高中数学人教版新课标A选修2-12.2椭圆练习

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-12.2椭圆练习，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
1．(精选考题·天门)设P是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1上一动点，F1、F2是椭圆的两个焦点，则cs∠F1PF2的最小值是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,9)
C．－eq \f(1,9) D．－eq \f(5,9)
解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由题意m＋n＝6，
c＝eq \r(5)，则cs∠F1PF2＝eq \f(m2＋n2－(2c)2,2mn)＝eq \f((m＋n)2－4c2－2mn,2mn)＝eq \f(4b2,2mn)－1≥eq \f(2×4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)))2)－1＝－eq \f(1,9).
答案：C
2．(精选考题·新创题)定义：离心率e＝eq \f(\r(5)－1,2)的椭圆为“黄金椭圆”，已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个焦点为F(c,0)(c>0)，P为椭圆E上的任意一点，若a，b，c不是等比数列，则( )
A．E是“黄金椭圆”
B. E一定不是“黄金椭圆”
C. E不一定是“黄金椭圆”
D. 可能不是“黄金椭圆”
解析：假设E为黄金椭圆，则e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5)－1,2)，
即c＝eq \f(\r(5)－1,2)a，
∴b2＝a2－c2＝a2－eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)a))2＝eq \f(\r(5)－1,2)a2＝ac.
即a，b，c成等比数列，与已知矛盾，故椭圆E一定不是“黄金椭圆”．
答案：B
3．(精选考题·长沙模拟)已知F1、F2分别为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，若△ABF2为钝角三角形，则椭圆C的离心率e的取值范围为( )
A．(0，eq \r(2)－1) B．(0，eq \r(3)－1)
C．(eq \r(2)－1,1) D．(eq \r(3)－1,1)
解析：由△ABF2为钝角三角形，得AF1>F1F2，∴eq \f(b2,a)>2c，化简得c2＋2ac－a2<0，∴e2＋2e－1<0，又0答案：A
4．B1、B2是椭圆短轴的两端点，O为椭圆中心，过左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中项，则eq \f(|PF1|,|OB2|)的值是( )
A.eq \r(2) B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(2),3)
解析：设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
令x＝－c得y2＝eq \f(b4,a2)，∴|PF1|＝eq \f(b2,a)，
∴eq \f(|PF1|,|OB2|)＝eq \f(\f(b2,a),b)＝eq \f(b,a)，
又由|F1B2|2＝|OF1|·|B1B2|得a2＝2bc，
∴a4＝4b2(a2－b2)，
∴(a2－2b2)2＝0，∴a2＝2b2，∴eq \f(b,a)＝eq \f(\r(2),2).
答案：B
5．椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且最大值的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(c2，3c2))，其中c＝eq \r(a2－b2)，则椭圆M的离心率e的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
解析：设与eq \x\t(PF2)的夹角为θ，由于
csθ≤，的夹角为0°时取“＝”．
所以的最大值为(a＋c)(a－c)，
因此c2≤a2－c2≤3c2，所以e2≤1－e2≤3e2.又e∈(0,1)，
所以e∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2))).故选B.
答案：B
6．设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为e＝eq \f(1,2)，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)( )
A．必在圆x2＋y2＝2内
B．必在圆x2＋y2＝2上
C．必在圆x2＋y2＝2外
D．以上三种情形都有可能
解析：∵x1＋x2＝－eq \f(b,a)，x1·x2＝－eq \f(c,a)，
∴xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝eq \f(b2,a2)＋eq \f(2c,a)＝eq \f(b2＋2ac,a2)，
∵e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，∴c＝eq \f(1,2)a，
∴b2＝a2－c2＝a2－eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\c1(\f(1,2)a))2＝eq \f(3,4)a2，
∴xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＝eq \f(\f(3,4)a2＋2a×\f(1,2)a,a2)＝eq \f(7,4)<2.
∴P(x1，x2)在圆x2＋y2＝2内．故应选A.
答案：A
二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)
7．F1、F2是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,9)＝1的左、右两焦点，P为椭圆的一个顶点，若△PF1F2是等边三角形，则a2＝________.
解析：由题意，因为△PF1F2是等边三角形，故2c＝a，又b＝3，所以a2＝12.
答案：12
8．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)，若椭圆上存在点P使eq \f(a,sin∠PF1F2)＝eq \f(c,sin∠PF2F1)，则该椭圆的离心率的取值范围为________．
解析：e＝eq \f(c,a)＝eq \f(sin∠PF2F1,sin∠PF1F2)＝eq \f(|PF1|,|PF2|)＝eq \f(2a－|PF2|,|PF2|)＝eq \f(2a,|PF2|)－1.
∵|PF2|∴e＝eq \f(2a,|PF2|)－1>eq \f(2a,a＋c)－1，
即e>eq \f(2,1＋e)－1，∴e2＋2e－1>0.
又∵0答案：(eq \r(2)－1,1)
9．椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球(小球的半径忽略不计)从点A沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A时，小球经过的路程是________．
解析：设靠近A的长轴端点为M，另一长轴的端点为N.若小球沿AM方向运动，则路程应为2(a－c)；若小球沿AN方向运动，则路程为2(a＋c)；若小球不沿AM与AN方向运动，则路程应为4a.
