数学选修4-1二 圆内接四边形的性质与判定定理多媒体教学课件ppt

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1．理解圆内接四边形的性质定理1和性质定理2.2．理解圆内接四边形判定定理及其推论．3．理解圆内接四边形判定定理及其推论.4．能用定理和推论解决相关的几何问题.
1．在圆内接四边形的性质定理1：圆内接四边形的对角________．圆内接四边形性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的______．2．圆内接四边形的判定定理(1)定理：如果一个四边形的对角________，那么这个四边形的四个顶点共圆．(2)符号语言表述：在四边形ABCD中，如果∠B＋∠D＝180°或∠A＋∠C＝180°，那么四边形ABCD内接于圆．3．判定定理的推论如果四边形的一个外角等于它的内角的________，那么这个四边形的四个顶点共圆．
1．互补　对角　2.(1)互补　3.对角
在圆内接四边形ABCD中，已知∠A、∠B、∠C的度数比为4∶3∶5，求四边形各角的度数．解析：设∠A、∠B、∠C的度数分别为4x、3x、5x，则由∠A＋∠C＝180°，可得4x＋5x＝180°，∴x＝20°.∴∠A＝4×20°＝80°，∠B＝3×20°＝60°，∠C＝5×20°＝100°，∠D＝180°－∠B＝120°.
　如图所示，已知⊙O的内接四边形ABCD，AB和DC的延长线交于点P，AD和BC的延长线交于点Q，如果∠A＝50°，∠P＝30°，求∠Q的度数．解析：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠QCD＝∠A＝50°又∠P＝30°∴∠CDQ＝∠P＋∠A＝80°.∴∠Q＝180°－80°－50°＝50°.
　 如图所示，已知四边形ABCD为平行四边形，过点A和点B的圆与AD、BC分别交于E、F，求证：C、D、E、F四点共圆．分析：连接EF，由∠B＋∠AEF＝180°，∠B＋∠C＝180°，可得∠AEF＝∠C.
证明：如图，连接EF，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B＋∠C＝180°.∵四边形ABFE内接于圆，∴∠B＋∠AEF＝180°，∴∠AEF＝∠C，∴点C、D、E、F四点共圆．
1．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中，正确的个数有(　　)①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°；②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形；③∠A的外角与∠C的外角互补；④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4.A．1个　　　　　　　　　B．2个C．3个 D．4个2．圆内接平行四边形一定是(　　)A．正方形 B．菱形C．等腰梯形 D．矩形
3．判断下列各命题是否正确．(1)任意三角形都有一个外接圆，但可能不只一个．(2)矩形有唯一的外接圆．(3)菱形有外接圆．(4)正多边形有外接圆．
解析：(1)错误，任意三角形有唯一的外接圆；(2)正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；(3)错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4)正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等．
4．如图所示，PA为⊙O直径，PC为⊙O的弦，过 的中点H作PC的垂线交PC的延长线于点B.若HB＝6，BC＝4，则⊙O的直径为(　　)A．10 B．13C．15 D．20
5．在圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是(　　)A．4∶2∶3∶1 B．4∶3∶1∶2C．4∶1∶3∶2 D．以上都不对6．若△ABC与△BDC同时内接于圆O，则圆心O是这两个三角形的(　　)A．重心 B．垂心C．外心 D．重心和垂心
7．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于(　　)A．20° B．40°C．80° D．100°
8．如图所示，四边形ABCD为⊙O内接四边形，已知∠BOD＝60°，则∠BAD＝________，∠BCD＝________.
30° 　150°
9．如图，⊙O的内接四边形BCED，延长ED,CB交于点A，若BD⊥AE,AB=4,BC=2,AD=3.则DE=________CE=________．
12．已知：如图所示，在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于点F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于点G.(1)求证：D、E、F、G四点共圆.(2)求证：G、B、C、F四点共圆．
证明：(1)连接GF，由DF⊥AB，EG⊥AC，知∠GDF＝∠GEF＝90°，∴GF中点到D、E、F、G四点距离相等．∴D、E、F、G四点共圆(2)连接DE.由AD＝DB，AE＝EC，知DE∥BC，∴∠ADE＝∠B.又由(1)中D、E、F、G四点共圆，∴∠ADE＝∠GFE，∴∠GFE＝∠B，∴点G、B、C、F四点共圆．
13．如图所示，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相交于点E，EG平分∠BEC，且与BC、AD分别相交于点F、G.求证：∠CFG＝∠DGF.
分析：已知四边形ABCD内接于圆，自然想到圆内接四边形的性质定理，即∠BCE＝∠BAD，又EG平分∠BEC，故△CFE∽△AGE.下边易证∠CFG＝∠DGF.证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ECF＝∠EAG.又∵EG平分∠BEC，即∠CEF＝∠AEG，∴△EFC∽△EGA.∴∠EFC＝∠EGA.而∠EGD＝180°－∠EGA，∠CFG＝180°－∠EFC，∴∠CFG＝∠DGF
1．判定四点共圆的方法(1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆．(2)如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．(4)如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆(因为四个顶点与斜边中点距离相等)．
2．圆内接四边形判定定理的推论的证明． 已知：如图所示，四边形ABCD， 延长AB到E，∠EBC＝∠CDA. 求证：A、B、C、D四点共圆． 证明：因为∠EBC＝∠CDA，且∠EBC＋∠ABC＝180°， 所以∠CDA＋∠ABC＝180°. 由圆内接四边形的判定定理知A、B、C、D四点共圆．
3.圆内接四边形判定定理的证明，推导出与圆内接四边形性质定理相矛盾的结果，体现了用反证法证明几何命题的基本思路.反证法是证明问题的有效方法.反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后从这个假设出发，经过正确的推理，导出与题设或定理或公理矛盾，从而证明原命题正确的方法.