数学2.3双曲线同步训练题

这是一份数学2.3双曲线同步训练题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
1．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为( )
A.eq \r(3) B.eq \f(\r(6),2)
C.eq \f(\r(6),3)D.eq \f(\r(3),3)
解析：由图易知：eq \f(c,b)＝tan60°＝eq \r(3)，
不妨设c＝eq \r(3)，b＝1，则a＝eq \r(2).
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),\r(2))＝eq \f(\r(6),2).故选B.
答案：B
2．已知双曲线9y2－m2x2＝1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为eq \f(1,5)，则m等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：9y2－m2x2＝1(m>0)⇒a＝eq \f(1,3)，b＝eq \f(1,m)，取顶点eq \b\lc\(\rc\)(eq \a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))，一条渐近线为mx－3y＝0，
∵eq \f(1,5)＝eq \f(|－3×\f(1,3)|,\r(m2＋9))⇒m2＋9＝25，
∴m＝4，故选D.
答案：D
3．已知双曲线的两个焦点为F1(－eq \r(10)，0)、F2(eq \r(10)，0)，M是此双曲线上的一点，且满足则该双曲线的方程是( )
A.eq \f(x2,9)－y2＝1 B．x2－eq \f(y2,9)＝1
C.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,7)＝1 D.eq \f(x2,7)－eq \f(y2,3)＝1
解析：设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，且M为右支上一点，
由已知|MF1|－|MF2|＝2a，
∴＝4a2.
又∵
∴4c2－4＝4a2，即b2＝1.
又∵c＝eq \r(10)，∴a2＝9.
∴双曲线方程为eq \f(x2,9)－y2＝1，故选A.
答案：A
4．我们把离心率为e＝eq \f(\r(5)＋1,2)的双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)称为黄金双曲线．给出以下几个说法：
①双曲线x2－eq \f(2y2,\r(5)＋1)＝1是黄金双曲线；
②若b2＝ac，则该双曲线是黄金双曲线；
③若∠F1B1A2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线；
④若∠MON＝90°，则该双曲线是黄金双曲线．
其中正确的是( )
A．①② B．①③
C．①③④ D．①②③④
解析：①e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(1＋\f(\r(5)＋1,2))＝eq \r(\f(\r(5)＋3,2))＝eq \f(\r(5)＋1,2)，双曲线是黄金双曲线．
②由b2＝ac，可得c2－a2＝ac，两边同除以a2，即e2－e－1＝0，从而e＝eq \f(\r(5)＋1,2)，双曲线是黄金双曲线．
③|F1B1|2＝b2＋c2，|A2B1|2＝b2＋a2，|F1A2|2＝(a＋c)2，注意到∠F1B1A2＝90°，所以b2＋c2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即b2＝ac，由②可知双曲线为黄金双曲线．
④∵|MN|＝eq \f(2b2,a)，由射影定理知|OF2|2＝|MF2|·|F2N|，即c2＝eq \f(b4,a2)，从而b2＝ac，由②可知双曲线为黄金双曲线．
答案：D
5．过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是( )
A．28 B．14－8eq \r(2)
C．14＋8eq \r(2) D．8eq \r(2)
解析：|PF2|＋|PQ|＋|QF2|
＝|PF2|－|PF1|＋|QF2|－|QF1|＋2·|PQ|
＝14＋8eq \r(2).
答案：C
6．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )
A．[1,2] B．(1,2)
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：依题意，应有eq \f(b,a)≥tan60°，又eq \f(b,a)＝eq \r(e2－1)，
∴eq \r(e2－1)≥eq \r(3)，解得e≥2.
答案：C
二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)
7．已知点P是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1上除顶点外的任意一点，F1、F2分别为左、右焦点，c为半焦距，△PF1F2的内切圆与F1F2切于点M，则|F1M|·|F2M|＝________.
解析：根据从圆外一点向圆所引的两条切线长相等，
|F1M|－|F2M|＝|PF1|－|PF2|＝2a，
又|F1M|＋|F2M|＝2c，
解得|F1M|＝a＋c，|F2M|＝c－a，从而|F1M|·|F2M|＝c2－a2＝b2.
答案：b2
8．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)．若双曲线上存在点P，使eq \f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq \f(a,c)，则该双曲线的离心率的取值范围是________．
解析：∵e＝eq \f(c,a)＝eq \f(sin∠PF2F1,sin∠PF1F2)＝eq \f(|PF1|,|PF2|)
＝eq \f(2a＋|PF2|,|PF2|)＝1＋eq \f(2a,|PF2|)，
∵|PF2|>c－a，即e<1＋eq \f(2,e－1)，
∴e2－2e－1<0.
