人教版新课标B选修2-31.3.2杨辉三角教案

1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质

课标要求：

知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。

过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。

情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。

教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题

教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题

授课类型：新授课

课时安排：2课时

教    具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1．二项式定理及其特例：

（1），

（2）.

2．二项展开式的通项公式：

3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性

二、讲解新课：

1二项式系数表（杨辉三角）

展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和

2．二项式系数的性质：

展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数

定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）

（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）．

直线是图象的对称轴．

（2）增减性与最大值．∵，

∴相对于的增减情况由决定，，

当时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；

当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值．

（3）各二项式系数和：

∵，

令，则

三、讲解范例：

例1．在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和

证明：在展开式中，令，则，

即，

∴，

即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．

说明：由性质（3）及例1知.

例2．已知，求：

（1）；   （2）；  （3）.

解：（1）当时，，展开式右边为

∴，

当时，，∴，

（2）令，       ① 

令，     ②

①② 得：，∴ .

（3）由展开式知：均为负，均为正，

∴由（2）中①+② 得：，

∴ ，

∴

例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数

解：

=，

∴原式中实为这分子中的，则所求系数为

例4.在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数

解：∵

∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为，

在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为 

∴展开式中含x的项为 ，

∴此展开式中x的系数为240

例5.已知的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项

解：依题意

    ∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10

设第r+1项为常数项，又

令，

此所求常数项为180

例6． 设，

当时，求的值

解：令得：

，

∴，

点评：对于，令即可得各项系数的和的值；令即，可得奇数项系数和与偶数项和的关系

例7．求证：．

证（法一）倒序相加：设       ①

又∵　　　②

∵，∴，   

由①+②得：，

∴，即．

（法二）：左边各组合数的通项为

，

∴ ．

例8．在的展开式中,求:

①二项式系数的和;　

②各项系数的和;　

③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;　

④奇数项系数和与偶数项系数和;　

⑤的奇次项系数和与的偶次项系数和.

分析:因为二项式系数特指组合数,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式中的系数无关.

解：设(*),

各项系数和即为,奇数项系数和为,偶数项系数和为,的奇次项系数和为,的偶次项系数和.

由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.

①二项式系数和为.

②令,各项系数和为.

③奇数项的二项式系数和为,

偶数项的二项式系数和为.

④设,

令,得到…(1),

令,(或,)得…(2)

(1)+(2)得,

∴奇数项的系数和为;

(1)-(2)得,

∴偶数项的系数和为.

⑤的奇次项系数和为;

的偶次项系数和为.

点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.

例9．已知的展开式的系数和比的展开式的系数和大992,求的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.

解：由题意,解得.

①的展开式中第6项的二项式系数最大,

即.

②设第项的系数的绝对值最大,

则

∴,得,即

   ∴,∴,故系数的绝对值最大的是第4项

例10．已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大．

（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项

解：令，则展开式中各项系数和为，

又展开式中二项式系数和为，

∴，．

（1）∵，展开式共项，二项式系数最大的项为第三、四两项，

∴，，

（2）设展开式中第项系数最大，则，

∴，∴，

即展开式中第项系数最大，．

例11．已知，

求证：当为偶数时，能被整除

分析：由二项式定理的逆用化简，再把变形，化为含有因数的多项式

 ∵，

∴，∵为偶数，∴设（），

∴

            （） ，

当=时，显然能被整除，

当时，（）式能被整除，

所以，当为偶数时，能被整除

三、课堂练习：

1．展开式中的系数为   ，各项系数之和为     ．

2．多项式（）的展开式中，的系数为  

3．若二项式（）的展开式中含有常数项，则的最小值为（ ）

 A.4               B.5              C.6             D.8

4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应   （ ）

 A.低于5％             B.在5％～6％之间    

C.在6％～8％之间      D.在8％以上

5．在的展开式中，奇数项之和为，偶数项之和为，则等于（ ）

A.0       B.         C.       D.

6．求和：．

7．求证：当且时，．

8．求的展开式中系数最大的项  

答案：1. 45, 0    2.  0  ．提示：

3. B    4. C   5. D   6.

7. (略)      8.

四、小结 ：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用  

五、课后作业：P36 习题1.3A组5. 6. 7.8   B组1. 2

1．已知展开式中的各项系数的和等于的展开式的常数项，而 展开式的系数的最大的项等于，求的值

答案：

2．设

求：①    ②．

答案：①；  ②

3．求值：．

答案：

4．设，试求的展开式中：

（1）所有项的系数和；

（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和

答案：（1）；  

（2）所有偶次项的系数和为；

所有奇次项的系数和为

六、板书设计（略）

七、教学反思：

二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。

二项式定理概念的引入，我们已经学过(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，那么对一般情况；(a+b)n展开后应有什么规律，这里n∈N，这就是我们这节课“二项式定理”要研究的内容.

选择实验归纳的研究方式，对(a+b)n一般形式的研究与求数列{an}的通项公式有些类似，大家想想，求an时我们用了什么方法，学生：先写出前n项，再观察规律，猜测其表达式，最后用数学归纳法证明，老师：大家说得很正确，现在我们用同样的方式来研究(a+b)4的展开，因(a+b)4=(a+b)3(a+b)，我们可以用(a+b)3展开的结论计算(a+b)4(由学生板演完成，体会计算规律)然后老师把计算过程总结为如下形式：

(a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+3a3b2+ab3+3a2b2+3ab3+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

对计算的化算：对(a+b)n展开式中的项，字母指数的变化规律是十分明显的，大家能说出它们的规律吗？学生：a的指数从n逐次降到0，b的指数从0逐次升到n，老师：大家说的很对，这样一来展开式的项数就是从0到n的(n+1) 项了，但唯独系数规律还是“犹抱琵琶半遮面”使我们难以发现，但我们仍可用来表示，它这样一来(a+b)n的展开形式就可写成(a+b)n=现在的问题就是要找的表达形式.为此我们要采用抽象分析法来化简计算

2007年高考题

1．（2007年江苏卷）若对于任意实数，有，则的值为（B）

A．                B．                C．            D．

2．（2007年湖北卷）如果 的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为

A.3              B.5             C.6              D.10

【答案】：B.

【分析】：，

，（）。.

【高考考点】：本题主要考查二项式定理的有关知识和整除的知识,以及分析问题和解决问题的能力.

【易错点】：注意二项式定理的通项公式中项数与r的关系。

【高学科网备考提示】：二项式定理是高考的常考内容，有时单独命题，有时与其它分支的知识相综合。

3．（2007年江西卷）已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则等于（　C　）

Ａ．   Ｂ．   Ｃ．   Ｄ．

4．（2007年全国卷I）的展开式中，常数项为，则（  D  ）

A．  B．  C．  D．

5．（2007年全国卷Ⅱ）的展开式中常数项为  ．（用数字作答）

6．（2007年天津卷）若的二项展开式中的系数为，则　2　（用数字作答）．

7．（2007年重庆卷）若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ B ）

A10      B.20      C.30       D.120

8．（2007年安徽卷）若(2x3+)a的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于    7     .
9．（2007年湖南卷）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第次全行的数都为1的是第        行；第61行中1的个数是   32    ．

第1行　　　　　 1    1

第2行         1   0   1

第3行       1   1   1   1

第4行     1   0   0   0   1

第5行   1   1   0   0   1   1

……   ………………………………………

          图1