高中一 圆周角定理导学案

这是一份高中一 圆周角定理导学案，共5页。
考查圆的切线定理和性质定理的应用．
基础知识
1．圆周角定理
(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角．
(2)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半．
(3)圆周角定理的推论
①同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
②半圆(或直径)所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径．
2．圆的切线
(1)直线与圆的位置关系
(2)切线的性质及判定
①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
②切线的判定定理
过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线．
(3)切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线长相等．
3．弦切角
(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角．
(2)弦切角定理及推论
①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．
②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等．
题型一 圆周角的计算与证明
【例1】如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD交于点P，若AB＝3，CD＝1，则sin∠APB＝________.
解析 连接AD，BC.因为AB是圆O
的直径，所以∠ADB＝∠ACB＝90°.
又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD中，由正弦定理得：eq \f(CD,sin∠DAC)＝eq \f(AD,sin∠ACD)＝eq \f(AD,sin∠ABD)＝eq \f(ABsin∠ABD,sin∠ABD)＝AB＝3，又CD＝1，所以sin∠DAC＝sin∠DAP＝eq \f(1,3)，所以cs∠DAP＝eq \f(2,3)eq \r(2).
又sin∠APB＝sin (90°＋∠DAP)＝cs∠DAP＝eq \f(2,3)eq \r(2).
答案 eq \f(2,3)eq \r(2)
【变式1】 如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于________．
解析 连接AO，OB.因为∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝OA＝AB＝4，圆O的面积S＝πr2＝16π.
答案 16π
题型二 弦切角定理及推论的应用
【例2】如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，则EF的长为________．

解析 ∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.
又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，
∴△EAB∽△ABC，∴eq \f(BE,AC)＝eq \f(AB,BC).
又AE∥BC，∴eq \f(EF,AF)＝eq \f(BE,AC)，∴eq \f(AB,BC)＝eq \f(EF,AF).
又AD∥BC，∴eq \x\t(AB)＝eq \x\t(CD)，
∴AB＝CD，∴eq \f(CD,BC)＝eq \f(EF,AF)，∴eq \f(5,8)＝eq \f(EF,6)，
∴EF＝eq \f(30,8)＝eq \f(15,4).
答案 eq \f(15,4)
【变式2】如图，已知圆上的弧eq \x\t(AC)＝eq \x\t(BD)，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：

(1)∠ACE＝∠BCD；
(2)BC2＝BE×CD.
证明 (1)因为eq \x\t(AC)＝eq \x\t(BD)，
所以∠BCD＝∠ABC.
又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，
所以∠ACE＝∠BCD.
(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，
所以△BDC∽△ECB，故eq \f(BC,BE)＝eq \f(CD,BC)，
即BC2＝BE×CD.
巩固提高
1．如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，则BP长为________．
解析 连接CP.由推论2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定理知，AC2＝
AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.
答案 6.4
2．如图所示，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧eq \x\t(BC)上的点，已知∠BAC＝80°， 那么∠BDC＝________.
解析 连接OB、OC，则OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°，
∴∠BDC＝eq \f(1,2)∠BOC＝50°.
答案 50°
3．如图所示，CD是圆O的切线，切点为C，点A、B在圆O上，BC＝1，∠BCD＝30°，则圆O的面积为________．

解析 连接OC，OB，依题意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝60°，又OB＝OC，
因此△BOC是等边三角形，
OB＝OC＝BC＝1，即圆O的半径为1，
所以圆O的面积为π×12＝π.
答案 π
如图，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC为直径的圆交AC边于点D，AD＝2，则∠C的大小为________．

解析 连接BD，则有∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝2，所以∠A＝60°；在Rt△ABC中，∠A＝60°，于是有∠C＝30°.
答案 30°
5．如图，MN是圆O的直径，MN的延长线与圆O上过点P的切线PA相交于点A，若∠M＝30°，AP＝2eq \r(3)，则圆 O的直径为________．

解析 连接OP，因为∠M＝30°，所以∠AOP＝60°，因为PA切圆O于P，所以OP⊥AP，在Rt△ADO中，OP＝eq \f(AP,tan ∠AOP)＝eq \f(2\r(3),tan 60°)＝2，故圆O的直径为4.
答案 4

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直线与圆交点的个数
直线到圆心的距离d与圆的半径r的关系
相交
两个
d＜r
相切
一个
d＝r
相离
无
d＞r