又∵e>1，∴1答案：(1，eq \r(2)＋1)
9．以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，若一条双曲线与它的共轭双曲线的离心率分别为e1，e2，则当它们的实、虚轴都在变化时，eeq \\al(2,1)＋eeq \\al(2,2)的最小值是________．
解析：∵eeq \\al(2,1)＝eq \f(a2＋b2,a2)，eeq \\al(2,2)＝eq \f(a2＋b2,b2)，
∴eeq \\al(2,1)＋eeq \\al(2,2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＋eq \f(a2＋b2,b2)
＝2＋eq \f(b2,a2)＋eq \f(a2,b2)≥2＋2
＝4(当且仅当a＝b时等号成立)．
答案：4
10．设F1和F2为双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是______．
解析：在△F1PF2中，由余弦定理，得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cs60°，
∴|F1F2|2＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1||PF2|.
又|F1F2|2＝20，||PF1|－|PF2||＝4.
∴|PF1||PF2|＝4，
∴S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin60°＝eq \r(3).
答案：eq \r(3)
三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)
11．如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F1，F2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，∠F1PF2＝eq \f(π,3)，且△PF1F2的面积为2eq \r(3)，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．
解：设双曲线方程为：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．
F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)．
在△PF1F2中，由余弦定理，得：
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cseq \f(π,3)＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|.
即4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|.
又∵S△PF1F2＝2eq \r(3).
∴eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sineq \f(π,3)＝2eq \r(3).
∴|PF1|·|PF2|＝8.
∴4c2＝4a2＋8，即b2＝2.
又∵e＝eq \f(c,a)＝2，∴a2＝eq \f(2,3).
∴双曲线的方程为：eq \f(3x2,2)－eq \f(y2,2)＝1.
12．已知曲线C：eq \f(y2,λ)＋x2＝1.
(1)由曲线C上任一点E向x轴作垂线，垂足为F，动点P满足，求点P的轨迹．P的轨迹可能是圆吗？请说明理由；
(2)如果直线l的斜率为eq \r(2)，且过点M(0，－2)，直线l交曲线C于A、B两点，又，求曲线C的方程．
解：(1)设E(x0，y0)，P(x，y)，
则F(x0,0)，∵，
∴(x－x0，y)＝3(x－x0，y－y0)．
∴
代入eq \f(y\\al(2,0),λ)＋xeq \\al(2,0)＝1中，得eq \f(4y2,9λ)＋x2＝1为P点的轨迹方程．
当λ＝eq \f(4,9)时，轨迹是圆．
(2)由题设知直线l的方程为y＝eq \r(2)x－2，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组
消去y得：(λ＋2)x2－4eq \r(2)x＋4－λ＝0.
∵方程组有两解，∴λ＋2≠0且Δ>0，
∴λ>2或λ<0且λ≠－2，x1·x2＝eq \f(4－λ,λ＋2)，
而＝x1x2＋(y1＋2)·(y2＋2)＝x1x2＋eq \r(2)x1·eq \r(2)x2＝3x1x2＝eq \f(3(4－λ),λ＋2)，
∴eq \f(4－λ,λ＋2)＝－eq \f(3,2)，解得λ＝－14.
∴曲线C的方程是x2－eq \f(y2,14)＝1.
13．(精选考题·南昌调研试题)如图，P是以F1、F2为焦点的双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1上的一点，已知
(1)求双曲线的离心率e；
(2)过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P1、P2两点，若.求双曲线C的方程．
解：(1)利用向量的垂直及双曲线的定义建立等式即可确定，(2)运用向量的坐标运算，利用待定系数法建立方程组即可解得．
(1)由得，即△F1PF2为直角三角形．设＝2r，于是有(2r)2＋r2＝4c2和2r－r＝2a，也就是5×(2a)2＝4c2，所以e＝eq \r(5).
(2)eq \f(b,a)＝eq \r(e2－1)＝2，可设P1(x1,2x1)，P2(x2，－2x2)，P(x，y)，则＝x1x2－4x1x2＝－eq \f(27,4)，
所以x1x2＝eq \f(9,4).①
由2即x＝eq \f(2x1＋x2,3)，y＝eq \f(2(2x1－x2),3)；又因为点P在双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1上，所以eq \f((2x1＋x2)2,9a2)－eq \f(4(2x1－x2)2,9b2)＝1，又b2＝4a2，代入上式整理得x1x2＝eq \f(9,8)a2②，由①②得a2＝2，b2＝8，故所求双曲线方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,8)＝1.
评析：平面向量与平面解析几何的综合考查是近几年高考考查的热点问题，往往通过向量的运算及其几何意义来解决解析几何问题．在解析几何中当直线与曲线相交时，对于交点坐标，若直接求解有时非常复杂，故往往设而不求，即设出点的坐标，利用点在曲线上或其满足的性质求解．本题借助直线与双曲线相交，利用设而不求的思想，结合向量的坐标运算及韦达定理简捷求出．
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