高中数学人教版新课标A选修2-11.1命题及其关系学案

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-11.1命题及其关系学案，共4页。学案主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
基础自测
1.(2009·成化高级中学高三期中考试)若命题“对xR，x2+4cx+1＞0”是真命题，则实数c的取值范围是 .
答案
2.（2008·湖北理，2）若非空集合A、B、C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则下列说法中正确的是 .(填序号)
 ①“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
 ② “x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
 ③ “x∈C”是“x∈A”的充要条件
④“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
答案②
3.若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的 命题.
答案 否
4.（2008·浙江理，3）已知a,b都是实数,那么“a2＞b2”是“a＞b”的 条件.
答案 既不充分也不必要
5.设集合A、B，有下列四个命题：
①AB对任意x∈A都有xB;②ABA∩B=;③ABBA;④AB存在x∈A,使得xB.
其中真命题的序号是 .（把符合要求的命题序号都填上）
答案 ④

例1 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题.
（1）正三角形的三内角相等；
（2）全等三角形的面积相等；
（3）已知a，b，c，d是实数，若a=b,c=d,则a+c=b+d.
解 （1）原命题即是“若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等”.
逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形（或写成：三个内角相等的三角形是正三角形）.
否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等.
逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个三角形不是正三角形（或写成：三个内角不全相等的三角形不是正三角形）.
（2）原命题即是“若两个三角形全等，则它们的面积相等.”
逆命题：若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等（或写成：面积相等的三角形全等）.
否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形面积不相等（或写成：不全等的三角形面积不相等）.
逆否命题：若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等.
（3）原命题即是“已知a,b,c,d是实数，若a=b,c=d，则a+c=b+d”.其中“已知a,b,c,d是实数”是大前提，“a与b,c与d都相等”是条件p，“a+c=b+d”是结论q，所以
逆命题：已知a,b,c,d是实数，若a+c=b+d，则a与b，c与d都相等.
否命题：已知a,b,c,d是实数，若a与b,c与d不都相等，则a+c≠b+d.
逆否命题：已知a,b,c,d是实数，若a+c≠b+d,则a与b,c与d不都相等.
例2 指出下列命题中，p是q的什么条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）.
（1）在△ABC中，p：∠A=∠B，q：sinA=sinB；
（2）对于实数x、y，p：x+y≠8,q:x≠2或y≠6;
（3）非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；
（4）已知x、y∈R，p：（x-1）2+（y-2）2=0，q：（x-1）（y-2）=0.
解 （1）在△ABC中，∠A=∠BsinA=sinB，反之，若sinA=sinB，因为A与B不可能互补（因为三角形三个内角和为180°),所以只有A=B.故p是q的充要条件.
(2)易知: p:x+y=8, q:x=2且y=6,显然qp.但pq,即q 是p 的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件.
(3)显然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有x∈A∪B,所以p是q的必要不充分条件.
(4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2,所以pq但qp,故p是q的充分不必要条件.
例3（14分）已知ab≠0，
求证：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
证明（必要性）
∵a+b=1，∴a+b-1=0， 2分
∴a3+b3+ab-a2-b2=（a+b）（a2-ab+b2）-（a2-ab+b2） 5分
=（a+b-1）（a2-ab+b2）=0. 7分
（充分性）
∵a3+b3+ab-a2-b2=0，
即（a+b-1）（a2-ab+b2）=0， 9分
又ab≠0,∴a≠0且b≠0,
∴a2-ab+b2=（a-b2＞0,
∴a+b-1=0,即a+b=1, 12分
综上可知,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是
a3+b3+ab-a2-b2=0. 14分
1.写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：
（1）如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等；
（2）矩形的对角线互相平分且相等；
（3）相似三角形一定是全等三角形.
解 （1）否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等”.
原命题为真命题，否命题也为真命题.
（2）否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”
原命题是真命题，否命题是假命题.
（3）否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形”.
原命题是假命题，否命题是真命题.
2.（ 2008·湖南理，2）“|x-1|＜2成立”是“x(x-3)＜0成立”的 条件.
答案必要不充分
3.证明一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
证明 充分性：若ac＜0,则b2-4ac＞0,且＜0,
∴方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根.
必要性：若一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根，则Δ=b2-4ac＞0,x1x2=＜0,∴ac＜0.
综上所述，一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
一、填空题
1.下列命题：①5＞4或4＞5；②9≥3；③命题“若a＞b,则a+c＞b+c”的否命题；④命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题.其中假命题的个数为 .
答案 1
2.（2008·重庆理，2）设m，n是整数，则“m，n均为偶数”是“m+n是偶数”的 条件.
答案 充分不必要
3. “x＞1”是“x2＞x”的 条件.
答案 充分不必要
4.（2009·成化高级中学高三期中考试）已知函数f(x)=ax+b(0≤x≤1),则“a+2b＞0”是“f(x)＞0”恒成立的
条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）
答案 必要不充分
5.在△ABC中，“sin2A=”是“A=30°”的 条件.
答案 必要不充分性
6.（2008·安徽理，7）a＜0方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的 条件.
答案 充分不必要
7.设集合A=B则集合= .
答案
8.设A=B则使AB成立的实数m的取值范围是 .
答案 m
二、解答题
9. 求关于x的方程x2-mx+3m-2=0的两根均大于1的充要条件.
解 设方程的两根分别为x1、x2，则原方程有两个大于1的根的充要条件是
即
又∵x1+x2=m,x1x2=3m-2,∴故所求的充要条件为m≥6+2.
10. 已知x,y∈R.
求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.
证明（充分性）
若xy≥0,则x,y至少有一个为0或同号.∴|x+y|=|x|+|y|一定成立.
（必要性）若|x+y|=|x|+|y|,则(x+y)2=(|x|+|y|)2,x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,
∴xy=|xy|,∴xy≥0.综上，命题得证.
11. a,b,c为实数，且a=b+c+1.证明：两个一元二次方程x2+x+b=0,x2+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根.
证明 假设两个方程都没有两个不等的实数根，则
Δ1=1-4b≤0,Δ2=a2-4c≤0,∴Δ1+Δ2=1-4b+a2-4c≤0.
∵a=b+c+1,∴b+c=a-1.∴1-4(a-1)+a2≤0,
即a2-4a+5≤0.但是a2-4a+5=(a-2)2+1＞0,故矛盾.
所以假设不成立，原命题正确，即两个方程中至少有一个方程有两个不相等的实数根.
12.设、是方程x2-ax+b=0的两个根，试分析a＞2且b＞1是两根、均大于1的什么条件？
解 令p:a＞2,且b＞1;q: ＞1,且＞1,易知+=a, =b.
①若a＞2,且b＞1,即不能推出＞1且＞1.
可举反例：若所以由p推不出q
②若＞1,且＞1，则+＞1+1=2, ＞1.所以由q可推出p.综合知p是q的必要不充分条件，也即a＞2,且b＞1是两根、均大于1的必要不充分条件.