数学选修2-32.1离散型随机变量及其分布列课后测评

第6讲  离散型随机变量及其分布列

随堂演练巩固

1.抛掷两颗骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验的结果是(    )

A.两颗都是4点

B.两颗都是2点

C.一颗是1点,另一颗是3点

D.一颗是1点,另一颗是3点,或者两颗都是2点

【答案】D

【解析】 由于抛掷一颗骰子,可能出现的点数是1,2,3,4,5,6这6种情况之一,而X表示抛掷两颗骰子所得点数之和,所以X=4=1+3=2+2,表示的随机试验结果是:一颗是1点,另一颗是3点,或者两颗都是2点.

2.设随机变量X的概率分布如下表所示:

当x的取值范围是[1,2)时,F(x)等于(    )

A.         B.        C.           D.

【答案】 D

【解析】 ∵

∴.∵

∴.

3.随机变量的分布列为

则常数a=          .

【答案】 0.6

【解析】 由题意

∴a=0.6.

课后作业夯基

基础巩固

1.①某座大桥一天经过的车辆数为;②某无线寻呼台一天内收到寻呼的次数为;③一天之内的温度为;④一射手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,用表示该射手在一次射击中的得分.

上述各题中的是离散型随机变量的是(    )

A.①②③④ B.①②④

C.①③④ D.②③④

【答案】 B

【解析】 ③一天之内的温度是连续变化的,不能一一列举出来,故不是离散型随机变量.

2.下面表中列出的是某随机变量的分布列的有(    )

A.1个         B.2个         C.3个           D.4个

【答案】 A

【解析】 ①是某随机变量的分布列.

②不是.因为P(X=5)=-0.1<0不满足性质1.

③不是.因为……不满足性质2.

④不是.因为…+.

3.(2012山东烟台月考)已知随机变量X的分布列为P…,则等于(    )

A. B. 

C. D.

【答案】 A

【解析】 P.

4.设随机变量的分布列如下表所示且a+2b=1.3,则a-b等于(    )

A.0.2                           B.0.1 

C.-0.2                           D.0.4

【答案】 C

【解析】 0.1+a+b+0.1=1,

∴a+b=0.8.

由 解得

∴a-b=-0.2.

5.设X是一个离散型随机变量,其分布列为

则q的值为(    )

A.1            B.         C.       D.

【答案】D

【解析】由离散型随机变量分布列的性质有:

解得.

6.已知随机变量X的概率分布如下:

则P(X=10)等于(    )

A. B. 

C. D.

【答案】 C

【解析】 P(X=10)

=1-[P(X=1)+P(X=2)+…+P(X=9)]

….

7.设随机变量X的概率分布列为Pk=1,2,3,4,5,6,其中C为常数,则的值为(    )

A. B. 

C. D.

【答案】 B

【解析】 由题意知P3,4,5,6),

则有

即

∴解得.

∴.

8.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分（即得-1分）.若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分（分数高者胜），则X的所有可能取值是           .

【答案】 -1,0,1,2,3

【解析】 X=-1,甲抢到一题但答错了.

X=0,甲没抢到题,或甲抢到2题,但答时一对一错.

X=1,甲抢到1题且答对或甲抢到3题且1错2对.

X=2,甲抢到2题均答对.

X=3,甲抢到3题均答对.

9.设随机变量X的分布列如下:

则k=            .

【答案】

【解析】 1=k+2k+4k+…4+…+

∴k=

10.设随机变量X的分布列P(X=

(1)求常数a的值;

(2)求P(X

(3)求P(

【解】 由题意,随机变量X的分布列为

(1)由a+2a+3a+4a+5a=1,得a=

(2)P(X

或P(X

(3)因为

故P(.

11.(2012山东泰安测试)某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会,共邀请50名一线教师参加,已知使用不同版本教材的教师人数如下表所示:

(1)从这50名教师中随机选出2名,求这2名教师使用的版本相同的概率;

(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言,设其中使用人教A版的教师人数为X,求随机变量X的分布列.

【解】 (1)从50名教师中随机选出2名的方法数为C 225.

选出2名教师所使用版本相同的方法数为CCCC

故这2名教师使用的版本相同的概率为.

(2)依题意,X的所有可能取值为0,1,2,则

P

P

P

∴X的分布列为

12.(2012江苏南京三校)袋中装有大小相同的黑球和白球共9个,从中任取2个都是白球的概率为.现甲、乙两人从袋中轮流取球，甲先取，乙后取，然后甲再取...，每次取1个球，取出的球不放回,直到其中有一人取到白球时终止,用X表示取球终止时取球的总次数.

(1)求袋中原有白球的个数;

(2)求随机变量X的概率分布列.

【解】 (1)设袋中原有n个白球,则从9个球中任取2个球都是白球的概率为

即化简得

解得n=6或n=-5(舍去).

故袋中原有白球的个数为6.

(2)由题意,X的可能取值为1,2,3,4.

P;

P;

P;

P.

所以X的概率分布列为

拓展延伸

13.一个袋中装有若干个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是;从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是

(1)若袋中共有10个球,

①求白球的个数;

②从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为X,求随机变量X的分布列.

(2)求证:从袋中任意摸出2个球,至少得到1个黑球的概率不大于并指出袋中哪种颜色的球个数最少.

【解】 (1)①记”从袋中任意摸出两个球,至少得到一个白球”为事件A,设袋中白球的个数为X,则

P得到X=5.

故白球有5个.

②随机变量X的取值为0,1,2,3,

其中P

P

P

P.

∴X的分布列是

 (2)证明:设袋中有n个球,其中有y个黑球,

由题意得所以故.

记”从袋中任意摸出两个球,至少有1个黑球”为事件B,则.

∴白球的个数比黑球多,白球个数多于红球的个数少于故袋中红球个数最少.