高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用教案，共10页。
第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例
三角形中的几何计算问题主要包括长度、角、面积等，常用的方法就是构造三角形，把所求的问题转化到三角形中，然后选择正弦定理、余弦定理加以解决，有的问题与三角函数联系比较密切，要熟练运用有关三角函数公式.
课程目标
1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语；
2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.
数学学科素养
1.数学抽象：方位角、方向角等概念；
2.逻辑推理：分清已知条件与所求，逐步求解问题的答案；
3.数学运算：解三角形；
4.数学建模：数形结合，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．
重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解；
难点：根据题意建立数学模型，画出示意图.
教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
情景导入
在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，但是没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。那么运用正弦定理、余弦定理能否解决这些问题？又怎么解决？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本48-51页，思考并完成以下问题
1、方向角和方位角各是什么样的角？
2、怎样测量物体的高度？
3、怎样测量物体所在的角度？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1、实际测量中的有关名称、术语
四、典例分析、举一反三
题型一 测量高度问题
例1 济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m，到达B点，测得泉标顶部仰角为80°.你能帮李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m)
【答案】泉城广场上泉标的高约为38 m.
【解析】如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端．
依题意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，
AB＝15.2 m，则∠ABD＝100°，
故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°.
在△ABD中，根据正弦定理，
eq \f(BD,sin 60°)＝eq \f(AB,sin∠ADB). ∴BD＝eq \f(AB·sin 60°,sin 20°)＝eq \f(15.2·sin 60°,sin 20°)≈38.5(m)．
在Rt△BCD中，CD＝BDsin 80°＝38.5·sin 80°≈38(m)，
即泉城广场上泉标的高约为38 m.
解题技巧（测量高度技巧）
(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；
(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；
(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．
跟踪训练一
1、乙两楼相距200 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是多少？
【答案】甲楼高为200eq \r(3) m，乙楼高为eq \f(400\r(3),3) m.
【解析】如图所示，AD为乙楼高，BC为甲楼高．
在△ABC中，BC＝200×tan 60°＝200eq \r(3)，
AC＝200÷sin 30°＝400，由题意可知∠ACD＝∠DAC＝30°，
∴△ACD为等腰三角形．
由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cs 120°，4002＝AD2＋AD2－2AD2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝3AD2，AD2＝eq \f(4002,3)，AD＝eq \f(400\r(3),3).故甲楼高为200eq \r(3) m，乙楼高为eq \f(400\r(3),3) m.
题型二 测量角度问题
例2 如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋eq \r(3)) n mile的两个观测点．现位于A点北偏东45°方向、B点北偏西60°方向的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20eq \r(3) n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，则该救援船到达D点需要多长时间？
【答案】 救援船到达D点需要的时间为1 h.
【解析】由题意，知AB＝5(3＋eq \r(3))n mile，
∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.
在△DAB中，由正弦定理得eq \f(BD,sin∠DAB)＝eq \f(AB,sin∠ADB)，
即BD＝eq \f(ABsin∠DAB,sin∠ADB)＝＝＝10eq \r(3) n mile.
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°，BC＝20eq \r(3) n mile，
∴在△DBC中，由余弦定理，得
CD＝eq \r(BD2＋BC2－2BD·BCcs∠DBC)＝ eq \r(300＋1 200－2×10\r(3)×20\r(3)×\f(1,2))＝30 n mile，
则救援船到达D点需要的时间为eq \f(30,30)＝1 h.
解题技巧： (测量角度技巧)
测量角度问题的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．
跟踪训练二
1、在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(eq \r(3)－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10eq \r(3) n mile的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
【答案】缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.
【解析】 设缉私船用t h在D处追上走私船，画出示意图，则有CD＝10eq \r(3)t，BD＝10t，
在△ABC中，∵AB＝eq \r(3)－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，
得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs∠BAC＝(eq \r(3)－1)2＋22－2·(eq \r(3)－1)·2·cs 120°＝6，
∴BC＝eq \r(6)，且sin∠ABC＝eq \f(AC,BC)·sin∠BAC＝eq \f(2,\r(6))·eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(2),2)，
∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向成90°角．
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理，得
sin∠BCD＝eq \f(BD·sin∠CBD,CD)＝eq \f(10tsin 120°,10\r(3)t)＝eq \f(1,2)，
∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.
题型三 测量距离问题
例3 如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a则可求出A，B两点间的距离．若测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．
【答案】A，B两点间的距离为200eq \r(7) m.
【解析】在△ABC中，由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcs∠ACB，
∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cs 60°＝280 000.
∴AB＝200eq \r(7) (m)．
即A，B两点间的距离为200eq \r(7) m.
例4 如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出A，B的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出A，C的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________ m.
【答案】20eq \r(6) .
【解析】∠ABC＝180°－75°－45°＝60°，
所以由正弦定理得，eq \f(AB,sin C)＝eq \f(AC,sin B)，
∴AB＝eq \f(AC·sin C,sin B)＝eq \f(60×sin 45°,sin 60°)＝20eq \r(6)(m)．
即A，B两点间的距离为20eq \r(6) m.
解题技巧（测量距离技巧）
当A，B两点之间的距离不能直接测量时，求AB的距离分为以下三类：
(1)两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：
AB＝eq \r(a2＋b2－2abcs γ).
(2)两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB.
(3)两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB.
跟踪训练三
1.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝eq \f(\r(3),2) km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．
【答案】A，B两点间的距离为eq \f(\r(6),4) km.
【解析】∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，
∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝eq \f(\r(3),2).在△BCD中，∠DBC＝45°，
由正弦定理，得BC＝eq \f(DC,sin∠DBC)·sin∠BDC＝eq \f(\f(\r(3),2),sin 45°)·sin 30°＝eq \f(\r(6),4).
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcs 45°＝eq \f(3,4)＋eq \f(3,8)－2×eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(6),4)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(3,8).
∴AB＝eq \f(\r(6),4)(km)．∴A，B两点间的距离为eq \f(\r(6),4) km.
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例
概念 例1 例2 例3 例4

七、作业
课本51页练习，52页习题6.4中剩余题.
对于平面图形的计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决.构造三角形时，要注意使构造三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算.学生在这里的数量关系比较模糊，需要强化，三角形相关知识点需要简单回顾。
名称
定义
图示
基线
在测量中，根据测量需要适当确定的线段叫做基线
仰角
在同一铅垂平面内，视线在水平线 上 方时与水平线的夹角
俯角
在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角
方
向
角
从指定方向线到 目标方向线 的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°)
方
位
角
从正北的方向线按 顺 时针到目标方向线所转过的水平角