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高中数学人教版新课标A选修4-1四 直角三角形的射影定理课堂教学课件ppt
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这是一份高中数学人教版新课标A选修4-1四 直角三角形的射影定理课堂教学课件ppt，共29页。
理解射影定理，能应用射影定理解决简单几何问题．
1．所谓射影，就是正射影．其中，从一点向一条直线所引垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的_________．一条线段的两个端点在一条直线上的正射影间的线段，叫做这条线段在直线上的__________．2．射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的__________；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的__________．
1．正射影 正射影2．比例中项 比例中项
如图所示，AD⊥BC，EF⊥BC，指出点A、B、C、D、E、F、G和线段AB、AC、AF、FG在直线BC上的射影．解析：由AD⊥BC，EF⊥BC可知：A在BC上的射影是点D；B在BC上的射影是点B，点C在BC上的射影是点C，点D在BC上的射影是点D，点E、F、G在BC上的射影都是点E；AB在BC上的射影是DB，AC在BC上的射影是DC，AF在BC上的射影是DE，FG在BC上的射影是点E.
如图所示，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°, CD⊥AB于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F.求证：AE·BF·AB＝CD3.分析：分别在Rt△ABC、Rt△ADC、Rt△BDC中运用射影定理，再将线段进行代换，就可以实现等积式的证明．
证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴CD2＝AD·BD，∴CD4＝AD2·BD2.又∵在Rt△ADC中，DE⊥AC，在Rt△BDC中，DF⊥BC，∴AD2＝AE·AC，BD2＝BF·BC.∴CD4＝AE·BF·AC·BC.又∵AC·BC＝AB·CD，∴CD4＝AE·BF·AB·CD.∴AE·BF·AB＝CD3.
如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝7.85，斜边上的高CD＝5.67，解这个直角三角形(边长保留3个有效数字，角度精确到1′)．
1．下列命题正确的是( )A．所有的直角三角形都相似B．所有的等腰三角形都相似C．所有的等腰直角三角形都相似D．所有的有一个角为30°的等腰三角形都相似
2.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC,∠ADE= ∠CDE,则∠EDB=（C）
A .22.5 ° B .30 °C .45 ° D .60 °
7．如图所示，四边形ABCD是矩形，∠BEF＝90°，①②③④这四个三角形能相似的是__________．8．在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于点D，AD＝27，BD＝3，则AC＝______，BC＝______，CD＝______.
9．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，M是BC的中点，DE⊥AM，E是垂足．求证：DE＝
10．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB上的高，已知BD＝4，AB＝29，试求出图中其他未知线段的长．
解析：因为BD＝4，AB＝29，由直角三角形的射影定理有BC2＝BD·AB＝4×29，即BC＝2 .AD＝AB－BD＝29－4＝25.AC2＝AD·AB＝25×29，AC＝5 .CD2＝BD·AD＝4×25，CD＝10.答案：AD＝25，BC＝2 ，AC＝5 ，CD＝10.
11.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，DE是在Rt△BCD斜边BC上的高，若BE=6，CE=2,求AD的长.解析：∵CD⊥AB，∴△BCD为Rt△，即∠CDB=90°，∵DE⊥BC.由射影定理可知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，由射影定理可得： =AD·BD，
12．一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5 m，面积为1.5 m2，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲、乙两位同学设计的加工方法分别如图1、2所示．那么哪位同学设计的加工方法符合要求？说说你的理由．(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留)
解析：由AB＝1.5 m，S△ABC＝1.5 m2，得BC＝2 m.如图1所示，若设甲设计的桌面边长为x m，由DE∥AB，推出Rt△CDE∽Rt△CBA，
13．如图所示，已知BD、CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于点G、H，交CE于点F，且∠H＝∠BCF.求证：GD2＝GF·GH.
证明：∵∠H＝∠BCE，CE⊥BH，∴△BCE∽△BHG.∴∠BEC＝∠BGH＝90°，∴HG⊥BC.∵BD⊥AC，在Rt△BCD中，由射影定理得，GD2＝BG·CG. ①∵∠H＝∠BCF，∠GFC＝∠EFH，∴△FCG∽△FHE，∴∠FGC＝∠FEH，∴∠FGC＝∠BGH＝90°，∴△FCG∽△BHG，∴ ＝ ，∴BG·CG＝GH·FG. ②由①②，得GD2＝GH·FG.
△ACD∽△CBD，有AD∶CD＝CD∶BD，转化为等积式，即CD2＝AD·BD；△ACD∽△ABC，有AC∶AB＝AD∶AC，转化为等积式，即AC2＝AB·AD；△BCD∽△BAC，有BC∶BA＝BD∶BC，转化为等积式，即BC2＝BA·BD.
