳理基本知识，总结研究方法，为进一步的硏究铺路奠基．
（五）布置作业，深入研究
（1）类比第一类问题的解決，即诱导公式二、三和四的探索发现过程，完成第二类和第三类问题．写出你的研究小报告，报告中先写出问题，再写出答案，并在下节课展示交流．
（2）完成教科书191练习，注重应用总结出来的程序．
六、目标检测设计
计算下列三角函数值：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）．
设计意图：检测学生对基本知识和基本运算及基本技能的掌握情况．
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