答案：4a或2(a－c)或2(a＋c)
10．(精选考题·皖南八校)已知A、B为椭圆C：eq \f(x2,m＋1)＋eq \f(y2,m)＝1的长轴的两个端点，P是椭圆C上的动点，且∠APB的最大值是eq \f(2π,3)，则实数m的值是________．
解析：由椭圆知识知，当点P位于短轴的端点时∠APB取得最大值，根据题意则有taneq \f(π,3)＝eq \f(\r(m＋1),\r(m))⇒m＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)
11．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(6),3)，短轴一个端点到右焦点的距离为eq \r(3).
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为eq \f(\r(3),2)，求△AOB面积的最大值．
解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意
∴b＝1.∴所求椭圆方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
①当AB⊥x轴时，|AB|＝eq \r(3)，
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m.由已知eq \f(|m|,\r(1＋k2))＝eq \f(\r(3),2)，得m2＝eq \f(3,4)(k2＋1)，把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理得
(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0
∴x1＋x2＝eq \f(－6km,3k2＋1)，x1x2＝eq \f(3(m2－1),3k2＋1).
∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2
＝(1＋k2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(36k2m2,(3k2＋1)2)－\f(12(m2－1),3k2＋1)))
＝eq \f(12(k2＋1)(3k2＋1－m2),(3k2＋1)2)＝eq \f(3(k2＋1)(9k2＋1),(3k2＋1)2)
＝3＋eq \f(12k2,9k4＋6k2＋1)＝3＋eq \f(12,9k2＋\f(1,k2)＋6)(k≠0)
≤3＋eq \f(12,2×3＋6)＝4.
当且仅当9k2＝eq \f(1,k2)，即k＝±eq \f(\r(3),3)时等号成立|AB|＝2.
当k＝0时，|AB|＝eq \r(3)，
综上所述，|AB|max＝2.
∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值，
S＝eq \f(1,2)×|AB|max×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),2).
点评：一般地，在涉及直线与曲线交点的问题时，先设出交点的坐标，再由方程组转化的一元二次方程中，利用根与系数的关系转化为待求的系数方程，像这种设交点坐标但不具体求出的方法称为“设而不求”．
12．如图，已知A、B、C是长轴为4的椭圆上三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，且
(1)建立适当的坐标系，求椭圆方程；
(2)如果椭圆上两点P、Q使直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，是否总存在实数λ使？请给出证明．
解：(1)以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，则A(2,0)，椭圆方程可设为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1(0而O为椭圆中心，由对称性知|OC|＝|OB|.
又，所以AC⊥BC.
又，所以|OC|＝|AC|，
所以△AOC为等腰直角三角形，所以点C的坐标为(1,1)．
将(1,1)代入椭圆方程得b2＝eq \f(4,3)，
则椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(3y2,4)＝1.
(2)由直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，设直线CP的斜率为k，则直线CQ的斜率为－k，直线CP的方程为y－1＝k(x－1)，直线CQ的方程为y－1＝－k(x－1)．由椭圆方程与直线CP的方程联立，消去y得
(1＋3k2)x2－6k(k－1)x＋3k2－6k－1＝0.①
因为C(1,1)在椭圆上，所以x＝1是方程①的一个根，于是
xP＝eq \f(3k2－6k－1,1＋3k2)，同理xQ＝eq \f(3k2＋6k－1,1＋3k2).
这样，kPQ＝eq \f(yP－yQ,xP－xQ)＝eq \f(1,3).
又B(－1，－1)，所以kAB＝eq \f(1,3)，
即kAB＝kPQ.所以PQ∥AB，即存在实数λ使.
评析：利用斜率互为相反数关系，采用整体替换，简化了解题过程．
13．设F1、F2分别为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右两个焦点．
(1)若椭圆C上的点A(1，eq \f(3,2))到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；
(3)若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时．
求证：kPM·kPN是与点P位置无关的定值．
解：(1)椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2.
又点Aeq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))在椭圆上，
因此eq \f(1,22)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2,b2)＝1得b2＝3，
于是c2＝1.
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，
焦点F1(－1,0)，F2(1,0)．
(2)设椭圆C上的动点为K(x1，y1)，线段F1K的中点Q(x，y)满足：
x＝eq \f(－1＋x1,2)，y＝eq \f(y1,2)，
即x1＝2x＋1，y1＝2y.因此eq \f((2x＋1)2,4)＋eq \f((2y)2,3)＝1.
即eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2＋eq \f(4y2,3)＝1为所求的轨迹方程．
(3)设点M(m，n)是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1①
上的任一点，N(－m，－n)是M关于原点的中心对称点，则eq \f(m2,a2)＋eq \f(n2,b2)＝1②
又设P(x，y)是椭圆上任一点，且kPM·kPN存在．
则kPM＝eq \f(y－n,x－m)，kPN＝eq \f(y＋n,x＋m)，
∴kPM·kPN＝eq \f(y－n,x－m)·eq \f(y＋n,x＋m)＝eq \f(y2－n2,x2－m2).
①－②得eq \f(x2－m2,a2)＋eq \f(y2－n2,b2)＝0，eq \f(y2－n2,x2－m2)＝－eq \f(b2,a2)，
∴kPM·kPN＝－eq \f(b2,a2).
故kPM·kPN与P的取值无关．
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