直角三角形的射影定理常作为工具用于证明和求值．如图三个直角三角形具有相似关系，于是Rt△ABC的各条线段之间存在着比例关系．
理解射影定理，能应用射影定理解决简单几何问题．
1．所谓射影，就是正射影．其中，从一点向一条直线所引垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的_________．一条线段的两个端点在一条直线上的正射影间的线段，叫做这条线段在直线上的__________．2．射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的__________；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的__________．
1．正射影 正射影2．比例中项 比例中项
如图所示，AD⊥BC，EF⊥BC，指出点A、B、C、D、E、F、G和线段AB、AC、AF、FG在直线BC上的射影．解析：由AD⊥BC，EF⊥BC可知：A在BC上的射影是点D；B在BC上的射影是点B，点C在BC上的射影是点C，点D在BC上的射影是点D，点E、F、G在BC上的射影都是点E；AB在BC上的射影是DB，AC在BC上的射影是DC，AF在BC上的射影是DE，FG在BC上的射影是点E.
如图所示，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°, CD⊥AB于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F.求证：AE·BF·AB＝CD3.分析：分别在Rt△ABC、Rt△ADC、Rt△BDC中运用射影定理，再将线段进行代换，就可以实现等积式的证明．
证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴CD2＝AD·BD，∴CD4＝AD2·BD2.又∵在Rt△ADC中，DE⊥AC，在Rt△BDC中，DF⊥BC，∴AD2＝AE·AC，BD2＝BF·BC.∴CD4＝AE·BF·AC·BC.又∵AC·BC＝AB·CD，∴CD4＝AE·BF·AB·CD.∴AE·BF·AB＝CD3.
如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝7.85，斜边上的高CD＝5.67，解这个直角三角形(边长保留3个有效数字，角度精确到1′)．
1．下列命题正确的是( )A．所有的直角三角形都相似B．所有的等腰三角形都相似C．所有的等腰直角三角形都相似D．所有的有一个角为30°的等腰三角形都相似
2.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC,∠ADE= ∠CDE,则∠EDB=（C）
A .22.5 ° B .30 °C .45 ° D .60 °
7．如图所示，四边形ABCD是矩形，∠BEF＝90°，①②③④这四个三角形能相似的是__________．8．在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于点D，AD＝27，BD＝3，则AC＝______，BC＝______，CD＝______.
9．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，M是BC的中点，DE⊥AM，E是垂足．求证：DE＝
10．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB上的高，已知BD＝4，AB＝29，试求出图中其他未知线段的长．
解析：因为BD＝4，AB＝29，由直角三角形的射影定理有BC2＝BD·AB＝4×29，即BC＝2 .AD＝AB－BD＝29－4＝25.AC2＝AD·AB＝25×29，AC＝5 .CD2＝BD·AD＝4×25，CD＝10.答案：AD＝25，BC＝2 ，AC＝5 ，CD＝10.
11.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，DE是在Rt△BCD斜边BC上的高，若BE=6，CE=2,求AD的长.解析：∵CD⊥AB，∴△BCD为Rt△，即∠CDB=90°，∵DE⊥BC.由射影定理可知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，由射影定理可得： =AD·BD，
12．一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5 m，面积为1.5 m2，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲、乙两位同学设计的加工方法分别如图1、2所示．那么哪位同学设计的加工方法符合要求？说说你的理由．(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留)
解析：由AB＝1.5 m，S△ABC＝1.5 m2，得BC＝2 m.如图1所示，若设甲设计的桌面边长为x m，由DE∥AB，推出Rt△CDE∽Rt△CBA，
13．如图所示，已知BD、CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于点G、H，交CE于点F，且∠H＝∠BCF.求证：GD2＝GF·GH.
证明：∵∠H＝∠BCE，CE⊥BH，∴△BCE∽△BHG.∴∠BEC＝∠BGH＝90°，∴HG⊥BC.∵BD⊥AC，在Rt△BCD中，由射影定理得，GD2＝BG·CG. ①∵∠H＝∠BCF，∠GFC＝∠EFH，∴△FCG∽△FHE，∴∠FGC＝∠FEH，∴∠FGC＝∠BGH＝90°，∴△FCG∽△BHG，∴ ＝ ，∴BG·CG＝GH·FG. ②由①②，得GD2＝GH·FG.
△ACD∽△CBD，有AD∶CD＝CD∶BD，转化为等积式，即CD2＝AD·BD；△ACD∽△ABC，有AC∶AB＝AD∶AC，转化为等积式，即AC2＝AB·AD；△BCD∽△BAC，有BC∶BA＝BD∶BC，转化为等积式，即BC2＝BA·BD.
直角三角形的射影定理常作为工具用于证明和求值．如图三个直角三角形具有相似关系，于是Rt△ABC的各条线段之间存在着比例关系．
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